Fortsetzungssatz beweisen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist D ein dichter Unterraum des normierten Raums X, Y ein Banachraum und [mm] T\in [/mm] L(D,Y), so existiert genau eine stetige Fortsetzung [mm] T'\in [/mm] L(X,Y), d.h. ein stetiger Operator mit T'|D=T. Zusätzlich gilt |T'|=|T| |
Hallo!
In meinem Buch ist der Beweis zu diesem Satz aufgrund der "Trivalität" nicht ausgeführt...  Selber tu ich mich ein bisschen schwer und auch im Internet steht nix. Könnte mir bitte jemand helfen? Wenn möglich mit einem besonders eleganten Beweis, den ich dann zum Buch hinzufügen werde! Vlt. hat ja jemand ein anderes Buch und kann schnell nachschlagen...
Meine eigenen Ansätze:
Für [mm] x_n ->x\in [/mm] X definiere ich [mm] T'x:=limTx_n. [/mm] Der Limes existiert da aus der Konvergenz von [mm] x_n [/mm] aufgrund der Stetigkeit von T auch die Konvergenz von [mm] Tx_n [/mm] folgt.
Auf D stimmt T mit T' überein, denn wegen der Stetigkeit von T gilt: [mm] T'x=limTx_n=Tx \forall x\in [/mm] D
[mm] |T'|=\sup_{|x|\le 1}|T'x|=\sup_{|x|\le 1}|limTx_n|=(1)lim \sup_{|x|\le 1}|Tx_n|=lim|T|=|T|
[/mm]
Eindeutigkeit: Gäbe es noch eine zweite stetige Fortsetzung S müsste gelten:
[mm] Sx=Sx_n=Tx_n=T'x_n=T'x
[/mm]
Wobei ich die letzte Zeile für Unfug halte.(1)Dies gilt vlt. weil man ja zu jedem x mit [mm] |x|\le [/mm] 1 ein [mm] x_n [/mm] sucht das man so wählen kann das [mm] |x_n|\le [/mm] 1. So hat man ja erst recht das Supremum über alle [mm] x\in [/mm] D mit [mm] |x|\le [/mm] 1.
Gruß
Angelika
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Hat denn niemand eine Idee? Oder sind die Angaben unklar?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:20 Sa 28.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Angelika!
> Ist D ein dichter Unterraum des normierten Raums X, Y ein
> Banachraum und [mm]T\in[/mm] L(D,Y), so existiert genau eine stetige
> Fortsetzung [mm]T'\in[/mm] L(X,Y), d.h. ein stetiger Operator mit
> T'|D=T. Zusätzlich gilt |T'|=|T|
>
> In meinem Buch ist der Beweis zu diesem Satz aufgrund der
> "Trivalität" nicht ausgeführt... Selber tu ich
> mich ein bisschen schwer und auch im Internet steht nix.
> Könnte mir bitte jemand helfen? Wenn möglich mit einem
> besonders eleganten Beweis, den ich dann zum Buch
> hinzufügen werde! Vlt. hat ja jemand ein anderes Buch und
> kann schnell nachschlagen...
>
> Meine eigenen Ansätze:
>
> Für [mm]x_n ->x\in[/mm] X
Du musst hier etwas genauer sein. Ist es irgendeine Folge, die gegen$x$ konvergiert? Ist es eine Folge mit Werten aus $D$? Oder aus $X$?
> definiere ich [mm]T'x:=limTx_n.[/mm]
Daraus folgt die Eindeutigkeit von $T'$.
> Der Limes
> existiert da aus der Konvergenz von [mm]x_n[/mm] aufgrund der
> Stetigkeit von T auch die Konvergenz von [mm]Tx_n[/mm] folgt.
Vorsicht! $T$ ist stetig auf $D$, dein $x$ liegt aber i.A. nicht in $D$! Du musst also erstmal zeigen, dass der Grenzwert fuer ein $x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] D$ existiert und dort unabhaengig von der Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN} \subseteq [/mm] D$ ist.
> Auf D stimmt T mit T' überein, denn wegen der Stetigkeit
> von T gilt: [mm]T'x=limTx_n=Tx \forall x\in[/mm] D
Ja, auf $D$ ist das alles kein Problem.
>
> [mm]|T'|=\sup_{|x|\le 1}|T'x|=\sup_{|x|\le 1}|limTx_n|=(1)lim \sup_{|x|\le 1}|Tx_n|=lim|T|=|T|[/mm]
Wieso vertauscht du hier Limes und Supremum? Darfst du das ueberhaupt? Die Zeile macht so kaum Sinn...
> Eindeutigkeit: Gäbe es noch eine zweite stetige
> Fortsetzung S müsste gelten:
>
> [mm]Sx=Sx_n=Tx_n=T'x_n=T'x[/mm]
Da fehlen Limites.
> Wobei ich die letzte Zeile für Unfug halte.
Da bist du nicht allein :)
>(1)Dies gilt
> vlt. weil man ja zu jedem x mit [mm]|x|\le[/mm] 1 ein [mm]x_n[/mm] sucht das
> man so wählen kann das [mm]|x_n|\le[/mm] 1. So hat man ja erst
> recht das Supremum über alle [mm]x\in[/mm] D mit [mm]|x|\le[/mm] 1.
Du kannst nicht einfach wild Limes und Supremum tauschen. Zeige doch sowas wie: aus $|T| [mm] \ge [/mm] A$ folgt $|T'| [mm] \ge [/mm] A$, und aus $|T'| [mm] \ge [/mm] A$ folgt $|T| [mm] \ge [/mm] A$. Aus beiden zusammen folgt, dass $|T| = |T'|$ ist.
LG Felix
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Danke dir!
> Du musst hier etwas genauer sein. Ist es irgendeine Folge,
> die gegen[mm]x[/mm] konvergiert? Ist es eine Folge mit Werten aus [mm]D[/mm]?
> Oder aus [mm]X[/mm]?
Ich würde sagen für beliebiges [mm] x_n\in [/mm] D mit [mm] x_n->x\in [/mm] X definiere ich [mm] limTx_n=T'x
[/mm]
>
> > Der Limes
> > existiert da aus der Konvergenz von [mm]x_n[/mm] aufgrund der
> > Stetigkeit von T auch die Konvergenz von [mm]Tx_n[/mm] folgt.
>
> Vorsicht! [mm]T[/mm] ist stetig auf [mm]D[/mm], dein [mm]x[/mm] liegt aber i.A. nicht
> in [mm]D[/mm]! Du musst also erstmal zeigen, dass der Grenzwert fuer
> ein [mm]x \in X \setminus D[/mm] existiert und dort unabhaengig von
> der Folge [mm](x_n)_{n\in\IN} \subseteq D[/mm] ist.
>
Ok. stimmt! Genauer: [mm] x_n [/mm] ist eine Cauchyfolge und wegen [mm] |Tx_n-Tx_m|\le|T||x_n-x_m| [/mm] ist auch [mm] Tx_n [/mm] eine Cauchyfolge. Da wir uns aber in einem Banachraum befinden folgt daraus automatisch die Konvergenz gegen ein Element aus Y.
> > Eindeutigkeit: Gäbe es noch eine zweite stetige
> > Fortsetzung S müsste gelten:
> >
> > [mm]Sx=Sx_n=Tx_n=T'x_n=T'x[/mm]
>
> Da fehlen Limites.
>
> > Wobei ich die letzte Zeile für Unfug halte.
>
> Da bist du nicht allein :)
[mm]Sx<-Sx_n=Tx_n=T'x_n->T'x[/mm]
Hehe ich ich habe die Limites tatsächlich nur vergesssen hinzuschreiben....im Kopf hatte ich das Richtige! Da ich die Eindeutigkeit später ergänzt habe war der Unfug eigentlich auf die Zeile mit Vertauschung von lim und sup bezogen ;)
Zu |T|=|T'|
[mm] \forall \epsilon>0 [/mm] gilt:
[mm] \exists x'\in X\quad |T'|-\frac{|T'x'|}{|x'|}<\frac{\epsilon}{2}
[/mm]
Sowie [mm] \forall x\in [/mm] D mit [mm] |x'-x|<\delta [/mm] wegen der Stetigkeit von T: [mm] |\frac{|Tx'|}{|x'|}-\frac{|Tx|}{|x|}|<\frac{\epsilon}{2}
[/mm]
Außerdem gilt da [mm] D\subset [/mm] X [mm] \frac{|Tx|}{|x|}\le\frac{|T'x|}{|x|}\le|T'| \forall x\in [/mm] D **
Also existiert nun da D dicht in X liegt [mm] \forall \epsilon>0 [/mm] ein [mm] x\in [/mm] D mit:
[mm] ||T'|-\frac{|Tx|}{|x|}|\le||T'|-\frac{|T'x'|}{|x'|}|+|\frac{|Tx'|}{|x'|}-\frac{|Tx|}{|x|}|<\epsilon
[/mm]
woraus zusammen mit** die Behauptung folgt!
Stimmt das nun?
Gibt es noch einen eleganteren Weg, den ich ins Buch schreiben kann? Keine Angst, ich werde darunterschreiben:" Beweis nach X vom Matheraum!"Urheberrechte etc.
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Mo 30.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Also in meinen Augen ist der Beweis in keinem Fall ein Einzeiler, aber er ist eigentlich trivial in dem Sinne, dass wirklich der naheliegenste Ansatz überhaupt zum Ziel führt und auf dem Weg dahin für einen durchschnittlichen Mathematikstudenten im Grundstudium eigentlich keine größeren Hindernisse im Weg stehen.
Du musst noch zeigen, dass deine Definition von $T'$ wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl der Folge [mm] $x_n\to [/mm] x$ ist!
Für [mm]\|T\|=\|T'\|[/mm] machst du ganz einfach so: [mm]\|T'\|\ge\|T\|[/mm] ist klar weil man über einer größeren Menge das Supremum bildet. Sei nun [mm]x'\in X[/mm] beliebig mit [mm]\|x'\|=1[/mm] und [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig. Wähle [mm]x\in D[/mm] mit [mm]\|x-x'\|<\varepsilon[/mm], dann ist [mm]\|x\|\le\|x-x'\|+\|x'\|=1+\varepsilon[/mm]. Damit wegen [mm]\|T'\|<\infty[/mm]
[mm]\|T'x'\|=\|T'(x'-x)+T'x\|\le \|T'(x'-x)\|+\|Tx\|\le\|T'\|\varepsilon+\|T\|(1+\varepsilon)\to\|T\|\quad\text{für }\varepsilon\to 0[/mm]
Also auch [mm]\|T'\|\le\|T\|[/mm], q.e.d.
Gruß, Robert
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> Also in meinen Augen ist der Beweis in keinem Fall ein
> Einzeiler, aber er ist eigentlich trivial in dem Sinne,
> dass wirklich der naheliegenste Ansatz überhaupt zum Ziel
> führt und auf dem Weg dahin für einen durchschnittlichen
> Mathematikstudenten im Grundstudium eigentlich keine
> größeren Hindernisse im Weg stehen.
Hallo nochmal!
Erstens bin ich kein Mathematikstudent sondern ein Physikstudent nach dem 2. Semester und habe noch nicht sooo viel Erfahrung mit Beweisen, zweitens ging es mir in diesem Fall nicht darum das Beweisen zu üben sondern einfach irgendwie den Beweis herzubekommen. Hätte ja sein können, das ihn jemand im Buch stehen gehabt hätte?! Deshalb war ich auch nicht motiviert es ganz auf eigene Faust zu versuchen.
Naja ich habs ja zuguterletzt doch (fast ) selbst hingekriegt!
> Du musst noch zeigen, dass deine Definition von [mm]T'[/mm]
> wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl der Folge
> [mm]x_n\to x[/mm] ist!
Seien [mm] x_n,y_n\in [/mm] D und [mm] x_n,y_n->x [/mm] so ist auch die Mischung der Folgen [mm] z_n\in [/mm] D und [mm] z_n->x. [/mm] Da nun aber [mm] Tz_n [/mm] nach den Argumenten im letzten Beitrag in Y konvergieren muss, konvergieren auch die beiden Teilfolgen [mm] Tx_n [/mm] und [mm] Ty_n [/mm] und zwar gegen ebendiesen, also denselben Grenzwert.
>
> Für [mm]\|T\|=\|T'\|[/mm] machst du ganz einfach so: [mm]\|T'\|\ge\|T\|[/mm]
> ist klar weil man über einer größeren Menge das Supremum
> bildet. Sei nun [mm]x'\in X[/mm] beliebig mit [mm]\|x'\|=1[/mm] und
> [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig. Wähle [mm]x\in D[/mm] mit
> [mm]\|x-x'\|<\varepsilon[/mm], dann ist
> [mm]\|x\|\le\|x-x'\|+\|x'\|=1+\varepsilon[/mm]. Damit wegen
> [mm]\|T'\|<\infty[/mm]
>
> [mm]\|T'x'\|=\|T'(x'-x)+T'x\|\le \|T'(x'-x)\|+\|Tx\|\le\|T'\|\varepsilon+\|T\|(1+\varepsilon)\to\|T\|\quad\text{für }\varepsilon\to 0[/mm]
Das ist sehr schön wie du das gemacht hast! Kompliment! War mein Ansatz eigentlich richtig?
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 30.08.2010 | | Autor: | pelzig |
> Erstens bin ich kein Mathematikstudent sondern ein
> Physikstudent nach dem 2. Semester und habe noch nicht sooo
> viel Erfahrung mit Beweisen, zweitens ging es mir in diesem
> Fall nicht darum das Beweisen zu üben sondern einfach
> irgendwie den Beweis herzubekommen. Hätte ja sein können,
> das ihn jemand im Buch stehen gehabt hätte?! Deshalb war
> ich auch nicht motiviert es ganz auf eigene Faust zu
> versuchen.
> Naja ich habs ja zuguterletzt doch (fast ) selbst
> hingekriegt!
Hmm das war eigentlich gar nicht so gemeint wie es vielleicht rübergekommen ist. Ich wollte nur erklären warum der Beweis, obwohl er doch auf den ersten Blick gar nicht so leicht ist, nicht in dem Buch steht.
Man sollte da auf keinen Fall einfach drüber lesen, wenn man den Beweis noch nie gesehen hat und ich finds gut, dass du dir darüber Gedanken gemacht hast.
> > Du musst noch zeigen, dass deine Definition von [mm]T'[/mm]
> > wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl der Folge
> > [mm]x_n\to x[/mm] ist!
>
> Seien [mm]x_n,y_n\in[/mm] D und [mm]x_n,y_n->x[/mm] so ist auch die Mischung
> der Folgen [mm]z_n\in[/mm] D und [mm]z_n->x.[/mm] Da nun aber [mm]Tz_n[/mm] nach den
> Argumenten im letzten Beitrag in Y konvergieren muss,
> konvergieren auch die beiden Teilfolgen [mm]Tx_n[/mm] und [mm]Ty_n[/mm] und
> zwar gegen ebendiesen, also denselben Grenzwert.
Das ist eine ziemlich hübsche Idee da ran zu gehen, also so habe ich das noch nirgendwo gesehen, aber du musst natürlich genauer erklären was du mit der "Mischung der Folgen" meinst. Ich vermute [mm]z_n=x_1,y_1,x_2,...[/mm]
> Das ist sehr schön wie du das gemacht hast! Kompliment!
> War mein Ansatz eigentlich richtig?
Keine Ahnung, ich hab ihn nach einigem Draufstarren nicht wirklich verstanden. Ich glaube Aber die Idee war schon irgendwie die gleiche. Man muss halt aufpassen, dass man, obwohl D ja dicht in X liegt nicht jedes Element aus [mm]B_1(0)[/mm] durch Elemente in [mm]B_1(0)\cap D[/mm] approximieren kann, ja i.A. kann sogar [mm]B_1(0)\cap D=\emptyset[/mm] sein! Deshalb muss man in jedem Falle mit so einem [mm]\varepsilon[/mm]-Argument rangehen und dann "die Schlinge zuziehen".
Viele Grüße,
Robert
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