Forward Rates gebr. Perioden < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mi 29.05.2013 | | Autor: | netcat |
| Aufgabe | Gegeben seinen die folgenden Spot Rates (p. a.):
1 Jahr: 2%
2 Jahre: 4%
3 Jahre: 6%
Berechnen Sie die Forward Rates FR(1;1,5) und FR(1,5;2). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe eine Frage zu oben gestellter Aufgabe und stehe da ein bisschen auf dem Schlauch. Die Spot Rates sind immer p. a. gegeben, nun müssen die Forward Rates für gebrochene Perioden berechnet werden, also in einem Jahr für ein halbes Jahr und in eineinhalb Jahren für ein halbes Jahr.
Angenommen, ich berechne die FR nach der diskreten Methode.
[mm] (\bruch{(1+R(long))^{T(long)}}{(1+R(short))^{T(short)}})^{\bruch{1}{T(long)-T(short)}} [/mm] -1
mit
t = Abschlussdatum, z. B. heute
T = Startdatum Forward
T' = Endedatum Forward
T(long) = T' - t
T(short) = T - t
R(long) = R(t,T')
R(short) = R(t,T)
Die FR für z.B. in einem Jahr für ein Jahr ist leicht verständlich, einfach die Werte einsetzen. Wie verhält es sich mit gebrochenen Perioden, also FR(1;1,5)?
Angenommen, die Zinsen verlaufen zwischen den gegebenen Stützpunkten linear, dann wäre die Spot Rate R(t, 1,5)= 3% p.a. Darf dieser Wert in die Formel eingesetzt werden, und das Ergebnis wird dann multipliziert mit Anzahl Zinstage/Jahresbasis (also im einfachsten Falle durch 2)?
Das Ergebnis für FR(1;1,5) wäre dann:
[mm] (1,03^{1,5}/1.02^1)^{1/1,5-1} [/mm] -1
=(1,03^(1,5)/1.02)^(1/0,5) -1
= 5,03% (p. a.)
=> 2,515% für ein halbes Jahr
Ist es wirklich so einfach?
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
> Gegeben seinen die folgenden Spot Rates (p. a.):
> 1 Jahr: 2%
> 2 Jahre: 4%
> 3 Jahre: 6%
> Berechnen Sie die Forward Rates FR(1;1,5) und FR(1,5;2).
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
> ich habe eine Frage zu oben gestellter Aufgabe und stehe da
> ein bisschen auf dem Schlauch. Die Spot Rates sind immer p.
> a. gegeben, nun müssen die Forward Rates für gebrochene
> Perioden berechnet werden, also in einem Jahr für ein
> halbes Jahr und in eineinhalb Jahren für ein halbes Jahr.
>
> Angenommen, ich berechne die FR nach der diskreten Methode.
>
> [mm](\bruch{(1+R(long))^{T(long)}}{(1+R(short))^{T(short)}})^{\bruch{1}{T(long)-T(short)}}[/mm]
> -1
> mit
> t = Abschlussdatum, z. B. heute
> T = Startdatum Forward
> T' = Endedatum Forward
> T(long) = T' - t
> T(short) = T - t
> R(long) = R(t,T')
> R(short) = R(t,T)
>
Du berechnest hier die Forward Rate exponentiell; dann werden gebrochene Laufzeiten durch den Exponenten, hier 1,5, bereits berücksichtigt, auch wenn man die Spot Rate p.a. ansetzt. Es gibt in der Praxis, soweit mir bekannt ist, keine expliziten Zinssätze für solche Zwischenperioden.
> Die FR für z.B. in einem Jahr für ein Jahr ist leicht
> verständlich, einfach die Werte einsetzen. Wie verhält es
> sich mit gebrochenen Perioden, also FR(1;1,5)?
> Angenommen, die Zinsen verlaufen zwischen den gegebenen
> Stützpunkten linear, dann wäre die Spot Rate R(t, 1,5)=
> 3% p.a. Darf dieser Wert in die Formel eingesetzt werden,
> und das Ergebnis wird dann multipliziert mit Anzahl
> Zinstage/Jahresbasis (also im einfachsten Falle durch 2)?
>
Eine lineare Zinsberechnung habe ich häufig im Geldmarkt, also bei Laufzeiten bis zum einem Jahr gesehen, etwa bei einem FR(0,5;0,5). Wenn in dem Beispiel eine lineare Zinsberechnung für die letzten sechs Monate angesetzt werden soll, wäre der Zinssatz nicht 3%. Ausgehen muß man vom Jahreszinssatz, also hier 4%, und für 6 Monate betrüge er dann 2%. Dann kann man allerdings nicht die oben genannte Formel ansetzen, sondern sollte rechnen:
$ [mm] FR=\bruch{1,04 \cdot \left(1+0,5*0,04\right)}{1,02} [/mm] $
Das Ergebnis ist dann die Forward Rate für sechs Monate; wenn man das mit 2 multipliziert, hat man den Zins p.a.
> Das Ergebnis für FR(1;1,5) wäre dann:
> [mm](1,03^{1,5}/1.02^1)^{1/1,5-1}[/mm] -1
> =(1,03^(1,5)/1.02)^(1/0,5) -1
> = 5,03% (p. a.)
> => 2,515% für ein halbes Jahr
aus den genannten Gründen nein
>
> Ist es wirklich so einfach?
> Vielen Dank für die Hilfe!
Da die Überlegung zur Berechnung der Forward Rates darauf beruht, daß man aus den Anlagen mit ihm und der vorherigen kürzeren Laufzeit den gleichen Zinsertrag erhält wie bei der Anlage in der längeren Laufzeit, kann man die Ergebnisse gut mit den Vergleichsrechnungen überprüfen.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Fr 31.05.2013 | | Autor: | netcat |
Hallo Staffan,
vielen Dank für die Erklärung. Ich habe nun nochmal einen Nachmittag drüber gebrütet und ich habe zu deinen Ausführungen zwei Rückfragen.
Die erste bezieht sich auf folgende Aussage:
> Es gibt in der Praxis, soweit mir bekannt
> ist, keine expliziten Zinssätze für solche
> Zwischenperioden.
Nach meinem Verständnis werden die Forward Rates aus Spot Rates ermittelt. Spot Rates wiederum werden als Zero Rates angegeben. Mir liegt nun die o.g. "Zinsstruktur" vor. In der Realität wären natürlich mehr Stützstellen vorhanden, z.B. Laufzeiten bis ein Jahr die LIBOR Sätze, danach dann aus Swapsätzen oder Kupon Anleihen ermittelte Zero Rates. Um eine Zinskurve zu erhalten, müssen die fehlenden Punkte (Laufzeit, Zins) ermittelt werden - ich habe die Literatur so verstanden, dass dies mittels Interpolation passiert. Dazu habe ich die wohl einfachste Interpolation gewählt, die lineare (man merkt - das ist schon kompliziert genug für mich :-/ ). Vielleicht ist hier schon der erste Denkfehler von mir. Könntest du mir erklären, warum dieser Ansatz falsch ist aus deiner Sicht?
Meine zweite Rückfrage bezieht sich darauf, ob die Forward Rate nach meiner Berechnung tatsächlich unterjährig angegeben ist oder ob es sich nicht doch um einen Jahres-FR Satz handelt:
> Du berechnest hier die Forward Rate exponentiell; dann
> werden gebrochene Laufzeiten durch den Exponenten, hier
> 1,5, bereits berücksichtigt, auch wenn man die Spot Rate
> p.a. ansetzt.
Ich habe den ganzen Nachmittag darüber gebrütet und bin zu dem Schluss gekommen, dass es sich bei dem Ergebnis der von mir angewandten Formel eben doch um einen jährlichen Zinssatz handeln muss. Dieser kommt zustande eben gerade durch den Exponenten [mm] \bruch{1}{T_{long}-T_{short}}, [/mm] der die Rate für gebrochene Perioden in eine Jahresrate umgerechnet. Um aus der Jahresrate wieder eine Rate für eine gebrochene Periode zu machen, müsste das Ergebnis (+1) wieder mit dem Exponenten [mm] {T_{long}-T_{short}} [/mm] potenzieren - oder ich lasse beide Exponenten gleich weg.
Hier ein Rechenbeispiel:
FR(1,0;1,5) = [mm] \bruch{1,03^{1,5}}{1,02}-1 [/mm] = 0,024839 (für ein halbes Jahr von T = 1,0 bis T = 1,5)
oder
FR(1,0;1,5) = [mm] (\bruch{1,03^{1,5}}{1,02})^\bruch{1}{1,5-1}-1 [/mm] = 0,050295 (p.a.) => (0,050295 + [mm] 1)^{1/2} [/mm] = 0,024839
Probe:
========
Anlage 0 - 1,5J:
R(0;1,5) = [mm] 1,03^{1,5} [/mm] -1 = 0,045336
K(1EUR) = 1,045336
Anlage 0 - 1J und 1J - 1,5J:
R(0;1,0) = [mm] 1,02^{1} [/mm] - 1 = 0,02
FR(1,0;1,5) = 0,024839
=> K(1EUR) = 1 [mm] \* [/mm] (1+0,02) [mm] \* [/mm] (1+0,024839) = 1,045336
========
Fall ich hier einen Denkfehler gemacht habe, wäre es sehr sehr nett, wenn du mich drauf hinweisen würdest...
Die Probe habe ich übrigens immer gerechnet, dadurch bin ich auch darauf aufmerksam geworden, dass irgendetwas nicht stimmen konnte in meiner Überlegung/Rechnung. Aber ich bin nicht von allein auf den Fehler gestoßen.
Vielen Dank nochmal für deine Antwort, ich hoffe, du kannst mir hier nochmal helfen.
Viele Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
> Hallo Staffan,
>
> vielen Dank für die Erklärung. Ich habe nun nochmal einen
> Nachmittag drüber gebrütet und ich habe zu deinen
> Ausführungen zwei Rückfragen.
>
> Die erste bezieht sich auf folgende Aussage:
> > Es gibt in der Praxis, soweit mir bekannt
> > ist, keine expliziten Zinssätze für solche
> > Zwischenperioden.
>
> Nach meinem Verständnis werden die Forward Rates aus Spot
> Rates ermittelt. Spot Rates wiederum werden als Zero Rates
> angegeben. Mir liegt nun die o.g. "Zinsstruktur" vor. In
> der Realität wären natürlich mehr Stützstellen
> vorhanden, z.B. Laufzeiten bis ein Jahr die LIBOR Sätze,
> danach dann aus Swapsätzen oder Kupon Anleihen ermittelte
> Zero Rates. Um eine Zinskurve zu erhalten, müssen die
> fehlenden Punkte (Laufzeit, Zins) ermittelt werden - ich
> habe die Literatur so verstanden, dass dies mittels
> Interpolation passiert. Dazu habe ich die wohl einfachste
> Interpolation gewählt, die lineare (man merkt - das ist
> schon kompliziert genug für mich :-/ ). Vielleicht ist
> hier schon der erste Denkfehler von mir. Könntest du mir
> erklären, warum dieser Ansatz falsch ist aus deiner Sicht?
das, was Du schilderst, macht man bei der Darstellung der Kurve und man wird auch bei Abzinsungen in bestimmten Fällen so vorgehen. Das widerspricht aber nicht der Praxis, die sich auf die Spot Rates bezieht, die genauso wie Du es sagst, bis zu einem Jahr aus LIBOR/EURIBOR und danach aus Swapsätzen (oder Kouponanleihen) ermittelt werden. Ich widerspreche Dir auch zu den Spot Rates nicht.
>
>
> Meine zweite Rückfrage bezieht sich darauf, ob die Forward
> Rate nach meiner Berechnung tatsächlich unterjährig
> angegeben ist oder ob es sich nicht doch um einen Jahres-FR
> Satz handelt:
> > Du berechnest hier die Forward Rate exponentiell; dann
> > werden gebrochene Laufzeiten durch den Exponenten, hier
> > 1,5, bereits berücksichtigt, auch wenn man die Spot Rate
> > p.a. ansetzt.
>
> Ich habe den ganzen Nachmittag darüber gebrütet und bin
> zu dem Schluss gekommen, dass es sich bei dem Ergebnis der
> von mir angewandten Formel eben doch um einen jährlichen
> Zinssatz handeln muss. Dieser kommt zustande eben gerade
> durch den Exponenten [mm]\bruch{1}{T_{long}-T_{short}},[/mm] der die
> Rate für gebrochene Perioden in eine Jahresrate
> umgerechnet. Um aus der Jahresrate wieder eine Rate für
> eine gebrochene Periode zu machen, müsste das Ergebnis
> (+1) wieder mit dem Exponenten [mm]{T_{long}-T_{short}}[/mm]
> potenzieren - oder ich lasse beide Exponenten gleich weg.
>
> Hier ein Rechenbeispiel:
> FR(1,0;1,5) = [mm]\bruch{1,03^{1,5}}{1,02}-1[/mm] = 0,024839 (für
> ein halbes Jahr von T = 1,0 bis T = 1,5)
> oder
> FR(1,0;1,5) = [mm](\bruch{1,03^{1,5}}{1,02})^\bruch{1}{1,5-1}-1[/mm]
> = 0,050295 (p.a.) => (0,050295 + [mm]1)^{1/2}[/mm] = 0,024839
Auch hier widerspreche ich nicht. Ich habe ebenso den Jahreszinssatz angesetzt. Für die exponentielle Rechnung sind beide Ansätze richtig.
>
> Probe:
> ========
> Anlage 0 - 1,5J:
> R(0;1,5) = [mm]1,03^{1,5}[/mm] -1 = 0,045336
> K(1EUR) = 1,045336
>
> Anlage 0 - 1J und 1J - 1,5J:
> R(0;1,0) = [mm]1,02^{1}[/mm] - 1 = 0,02
> FR(1,0;1,5) = 0,024839
> => K(1EUR) = 1 [mm]\*[/mm] (1+0,02) [mm]\*[/mm] (1+0,024839) = 1,045336
> ========
>
> Fall ich hier einen Denkfehler gemacht habe, wäre es sehr
> sehr nett, wenn du mich drauf hinweisen würdest...
>
> Die Probe habe ich übrigens immer gerechnet, dadurch bin
> ich auch darauf aufmerksam geworden, dass irgendetwas nicht
> stimmen konnte in meiner Überlegung/Rechnung. Aber ich bin
> nicht von allein auf den Fehler gestoßen.
>
> Vielen Dank nochmal für deine Antwort, ich hoffe, du
> kannst mir hier nochmal helfen.
> Viele Grüße
> Andreas
In der Eröffnungsfrage hast Du nach meinem Verständnis zwei Punkte vermischt. Wenn man die Zinsen unterjährig exponentiell berechnet, was häufig bei Laufzeiten von über einem Jahr üblich ist, dann legt man den Jahreszinssatz zugrunde. D.h. in dem ersten Beispiel den für 2 Jahre mit 4%. Du hast hier aber mit 3% gerechnet und dann diesen als eine linear ermittelte Größe bezeichnet. Das ist bei exponentieller Rechnung nicht richtig - und bei linearer wäre der Zinssatz für 2 Jahre von 4% für 6 Monate zu halbieren, er wäre dann auch nicht 3%. Es gibt verschiedene Usancen der Zinsberechnung im unterjährigen Bereich (linear (am Anfang oder Ende der Laufzeit)/exponentiell). Wenn man sie nur linear ansetzt, müßte man das - wie ich angedeutet habe - auch ausdrücken, rechnet man generell exponentiell, gibt es keine linearen(!) Zwischenwerte. Es reicht der Jahreszins.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Fr 31.05.2013 | | Autor: | netcat |
Hallo,
ok, jetzt wird es klarer, dann hatte ich ein paar Aussagen nur falsch gedeutet - und mich unklar ausgedrückt.
Eine Frage bleibt noch, nämlich nochmal bezogen auf die Zero-Zinskurve (Spot Rates).
Zum besseren Verständnis (meinerseits...) hier nochmal meine gegebenen Spot Rates:
1 J.: 2%
2 J.: 4%
3 J.: 6%
Wenn man daraus eine Zinskurve aufbaut mit Laufzeiten von 1 Tag bis 4 Jahre, mittels linearer Interpolation zwischen den Stützstellen und "Extrapolation" vor der ersten und letzten Stützstelle, in dem die Zinssätze stabil gehalten werden, erhält man folgende Punkte:
Laufzeit Spot Rate (p.a.)
1 Tag: 2%
2 Tage: 2%
...
1 Jahr: 2%
...
1,25 Jahre: 2,5%
...
1,5 Jahre: 3,0%
...
2 Jahre: 4,0%
...
...
...
3 Jahre: 6,0%
3 Jahre+1 Tag: 6,0%
...
4 Jahre: 6,0%
Bei der aus Vereinfachungsgründen nun ausschließlichen Rechnung mit der exponentiellen Usance, ist es nun falsch aus der ermittelten Spot Rate Kurve für FR(1,0;1,5) die beiden Spot Rate R(1,0)=2,0% und R(1,5)=3,0% abzulesen?
Vielen Dank!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
danke für die Erläuterungen. Die Berechnung weiterer Punkte auf der Zinsstrukturkurve über lineare Interpolation habe ich verstanden und dagegen auch keine Einwände. Ich sehe das aber nur als Unterstützung für die Kurvendarstellung. Die Frage, die ich mir stelle, ist die, ob ich für eine Anlage von 1,5 Jahren angesichts der Spot Rates für 1 und 2 Jahre von 2 bzw. 4 % tatsächlich 3% als Zins am Markt bekomme oder ob ich nicht eine 2-Jahresanlage tätige, diese aber nach 1,5 Jahren beende und dann abrechne. Das letztere habe ich angenommen und auf dieser Basis den Forward ermittelt, weil die Spot Rates ab 1 Jahr jährlich notiert werden und mir ein echtes Angebot mit 3% fraglich erscheint.
Gruß
Staffan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Sa 01.06.2013 | | Autor: | netcat |
Hallo,
ich möchte mich nochmal bedanken, deine Antworten haben mir sehr geholfen, nachdem ich schon ein bisschen verzweifelt war! Und den nötigen Denkanstoß in die richtige Richtung gegeben.
Ich denke, die Interpolation zwischen den Stützpunkten geht in Ordnung, zumindest für Spot Rates habe ich das so mehrfach in verschiedener Literatur gelesen (z.B. Hull, John (2009): Optionen, Futures und andere Derivate oder Hagan, Patrick; West, Graeme (2006): „Interpolation methods for curve construction.“). Hull schreibt z.B. auf S. 117:
"Ein Diagram, welches den Zerobond-Zinssatz als Funktion ihrer Laufzeit darstellt, heißt [...] Spot-Rate-Strukturkurve. Eine weit verbreitete Annahme ist, dass sich die Zinsstrukturkurve zwischen den durch die Bootstrap-Methode bestimmten Punkten linear verhält. (D.h. der 1,25-Jahres-Zerobond-Zinssatz ist 0,5 * 10,536 + 0,5 * 10,681 = 10,6085%[...])"
Für das Beispiel sind angegeben 1 Jahr = 10,536% und 1,5 Jahre 10,681%
Er merkt aber ferner auch an, dass in der Praxis üblicherweise zunächst die Anleihenpreise interpoliert würden und dann erst per Bootstrapping die Spot Rates ermittelt würden, wenn für die gewünschte Laufzeit keine Anleihe mit entsprechender Laufzeit vorhanden wäre (hier also für 1 Jahr und 1,5 Jahre). Beispielsweise die für 1,5 Jahre Laufzeit kann man aus 1,25 Jahren Restlaufzeit und 1,75 Jahren Restlaufzeit ermitteln.
Vielen Dank und Grüße!
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