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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:08 So 01.05.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo,
ich hatte folgende Aufgabe zu lösen:
Man berechne die reellen und komplexen Fourier-Koeffizenten der 2-periodischen Funktion
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
1+2x, & \mbox{für } -\bruch{1}{2} \le x \le 0 \\
1-2x, & \mbox{für } 0 < x < \bruch{1}{2} \\
0, & \mbox{sonst in } [-1,1]
\end{matrix}\right. [/mm]
Ich habe für [mm] a_{n} = \bruch{2}{T} \integral_{-1/2}^{0} {(1+2x)\cos(n\omega x) dx} + \bruch{2}{T} \integral_{0}^{1/2} {(1-2x)\cos(n\omega x)dx} [/mm]
[mm] a_{n} = \bruch{-4\cos( \bruch{n \pi}{2}) + 4 }{ n^{2} \pi^{2}} [/mm]
und für [mm] b_{n} = \bruch{2}{T} \integral_{-1/2}^{0} {(1+2x)\sin(n\omega x) dx} + \bruch{2}{T} \integral_{0}^{1/2} {(1-2x)\sin(n\omega x) dx} [/mm]
[mm] b_{n} = 0 [/mm]
nun soll ich noch die komplexen Koeffizienten [mm] c_{n} [/mm] berechnen.....
Das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich diese nun berechnen kann, in der Vorlesung hatte wir den Satz:
[mm] f : \left[ 0,T \right] \to \IC \quad c_{n} = \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T} {f(x)e^{-in\omega x} dx} [/mm]
Wie würde ich hier vorgehen?
Außerdem habe ich noch eine Frage zu dieser Aufgabe:
[mm] g(x) = \summe_{k= -\infty}^{ \infty} f(x + k) [/mm]
falls [mm] f(x) = (e -1)e^{-\left| x \right|} [/mm], man berechne g in geschlossener Form. Was ist mit geschlossen gemeint bzw. wie würde ich hier vorgehen?
Ich würde euch sehr dankbar sein, wenn ihr mir bei diesen Aufgaben helfen könntet.
Viele Grüße,
Samoth
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Hallo,
> [mm]f : \left[ 0,T \right] \to \IC \quad c_{n} = \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T} {f(x)e^{-in\omega x} dx}[/mm]
>
> Wie würde ich hier vorgehen?
bei Anwendung der Eulerschen Formel gilt:
[mm]\begin{gathered}
c_{n} \; = \;\frac{1}
{T}\;\int\limits_0^T {f(x)\;e^{-in\omega x} } \;dx \hfill \\
= \;\frac{1}
{T}\;\int\limits_0^T {f(x)\;\cos \;n\omega x\;dx} \; - \;i\;\frac{1}
{T}\;\int\limits_0^T {f(x)\;\sin \;n\omega x\;dx} \hfill \\
= \;a_{n} \; - \;i\;b_{n} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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