Fourier-Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 So 31.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] \bruch{\pi}{2}(4j+1) [/mm] - x
x [mm] \in [2\pi [/mm] j - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] , [mm] 2\pi [/mm] j + [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] ]
Gesucht sind die Fourierkoeffizienten. |
So also ich habe mir mal die Funktion skizziert:
Das [mm] 2\pi [/mm] j sagt mir doch, dass es sich um eine [mm] 2\pi [/mm] - periodische Funktion handelt korrekt?
f(x) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - x
f(-x) = - f(x) also ist die Funktion Punktsymmetrisch.
aj = 0
bj = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3\pi}{2}}{(\bruch{\pi}{2} - x) * sin(jx) dx}
[/mm]
Per partielle Integration habe ich erhalten:
[mm] \integral {(\bruch{\pi}{2} - x) * sin(jx) dx} [/mm] = [mm] -(\bruch{\pi}{2} [/mm] - x) * cos(jx) * [mm] \bruch{1}{j} [/mm] - [mm] sin(jx)*\bruch{1}{j^2}
[/mm]
bj = [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] [ [mm] -(\bruch{\pi}{2} [/mm] - x) * cos(jx) * [mm] \bruch{1}{j} [/mm] - [mm] sin(jx)*\bruch{1}{j^2} [/mm] ] von [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] bis [mm] \bruch{3\pi}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] ( [mm] -(\bruch{\pi}{2}-\bruch{3\pi}{2}) [/mm] * [mm] cos(\bruch{3\pi}{2}j) [/mm] * [mm] \bruch{1}{j} [/mm] - [mm] sin(\bruch{3\pi}{2} [/mm] j) * [mm] \bruch{1}{j^2} [/mm] + ( [mm] \pi) [/mm] * [mm] cos(\bruch{\pi}{2}j)*\bruch{1}{j} [/mm] - [mm] sin(\bruch{\pi}{2}j)*\bruch{1}{j^2} [/mm] )
j gerade: bj = - [mm] \bruch{2}{j}
[/mm]
j ungerade: bj = 0
a0 = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3\pi}{2}} (\bruch{\pi}{2} [/mm] - x)
= [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] [ [mm] \bruch{\pi}{2}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^2] [/mm] von [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] bis [mm] \bruch{3\pi}{2}
[/mm]
= 2
Wäre super, wenn jemand drüber schauen könnte ob das so korrekt ist.
Schönen Abend.
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm]\bruch{\pi}{2}(4j+1)[/mm] - x
Ist dies eine von j abhängige Funktion?
Poste doch die korrekte Funktion.
>
> x [mm]\in [2\pi[/mm] j - [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] , [mm]2\pi[/mm] j + [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm]
> ]
>
> Gesucht sind die Fourierkoeffizienten.
> So also ich habe mir mal die Funktion skizziert:
>
> Das [mm]2\pi[/mm] j sagt mir doch, dass es sich um eine [mm]2\pi[/mm] -
> periodische Funktion handelt korrekt?
Ja.
>
> f(x) = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - x
>
> f(-x) = - f(x) also ist die Funktion Punktsymmetrisch.
>
> aj = 0
>
> bj = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3\pi}{2}}{(\bruch{\pi}{2} - x) * sin(jx) dx}[/mm]
>
> Per partielle Integration habe ich erhalten:
>
> [mm]\integral {(\bruch{\pi}{2} - x) * sin(jx) dx}[/mm] =
> [mm]-(\bruch{\pi}{2}[/mm] - x) * cos(jx) * [mm]\bruch{1}{j}[/mm] -
> [mm]sin(jx)*\bruch{1}{j^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bj = [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] [ [mm]-(\bruch{\pi}{2}[/mm] - x) * cos(jx) *
> [mm]\bruch{1}{j}[/mm] - [mm]sin(jx)*\bruch{1}{j^2}[/mm] ] von [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> bis [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] ( [mm]-(\bruch{\pi}{2}-\bruch{3\pi}{2})[/mm] *
> [mm]cos(\bruch{3\pi}{2}j)[/mm] * [mm]\bruch{1}{j}[/mm] - [mm]sin(\bruch{3\pi}{2}[/mm]
> j) * [mm]\bruch{1}{j^2}[/mm] + ( [mm]\pi)[/mm] *
> [mm]cos(\bruch{\pi}{2}j)*\bruch{1}{j}[/mm] -
> [mm]sin(\bruch{\pi}{2}j)*\bruch{1}{j^2}[/mm] )
>
> j gerade: bj = - [mm]\bruch{2}{j}[/mm]
Hier habe ich etwas anderes.
> j ungerade: bj = 0
>
> a0 = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3\pi}{2}} (\bruch{\pi}{2}[/mm]
> - x)
>
> = [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] [ [mm]\bruch{\pi}{2}x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x^2][/mm] von
> [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] bis [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm]
>
> = 2
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> Wäre super, wenn jemand drüber schauen könnte ob das so
> korrekt ist.
> Schönen Abend.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Mo 01.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
Vielen Dank!
Ja auch von j abhängig.
bj gerade = [mm] \bruch{1}{\pi} (\pi [/mm] * [mm] cos(\bruch{3\pi}{2}j)\bruch{1}{j} [/mm] ) + [mm] \pi cos(\bruch{\pi}{2}j) \bruch{1}{j})
[/mm]
kann ich ja die Cosinus-Terme wieder umschreiben zu [mm] (-1)^j [/mm] oder?
Das hat ich völlig außer Acht gelassen.
bj gerade= [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] ( [mm] \bruch{2\pi}{j}*(-1)^j)) [/mm] = [mm] \bruch{2}{j}*(-1)^j
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Vielen Dank!
>
> Ja auch von j abhängig.
Dann ist die Berechnung meines Erachtens anders vorzunehmen:
[mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{2*\pi*j-\bruch{\pi}{2}}^{2*\pi*j+\bruch{3*\pi}{2}}{\left( \ \left(4*j+1\right)*\bruch{\pi}{2}-x \ \right)*\sin\left(k*x\right) \ dx[/mm]
bzw.
[mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{2*\pi*j-\bruch{\pi}{2}}^{2*\pi*j+\bruch{3*\pi}{2}}{\left( \ \left(4*j+1\right)*\bruch{\pi}{2}-x \ \right)*\cos\left(k*x\right) \ dx[/mm]
Und dies dann über alle [mm]j \in \IZ[/mm] aufzusummieren.
Das sind dann die Fourierkoeffizienten.
Nochmal, ist das so gewollt?
>
> bj gerade = [mm]\bruch{1}{\pi} (\pi[/mm] *
> [mm]cos(\bruch{3\pi}{2}j)\bruch{1}{j}[/mm] ) + [mm]\pi cos(\bruch{\pi}{2}j) \bruch{1}{j})[/mm]
>
> kann ich ja die Cosinus-Terme wieder umschreiben zu [mm](-1)^j[/mm]
> oder?
> Das hat ich völlig außer Acht gelassen.
>
> bj gerade= [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] ( [mm]\bruch{2\pi}{j}*(-1)^j))[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{j}*(-1)^j[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mo 01.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
Aufgabe war:
Sei f : R → R gegeben durch f (x) = [mm] \bruch{\pi}{2}(4j [/mm] + 1) − x für x ∈ [mm] [2\pi [/mm] j − [mm] \bruch{\pi}{2}, 2\pi [/mm] j + [mm] \bruch{3\pi}{2}), [/mm] j ∈ Z.
Berechnen Sie die reellen Fourierkoeffizienten von f .
Wobei mir die Darstellung die Darstellung von dir nicht so bekannt vorkommt.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Aufgabe war:
>
> Sei f : R → R gegeben durch f (x) = [mm]\bruch{\pi}{2}(4j[/mm] +
> 1) − x für x ∈ [mm][2\pi[/mm] j − [mm]\bruch{\pi}{2}, 2\pi[/mm] j +
> [mm]\bruch{3\pi}{2}),[/mm] j ∈ Z.
>
>
> Berechnen Sie die reellen Fourierkoeffizienten von f .
>
> Wobei mir die Darstellung die Darstellung von dir nicht so
> bekannt vorkommt.
Ich war etwas irritiert, wegen dem j in der gegebenen Funktion.
Natürlich reduziert sich die Funktionsdarststellung auf
[mm]\bruch{\pi}{2}-x[/mm]
So daß
[mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3*\pi}{2}}{\left( \ \bruch{\pi}{2}-x \ \right)*\sin\left(j*x\right) \ dx[/mm]
bzw.
[mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3*\pi}{2}}{\left( \ \bruch{\pi}{2}-x \ \right)*\cos\left(j*x\right) \ dx[/mm]
zu berechnen sind.
>
> Viele Grüße
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 02.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok, Danke sehr.
Dann kann ich ja bj gerade wie oben beschrieben umschreiben durch [mm] (-1)^j [/mm]
also bj gerade = [mm] \bruch{2}{j}\cdot{}(-1)^j [/mm]
Vielen Dank nochmals!
|
|
|
| |
|
> Ok, Danke sehr.
>
> Dann kann ich ja bj gerade wie oben beschrieben umschreiben
> durch [mm](-1)^j[/mm]
>
> also bj gerade = [mm]\bruch{2}{j}\cdot{}(-1)^j[/mm]
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
Es ist [mm] b_2=-1, b_4=1/2, b_6=-1/3 [/mm] usw.
Es kommt darauf an, "wie gerade" j ist. Manche sind gerader als andere... (Die Vielfachen von 4).
Nochwas: Deine Funktion ist mitnichten gerade!
Es handelt sich doch um
[mm] f(x)=\pi/2-x [/mm] für [mm] x\in [-\pi/2, 3/2\pi], [/mm] welche [mm] 2\pi-periodisch [/mm] fortgesetzt wird.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 02.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
Erstmal Vielen Dank!
Ja das hab ich nun auch heraus.
Ich hatte den Fehler gemacht, dass ich für Gerade b eine allg. Form haben wollte und nicht einfach für mein j=2, j=4 usw.. eingesetzt habe.
Es gibt ja Fälle, da darf ich mein [mm] cos(\pi [/mm] j) = [mm] (-1)^j [/mm] setzen bzw. [mm] cos(2\pi [/mm] j) = [mm] (-1)^j [/mm]
Wann darf ich so immer vorgehen und wann nicht? Hier in diesem Fall darf man es ja wie ich es sehe nicht.
Viele Grüße und Danke!
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Erstmal Vielen Dank!
>
> Ja das hab ich nun auch heraus.
>
> Ich hatte den Fehler gemacht, dass ich für Gerade b eine
> allg. Form haben wollte und nicht einfach für mein j=2,
> j=4 usw.. eingesetzt habe.
>
> Es gibt ja Fälle, da darf ich mein [mm]cos(\pi[/mm] j) = [mm](-1)^j[/mm]
> setzen bzw. [mm]cos(2\pi[/mm] j) = [mm](-1)^j[/mm]
Es gilt immer: [mm]cos(\pi j) = (-1)^j[/mm]
und [mm]cos(2\pi j) = \cos\left( \pi \ 2j\right)=(-1)^{2j}=1[/mm]
>
> Wann darf ich so immer vorgehen und wann nicht? Hier in
> diesem Fall darf man es ja wie ich es sehe nicht.
>
> Viele Grüße und Danke!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Di 23.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
Danke :)
Ich habe gerade noch eine Aufgabe zu dem Thema gerechnet. Nochmal geht es um cos(2 [mm] \pi [/mm] x) = 1
Und zwar:
f(x) = x - [mm] \pi [/mm] x [mm] \in [0,2\pi) 2\pi [/mm] periodisch.
aj = 0 bj = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{x - \pi} [/mm] sin(jx)
bj = [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] [ (-x + [mm] \pi) cos(jx)*\bruch{1}{j} [/mm] + sin(jx) [mm] \bruch{1}{j^2}] [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
= [mm] \bruch{cos(2\pi)}{j} [/mm] - [mm] \bruch{1}{-j}
[/mm]
Als Ergebnis der Lösung habe ich: - [mm] \bruch{2}{j}
[/mm]
Jedoch wäre es doch hier mit [mm] cos(2\pi){j} [/mm] = 1 als bj = 0..
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Danke :)
>
> Ich habe gerade noch eine Aufgabe zu dem Thema gerechnet.
> Nochmal geht es um cos(2 [mm]\pi[/mm] x) = 1
>
> Und zwar:
>
> f(x) = x - [mm]\pi[/mm] x [mm]\in [0,2\pi) 2\pi[/mm] periodisch.
>
> aj = 0 bj = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{x - \pi}[/mm]
> sin(jx)
>
> bj = [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] [ (-x + [mm]\pi) cos(jx)*\bruch{1}{j}[/mm] +
> sin(jx) [mm]\bruch{1}{j^2}][/mm] von 0 bis [mm]2\pi[/mm]
>
> = [mm]\bruch{cos(2\pi)}{j}[/mm] - [mm]\bruch{1}{-j}[/mm]
>
Hier muss es doch zunächst lauten:
[mm]=\bruch{1}{\pi}*\left( \ \left( \left(-2*\pi+\pi\right)*\cos\left(2*\pi*j\right)*\bruch{1}{j}+\bruch{1} {j^{2}}*\sin\left(2*\pi*j\right) \ \right) - \left( \left(-0+\pi\right)*\cos\left(0*j\right)*\bruch{1}{j}+\bruch{1} {j^{2}}*\sin\left(0*j\right) \ \right) \ \right) \right)[/mm]
[mm]=\bruch{1}{\pi}*\left( \ \left( \left(-\pi\right)*\cos\left(2*\pi*j\right)*\bruch{1}{j}+\bruch{1} {j^{2}}*\sin\left(2*\pi*j\right) \ \right) - \left( \pi*\cos\left(0*j\right)*\bruch{1}{j}+\bruch{1} {j^{2}}*\sin\left(0*j\right) \ \right) \ \right) \right)[/mm]
> Als Ergebnis der Lösung habe ich: - [mm]\bruch{2}{j}[/mm]
>
> Jedoch wäre es doch hier mit [mm]cos(2\pi){j}[/mm] = 1 als bj =
> 0..
Nein, siehe oben.
>
> Vielen Dank!
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Di 23.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ah Vielen Dank. Ich hat ein minus vergessen..
Viele Grüße
|
|
|
|
