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| Aufgabe | Zeigen Sie: Ist f eine [mm] 2\pi-periodische [/mm] gerade Funktion [mm] \IR \to \IR, [/mm] so gilt für das n-te Fourier-Polynom [mm] S_{n}(f):
[/mm]
[mm] S_{n}(f)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{n}a_kcos(kx) [/mm] |
hallo liebe mathetutoren,
ich brauche bitte eure Hilfe.
Und zwar würde ich gerne wissen, wie ich die Bedingung f(x)=f(-x) , die ja gerade bei geraden Funktionen gilt, anwende, dass in
[mm] S_{n}(f)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{n}a_kcos(kx)+b_ksin(kx)
[/mm]
[mm] b_k [/mm] = 0 wird
gruß
richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mi 27.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
hier wird grad dasselbe behandelt. Wenn du noch weitere Fragen hast, häng dich da dran.
Gruss leduart
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hallo leduart,
was den beitrag von mathiko betrifft, so ist also nicht notwendig
partiell zu integrieren?
gruß
richard
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> hallo leduart,
>
> was den beitrag von mathiko betrifft, so ist also nicht
> notwendig
> partiell zu integrieren?
Hallo,
nein.
Es ist, wie leduart schreibt:
die Integrale müssen nicht wirklich ausgerechnet werden, sondern es muß nur festgestellt werden, daß gewisse Integrale addiert =0 sind.
Gruß v. Angela
>
> gruß
> richard
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hallo angela,
ich soll zeigen, dass [mm] b_k=0:
[/mm]
hab es mal versucht, viell. kannst du was dazu sagen
[mm] \bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{n}(\overbrace{\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) cos(kx)dx}}^{a_k} *\cos(kx)+b_ksin(kx))=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{n}(\overbrace{\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f(-x) cos(-kx)dx}}^{a_k} *\cos(-kx)+b_ksin(-kx))
[/mm]
unter der Vorraussetzung f(x)=f(-x) gilt dann
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(x) cos(kx)dx}=\integral_{0}^{2\pi}{f(-x) cos(-kx)dx}=-\integral_{0}^{2\pi}{f(-x) cos(kx)dx}=0
[/mm]
und
[mm] b_k\*sin(kx)=-b_k\*sin(kx)
[/mm]
[mm] \Rightarrow\ b_k=0
[/mm]
vg
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Sa 30.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du hingeschrieben hast ist unbegründet und falsch ,
Wie liest du die posts?
1. statt vpn 0 bis [mm] 2\pi [/mm] von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] +\pi [/mm] integrieren.
2, dieses Intgral auf teilen in die Summe von 2 Integralen. [mm] -\pi [/mm] bis 0 und 0 bis [mm] \pi
[/mm]
3. zeigen warum die 2 Integrale entgegengesetzt gleich sind. dazu ausnutzen , dass sin ne ungerade fkt ist, cos ne gerade.
bei geraden fkt *sin hat man eine ungerade Funktion: warum? warum ergeben Integrale von -a bis +a über ungerade fkt. 0
Lies nochmal die posts und halt dich dran, was du geschrieben hast hat nix mit al den Ratschlägen zu tun.
Gruss leduart
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hallo leduart,
erstmal recht vielen dank für deine hilfe,
ich hab leider noch immer schwierigkeiten mit der aufgabe.
im besonderen mit der schreibweise
hab jetzt mal folgendes gemacht:
[mm] \bruch{1}{\pi}(\integral_{-\pi}^{0}{f(x)cos(kx)dx}+\integral_{0}^{\pi}{f(x)cos(kx)dx})cos(kx)+\bruch{1}{\pi}(\integral_{-\pi}^{0}{f(x)sin(kx)dx}+\integral_{0}^{\pi}{f(x)sin(kx)dx})sin(kx)=\bruch{1}{\pi}(\integral_{-\pi}^{0}{f(-x)cos(-kx)dx}+\integral_{0}^{\pi}{f(-x)cos(-kx)dx})cos(-kx)+\bruch{1}{\pi}(\integral_{-\pi}^{0}{f(-x)sin(-kx)dx}+\integral_{0}^{\pi}{f(-x)sin(-kx)dx})sin(-kx)
[/mm]
soll mit dieser schreibweise folgen, dass
[mm] b_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)sin(kx) dx}=0
[/mm]
oder sollen in der gleichung die [mm] b_k`s [/mm] stehen bleiben
und nicht durch die jeweiligen integrale ersetzt werden?
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 So 31.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch wenn du beweisen willst, dass die [mm] b_k [/mm] 0 sind nur das Integral für [mm] b_k [/mm] hin, entsprechend für [mm] a_k
[/mm]
1. Da die fkt. [mm] 2\pi [/mm] periodisch sind , kann man das integral über jedes Intervall der Länge [mm] 2\pi [/mm] berechnen.
also [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x) sin(x)dx}=\integral_{a}^{a+2\pi}{f(x) *sin(x)dx} \mbox{ und mit a=-\pi dann: } \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)(sin(x) dx}[/mm]
also $ [mm] b_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}=0$
[/mm]
ist zu zeigen wenn f(x)=f(-x)
ersetze in
[mm]\integral_{-\pi}^{0}{f(x) dx} \mbox{ x durch -x was musst du dann noch ändern? benutze auch } sin(-x)=-sin(x)[/mm]
und dann lies auch noch mal die posts durch, irgendwie beziehst du dich nie darauf, sondern versuchst immer wieder was, was mit dem, was ich und die anderen gesagt haben nichts zu tun hat.
Gruss leduart
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hallo
also schreibe ich:
[mm] b_k=\bruch{-1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{f(-x)sin(kx) dx}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}
[/mm]
aber das gibt in der summe nicht null
irgendwie steh ich total auf der leitung
richard
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Hallo,
berechnen möchtest Du [mm] b_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}[/mm].
Es ist doch
[mm] b_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}[/mm]
[mm]= \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{f(x)sin(kx) dx}+ \bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}[/mm]
[mm]= \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{f(-x)sin(kx) dx}+ \bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}[/mm]
und nicht
> [mm]b_k=\bruch{-1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{f(-x)sin(kx) dx}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}[/mm].
Das konnte also nicht gut klappen.
Jetzt schnapp Dir mal das erste Integral meiner Summe, das Integral
[mm] $\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{f(x)sin(kx) dx}$,
[/mm]
und bearbeite es den Regeln entsprechend.
Tausche die Grenzen (wie verändert sich das Integral?),
substituiere t=-x,
beachte, daß f eine gerade Funktion ist und sin ungerade.
Alternativ kannst Du Dir auch überlegen, daß f(x)sin(kx) ungerade ist,
womit rein anschaulich auch klar sein sollte, daß die Summe der Integrale 0 ergibt. (Warum?)
Gruß v. Angela
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hallo angela,
ich habe
[mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{f(x)sin(kx) dx}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}
[/mm]
dann nehme ich das erste integral und vertausche die grenzen, das vorzeichen dreht sich also um:
[mm] -\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{-\pi}{f(x)sin(kx) dx}
[/mm]
und dann darf ich auch folgendes schreiben?
[mm] -\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{-\pi}{f(x)sin(kx) dx}=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{-\pi}{f(-x)sin(kx) dx}
[/mm]
dann substituiere ich [mm] t=\phi(x)=-x
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(t)sin(-kt) \*-dt}=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(t)sin(kt)dt}
[/mm]
analog gehe ich beim 2-ten integral vor, so dass dann da steht:
[mm] -\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(t)sin(kt)dt}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(t)sin(kt)dt}=0
[/mm]
gruß
richard
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> hallo angela,
>
> ich habe
>
> [mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{0}{f(x)sin(kx) dx}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}[/mm]
>
> dann nehme ich das erste integral und vertausche die
> grenzen, das vorzeichen dreht sich also um:
>
> [mm]-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{-\pi}{f(x)sin(kx) dx}[/mm]
>
> und dann darf ich auch folgendes schreiben?
>
> [mm]-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{-\pi}{f(x)sin(kx) dx}=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{-\pi}{f(-x)sin(kx) dx}[/mm]
>
> dann substituiere ich [mm]t=\phi(x)=-x[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(t)sin(-kt) \*-dt}=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(t)sin(kt)dt}[/mm]
Hallo,
ja.
>
> analog gehe ich beim 2-ten integral vor, so dass dann da
> steht:
Beim zweiten Integral brauchst Du doch gar nichts zu machen. (?)
>
> [mm]-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(t)sin(kt)dt}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(t)sin(kt)dt}=0[/mm]
Genau.
Gruß v. Angela
>
>
> gruß
> richard
>
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leduart, angela,danke für eure Hilfe!
gruß
richard
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