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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 So 14.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
| Aufgabe | gegeben sei die Funktion [mm] f(z)=(z^2+\pi)
[/mm]
Entwickeln Sie f(z) für reelle z und Periodizität im Intervall [mm] (-2\pi ,2\pi) [/mm] in eine Fourierreihe. zerlegen Sie die Fourierreihe in real- und Imaginärteil. Aeshalb tauchen manche Beiträge in der Entwicklung nicht auf?
Wenden Sie das Quotientenkriterium zur Untersuchung der Konvergenz der (komplexen) Fourierreihe an. welche Aussage erhalten Sie |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Fourierreihe bestimmt und komme auf den Ausdruck:
f(x) = [mm] 2\pi [/mm] ( 4/3 [mm] \pi [/mm] +1) + [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{8}{k^2}) [/mm] * cos(kx)
stimmt das?
Und wie wende ich das Quotientenkriterium an :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}/a_{n})
[/mm]
wobei [mm] a_{k} =(\bruch{8}{k^2}) [/mm] * cos(kx) sein muss?
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Hallo ctg180,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> gegeben sei die Funktion [mm]f(z)=(z^2+\pi)[/mm]
> Entwickeln Sie f(z) für reelle z und Periodizität im
> Intervall [mm](-2\pi ,2\pi)[/mm] in eine Fourierreihe. zerlegen Sie
> die Fourierreihe in real- und Imaginärteil. Aeshalb
> tauchen manche Beiträge in der Entwicklung nicht auf?
>
> Wenden Sie das Quotientenkriterium zur Untersuchung der
> Konvergenz der (komplexen) Fourierreihe an. welche Aussage
> erhalten Sie
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe die Fourierreihe bestimmt und komme auf den
> Ausdruck:
> f(x) = [mm]2\pi[/mm] ( 4/3 [mm]\pi[/mm] +1) +
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{8}{k^2})[/mm] * cos(kx)
>
> stimmt das?
Das stimmt leider nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die gegebene Funktion hat doch die Periode [mm]4\pi[/mm].
>
> Und wie wende ich das Quotientenkriterium an :
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}/a_{n})[/mm]
> wobei [mm]a_{k} =(\bruch{8}{k^2})[/mm] * cos(kx) sein muss?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 So 14.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
ich hab folgenden gemacht:
zuerst einmal [mm] c_{0} [/mm] bestimmt, das ist bei mir:
[mm] c_{0}= 4\pi^2*(4/3 \pi [/mm] + 1)
dann hab ich [mm] c_{k} [/mm] bestimmt.
[mm] c_{k}=8\pi [/mm] / [mm] k^2
[/mm]
das ganze dann in die Funktionsgleichung:
f(x)= [mm] \summe_{k=-infty}^{infty} 4/k^2 [/mm] * e^(ikx) + [mm] 4\pi^2 [/mm] / [mm] 2\pi [/mm] * (4/3 [mm] \pi [/mm] + 1)... oder ist hier schon der Fehler?
Danke für deine Antwort!
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Hallo ctg80,
> ich hab folgenden gemacht:
> zuerst einmal [mm]c_{0}[/mm] bestimmt, das ist bei mir:
> [mm]c_{0}= 4\pi^2*(4/3 \pi[/mm] + 1)
>
> dann hab ich [mm]c_{k}[/mm] bestimmt.
> [mm]c_{k}=8\pi[/mm] / [mm]k^2[/mm]
>
> das ganze dann in die Funktionsgleichung:
> f(x)= [mm]\summe_{k=-infty}^{infty} 4/k^2[/mm] * e^(ikx) + [mm]4\pi^2[/mm] /
> [mm]2\pi[/mm] * (4/3 [mm]\pi[/mm] + 1)... oder ist hier schon der Fehler?
>
Stelle Fragen auch als Fragen nicht als Mitteilungen.
Für die Periode [mm]2\pi[/mm] mag das stimmen.
Für die Periode [mm]4\pi[/mm] kommt etwas anderes heraus.
> Danke für deine Antwort!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 So 14.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
Sry... mach das zum ersten Mal, aber danke
jaja... das hab ich noch vergessen zu schreiben
ich hab zudem z erst doch substituiert in 2u über die Formel: z = [mm] 1/2\pi [/mm] *[u(b-a] + [mm] \pi [/mm] (b+a)]
wobei b die obere Grenze ist : [mm] 2\pi [/mm]
und a die untere
deswegen kann ich das Integral auch über [mm] 2\pi [/mm] bilden, dachte ich ?
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Hallo ctg180,
> Sry... mach das zum ersten Mal, aber danke
>
> jaja... das hab ich noch vergessen zu schreiben
> ich hab zudem z erst doch substituiert in 2u über die
> Formel: z = [mm]1/2\pi[/mm] *[u(b-a] + [mm]\pi[/mm] (b+a)]
> wobei b die obere Grenze ist : [mm]2\pi[/mm]
> und a die untere
>
> deswegen kann ich das Integral auch über [mm]2\pi[/mm] bilden,
> dachte ich ?
Deine Überlegungen sind richtig.
Das Ergebnis leider trotzdem nicht.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 So 14.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
Danke, dann probier ichs später nochmal... ich hab heut sowieso schon etwas viel Mathe gemacht
Trotzdem vielen Dank
sobald ich fertig bin, meld ich mich (vllt, in einer halben Stunde)
Grüße
ctg180
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 14.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
jetzt hab ich doch nochmal ne Frage
wenn ich substituier in z = 2u
muss ich dann für
[mm] c_{k} [/mm] = [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{[e^(-ik*(2u))]*(4u^2+2\pi) * 2 du} [/mm]
machen oder muss es e^(-iku) und nur du heißen??
Danke
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Hallo ctg80,
> jetzt hab ich doch nochmal ne Frage
>
> wenn ich substituier in z = 2u
> muss ich dann für
> [mm]c_{k}[/mm] = [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{[e^(-ik*(2u))]*(4u^2+2\pi) * 2 du}[/mm]
>
Die Formel lautet doch:
[mm]c_{k} = \bruch{1}{4*\pi}\integral_{-2*\pi}^{2*\pi}{e^{-ik*\bruch{1}{2}*z}*(z^2+\pi) \ dz}[/mm]
Wenn Du jetzt z=2u substituierst, dann ist [mm]dz=2 \ du[/mm] und somit
[mm]c_{k} = \bruch{1}{4*\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-ik*\bruch{1}{2}*2u}*(4*u^2+\pi) * 2 \ du}[/mm]
>
> machen oder muss es e^(-iku) und nur du heißen??
>
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 14.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
ok.. ich glaub, da ist das erste Problem:
ich kenn die Formel so:
[mm] c_{k}= \integral_{-\pi}^{pi}{ e^{-ikx}*f(x) dx} [/mm]
und hier hätte ich dann für x= 2u und ja dx = 2du eingesetzt
??
ok... also ich hab jetzt nochmal gerechnet aber mit deiner Formel für [mm] c_k [/mm] , da komm ich dann auf [mm] 8/k^2 *(-1)^k[/mm]
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Hallo ctg180,
> ok.. ich glaub, da ist das erste Problem:
> ich kenn die Formel so:
> [mm]c_{k}= \integral_{-\pi}^{pi}{ e^{-ikx}*f(x) dx}[/mm]
>
> und hier hätte ich dann für x= 2u und ja dx = 2du
> eingesetzt
Um diese Formel auf das Intervall [mm]\left[-2\pi,2\pi\right][/mm] zu transformieren,
muß die Substitution [mm]x=\bruch{u}{2}[/mm] gewählt werden.
>
> ??
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 14.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
ok ich se schon, wo das Problem liegt... was ich also mache ist, ich ersetze x durch u.
Es gilt, nach der Formel x = [mm] 1/2\pi *[u(b-a)+\pi(b+a)]
[/mm]
=> x = 2u , aber statt dass ich nun die Formel überall nach x= 2u umforme setzt ich für x -> x/2 ein....
und erhalte 1/2 dx , sowie [mm] e^{-ikx/2} [/mm] etc...
ich glaub, mein Problem war, dass ich die Formel immer falschherum eingesetzt hab...
Stimmt das ergebnis: [mm] c_{k} [/mm] = [mm] 8/k^2 [/mm] * [mm] (-1)^k [/mm] ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 So 14.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
aber muss ich dann nicht auch [mm] x^2+\pi [/mm] durch [mm] x^2/4 [/mm] + [mm] \pi [/mm] ersetzten?, dann käm aber wieder etwas anderes raus....
ich glaub ich machs einfach über die Formel:
[mm] c_{k} [/mm] = 1/t [mm] \integral_{a}^{a+t}{e^{-ikx2\pi/t} f(x) dx}
[/mm]
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Hallo ctg80,
> aber muss ich dann nicht auch [mm]x^2+\pi[/mm] durch [mm]x^2/4[/mm] + [mm]\pi[/mm]
Nein.
Die Funktion in der Formel operiert auf [mm]\left[-\pi, \ \pi\right][/mm]
Die gegebene Funktion operiert jedoch auf [mm]\left[-\blue{2}\pi, \ \blue{2}\pi\right][/mm]
> ersetzten?, dann käm aber wieder etwas anderes raus....
>
> ich glaub ich machs einfach über die Formel:
>
> [mm]c_{k}[/mm] = 1/t [mm]\integral_{a}^{a+t}{e^{-ikx2\pi/t} f(x) dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo ctg180,
> ok ich se schon, wo das Problem liegt... was ich also mache
> ist, ich ersetze x durch u.
> Es gilt, nach der Formel x = [mm]1/2\pi *[u(b-a)+\pi(b+a)][/mm]
> =>
> x = 2u , aber statt dass ich nun die Formel überall nach
> x= 2u umforme setzt ich für x -> x/2 ein....
>
> und erhalte 1/2 dx , sowie [mm]e^{-ikx/2}[/mm] etc...
>
> ich glaub, mein Problem war, dass ich die Formel immer
> falschherum eingesetzt hab...
>
> Stimmt das ergebnis: [mm]c_{k}[/mm] = [mm]8/k^2[/mm] * [mm](-1)^k[/mm] ???
>
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 So 14.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
Erstmal vielen vielen Dank, dass Sie mir geholfen haben ( fast 3h :) )
zumindest hab ich jetzt kapiert, dass es so mit der Formel nicht klappt
ich hab jetzt für
f(x) = 4/3 [mm] \pi^2 [/mm] + [mm] \pi [/mm] + [mm] 16\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k/k^2 [/mm] * cos(kx)
raus,... ich hoff, dass ist soweit richtig :)
Nachmals Danke!
Jetzt heißt es nur noch das Quotientenkriterium zu knacken , aber das mach ich morgen
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Hallo ctg180,
> Erstmal vielen vielen Dank, dass Sie mir geholfen haben (
Wir sind hier alle per "Du".
> fast 3h :) )
>
> zumindest hab ich jetzt kapiert, dass es so mit der Formel
> nicht klappt
>
>
>
> ich hab jetzt für
> f(x) = 4/3 [mm]\pi^2[/mm] + [mm]\pi[/mm] + [mm]16\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k/k^2[/mm]
> * cos(kx)
Das ist fast richtig:
[mm]f(x) = 4/3 \pi^2 + \pi + 16\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k/k^2 * cos(\red{\bruch{1}{2}}kx)[/mm]
>
> raus,... ich hoff, dass ist soweit richtig :)
> Nachmals Danke!
>
> Jetzt heißt es nur noch das Quotientenkriterium zu knacken
> , aber das mach ich morgen
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Di 16.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
Danke..
Wie wende ich nun das Quotientenkriterium drauf an?
Wenn ich hab: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= |(-1)*(k+1)^2 [/mm] / [mm] (k^2) [/mm] * cos((k+1)x/2)/ cos(kx/2)
?
gegen was strebt der cos-Bruch?
der k-bruch lässt sich ja zusammenfassen zu : [mm] (1+1/k)^2 [/mm] und geht gegen 1
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Hallo ctg,
> Danke..
> Wie wende ich nun das Quotientenkriterium drauf an?
>
> Wenn ich hab: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}= |(-1)*(k+1)^2[/mm] /
> [mm](k^2)[/mm] * cos((k+1)x/2)/ cos(kx/2)
> ?
>
>
> gegen was strebt der cos-Bruch?
> der k-bruch lässt sich ja zusammenfassen zu : [mm](1+1/k)^2[/mm]
> und geht gegen 1
Soweit richtig. Den Cosinus kannst Du mit einem Additionstheorem noch weiter bearbeiten, aber das Ergebnis ist nicht so recht beglückend:
[mm] \bruch{\cos{\left(\bruch{(k+1)x}{2}\right)}}{\cos{\left(\bruch{kx}{2}\right)}}=\bruch{\cos{\left(\bruch{kx}{2}+\bruch{x}{2}\right)}}{\cos{\left(\bruch{kx}{2}\right)}}=\cos{\left(\bruch{x}{2}\right)}-\tan{\left(\bruch{kx}{2}\right)}*\sin{\left(\bruch{x}{2}\right)}
[/mm]
Das ist im allgemeinen nicht konvergent, außer für [mm] x=2m\pi,\ m\in\IZ.
[/mm]
Mich irritiert noch, dass die Aufgabe von einer komplexen Fourierreihe spricht, auf die Du das Quotientenkriterium anwenden sollst. Die vorliegende ist doch ganz reell, oder nicht?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 16.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
das hat mich auch irritiert, aber die gebildete Fourierreihe ist reell, was auch klar ist, da z reell [mm] z^2 [/mm] + [mm] \pi [/mm] ebenfalls reell ist
ich hab das auch mit den Additionstheoremen gemacht...
naja... an sich dürfte die Funktion ja auch nicht konvergieren oder? Da [mm] z^2 [/mm] ja auch nicht konvergiert, das wär mein Ansatz ... ??
Naja trotzdem Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Di 16.08.2011 | | Autor: | Dath |
Man schaue hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Di 16.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
Danke...
ok, d.h das ganze strebt also gegen [mm] x^2 [/mm] + pi ? wenn ich das
richtig verstanden habe, ja klar, weil ich stelle die eigentliche Funktion ja auch durch diese Summe dar...
könnte ich versuchen, die trig. Teile in Taylorreihen umzuschreiben und alles rauszustreichen, was rausfliegt? aber iwie scheint mir das etwas zu komisch,... ich dachte es gebe etwas einfacheres.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Di 16.08.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
[mm] |cos(k/2*x)|\le1 [/mm] für alle x
also musst du nur zeigen dass [mm]\summe_{k=1}^{\infty} ^1/k^2[/mm]
konvergiert und das ist klar.
das Quotientenkrit. wendet man nur auf die Koeffizienten an.
sicher hat das nix mit Taylor zu tun!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Mi 17.08.2011 | | Autor: | ctg180 |
also ich hab mir grad folgendes überlegt:
cos((k+1)x/2)= [mm] 1/2(e^{i(k+1)x/2} [/mm] + [mm] e^{-i(k+1)x/2})
[/mm]
cos(kx/2) = 1/2 [mm] (e^{ikx/2}+ e^{-ikx/2})
[/mm]
der Bruch sieht dann nach dem ausklammern und kürzen von
[mm] e^{-ikx/2} [/mm] so aus:
[mm] (e^{ikx}*e^{ix/2} [/mm] / [mm] e^{ikx} [/mm] +1) + ( [mm] e^{-ix/2} [/mm] / [mm] e^{ikx} [/mm] +1)
beim ersten Bruch lässt sich [mm] e^{ikx} [/mm] ausklammern und es bleibt übrig. [mm] (e^{ix/2} [/mm] / 1+ [mm] (1/e^{ikx}) [/mm] ) für k -> [mm] \infty [/mm] geht dieser gegen [mm] e^{ix/2}
[/mm]
der zweite Bruch geht gegen 0
das heißt die gesamte Summe geht gegen - [mm] e^{ix/2} [/mm] ???
das konvergiert dann für alle x > 0?
hmmm...was sagt mir das jetzt? Stimmt das überhaupt .. ojeoje
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mi 17.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du meinen post nicht gelesen?
aber wenn [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] gegen irgendwas konvergiert, was soll das ausser Konvergenz mit der Summe zu tun haben? außerdem [mm] |e^{ikx}|=1 [/mm] für [mm] x\in \IR [/mm] woher hast du deine Konvergenz? du behandelst [mm] e^{ikx} [/mm] wie [mm] e^{kx}?
[/mm]
deine Umformung bestätigt nur dass [mm] cos(...)\le [/mm] 1
Gruss leduart
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