Fourierkoeff. (Beweis) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:28 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Schluchti |
| Aufgabe | Man zeige: Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] bzw. [mm] c_{k} [/mm] einer [mm] 2\pi [/mm] - periodischen
Funktion kann an Stelle des Intervalls [0, [mm] 2\pi] [/mm] auch jedes Intervall der Form [a, a + [mm] 2\pi]
[/mm]
mit a [mm] \in \IR [/mm] als Integrationsintervall gewählt werden. |
Hallo,
mir ist klar, dass die Behauptung aus der Aufgabenstellung gelten muss, aber ich bin mir nicht so ganz sicher, wie ich dies mathematisch korrekt zeigen kann.
Folgendes hätte ich mir zu [mm] a_{n} [/mm] überlegt:
für die Berechnung von [mm] a_{n} [/mm] gilt ja: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] * [mm] \integral{f(t) * \cos(nt) dt}
[/mm]
sei f(t) eine gerade Funktion, d.h es gilt: f(t) = f(-t), und g(t) = [mm] \cos(nt). [/mm] Da der Cosinus ebenfalls eine gerade Funktion ist, muss für g(t) auch gelten: g(t) = g(-t). Multipliziert man zwei gerade Funktionen f(t) und g(t) miteinander, so ergibt sich:
f(-t) * g(-t) = f(t) * g(t)
==> es ergibt sich also ebenfalls wieder eine gerade Funktion.
Da f(t) laut Angabe [mm] 2*\pi [/mm] periodisch ist und g(t) ebenfalls [mm] 2*\pi [/mm] periodisch ist, ist auch das Produkt der beiden Funktionen [mm] 2*\pi [/mm] periodisch. Aufgrund der Achssymmetrie bei geraden Funktionen, ist es nun egal, wohin ich das Intervall über einer [mm] 2*\pi [/mm] periodischen Funktion verschiebe.
Wenn f(t) ungerade ist, dann hätte ich mit der Punktsymmetrie argumentiert.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass das wohl (sollten die Überlegungen überhaupt stimmen) nicht so ganz als Beweis durchgehen wird, aber mir fällt im Moment nichts besseres ein. Ich würd mich freuen, wenn mir jemand nen Stubs in die richtige Richtung geben könnte.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Schluchti |
Hat sich erledigt. Ich hab nun einen Weg gefunden, die Behauptung zu zeigen. Für alle die ebenfalls an dem Problem hängen: Spielt ein wenig mit den Integrationsgrenzen und versucht das Integral von a bis [mm] a+2*\pi [/mm] in zwei Teilintegrale mit entsprechenden Grenzen zu zerlegen. Wenn ihr das zweite Teilintegral noch ein wenig verschiebt, dann habt ihr schon die Lösung.
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