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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Do 07.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Fourierreihe für die periodische Funktion
[mm] f(t)=\begin{cases} -t, & \mbox{für } t \mbox{ [-1, 0)} \\ t, & \mbox{für } t \mbox{ [0,1]} \end{cases} [/mm] |
So das ist also meine Aufgabe. Diese soll ich nun also in diese Form:
$ [mm] \displaystyle f(t)=\frac{a_0}{2} [/mm] $ + $ [mm] \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] $ t) + $ [mm] b_k \cdot \sin(k \omega [/mm] $ t))
bringen.
Wobei $ [mm] \displaystyle\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{c}^{c+T} [/mm] $ f(t) $ [mm] \mathrm{d}t [/mm] $
und
$ [mm] \displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} [/mm] $ f(t) $ [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm] $ und $ [mm] \displaystyle b_n=\frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} [/mm] $ f(t) $ [mm] \cdot \sin(n\omega t)\, \mathrm{d}t, [/mm] $
sowie:
$ [mm] \omega=\bruch{2\pi}{T} [/mm] $
Soweit ich das beurteilen kann, müsste es sich um einen vom Nullpunkt ausgehenden Rechtenwinkel handeln, wobei die Winkelhalbierende die Y-Achse in postiv Richtung ist. Demnach handelt es sich also um eine gerade Funktion und ich kann den Teil [mm] b_k \cdot \sin(k \omega [/mm] t)) weglassen.
Hierbei stellen sich mir folgende Fragen:
a) Ist diese Beobachtung korrekt?
b) Da f(t) ja aufgespalten ist für -t und +t, heißt dies, dass ich 2 Fourierreihen bilden muss oder läuft das irgendwie anders und wenn ja wie?
Meine Vermutung ist, dass ich nur den Teil für f(t) = t berechne und vor das Integral mit 2 multipliziere, da ich dann ja nur mit der halben Periodenlänge arbeite .... ist aber wie gesagt nur eine Vermutung.
Greetz
Ganzir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Do 07.05.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Ganzir,
deine Vermutungen stimmen alle ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du hast im Grunde nichts anderes als eine Betragsfunktion auf dem genannten Intervall.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Do 07.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Hallo Ganzir,
deine Vermutungen stimmen alle |
Schonmal gut zu wissen, nun habe ich noch 2 Fragen:
Einmal was das ausrechnen des [mm] b_{k} [/mm] Teils angeht.
Ich erhalte hier wenn ich einsetze folgendes Integral:
2 [mm] \cdot \integral_{0}^{1}{t \cdot cos(k\pi t) dt}
[/mm]
Nun folgt part.Int.:
2 [mm] \cdot [/mm] [[t [mm] \cdot \bruch{1}{k\pi} \cdot sin(k\pi [/mm] t)] - 2 [mm] \cdot \integral_{0}^{1} sin(k\pi [/mm] t) dt]
Ist die 2 die ich rot makiert habe hier korrekt, da sich auch dieses Integral ja nur über die halbe Periodenlänge erstreckt oder ist es doppelt gemoppelt, weil ich zu beginn schon mit 2 multipliziere (aufgrund des Ausgangsintegrals)?
Meine andere Frage ist:
Wenn das nun ausgerechnet habe und die Fourierreihe aufstelle, was muss ich dann für k einsetzen. Mir fehlt hier eine Angabe bis zu welchem Glied ich sie aufschreiben soll, gibt es da eine Konvention die ich nicht kenne, wie viele Glieder man angibt oder soll ich nur eine allgemeines [mm] a_{k} [/mm] für die Summenschreibweise angeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Do 07.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die 2 kannst du nicht 2 mal verwenden,die steht ja schon vor der Klammer.
(rechne am besten einfach nur das Integral aus und nimm das Ergebnis *2)
2. du sollst ein allgemeines [mm] a_k [/mm] angeben, in dem aber nur noch Zahlen und k vorkommen sollten.
3. es ist meist nett die ersten paar hinzuschreiben und etwa das 5ten grades zu plotten, dann sieht man schneller Fehler, die man evt. hat.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Do 07.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | die 2 kannst du nicht 2 mal verwenden,die steht ja schon vor der Klammer. |
Ok dann wäre das schonmal geklärt nun habe ich ein paar Probleme mit dem Ausklammern:
Also müsste es jetzt so richtig sein:
2 [mm] \cdot [/mm] [[t [mm] \cdot \bruch{1}{k\pi} \cdot sin(k\pi [/mm] t)] - [mm] \integral_{0}^{1} sin(k\pi [/mm] t) dt]
Wenn ich dies nun weiter intergriere komme ich zu:
2 [mm] \cdot [/mm] ([t [mm] \cdot \bruch{1}{k\pi} \cdot sin(k\pi [/mm] t)] - [mm] [\bruch{1}{k\pi}\cdot -cos(k\pi [/mm] t)])
Kann ich die beiden [mm] \bruch{1}{k\pi} [/mm] vor die Klammer holen? In etwa so:
[mm] \bruch{2}{k^{2}\pi^{2}} \cdot [/mm] ([t [mm] \cdot sin(k\pi [/mm] t)] - [mm] [-cos(k\pi [/mm] t)])
Sowas bereitet mir immer Kopfzerbrechen.
Greetz
Ganzir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Fr 08.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausklammern kannst du, aber doch nicht ein Quadrat dadurch kriegen!
(a/b+c/b)=1/b*(a+c)
Wenn du unsicher bist, einfach wieder ausmultipl.
also:
$ [mm] \bruch{2}{k*\pi} \cdot [/mm] $ ([t $ [mm] \cdot sin(k\pi [/mm] $ t)] - $ [mm] [-cos(k\pi [/mm] $ t)])
jetzt noch die Grenzen einsetzen, in beiden Ausdruecken, denn so wie es dasteht ist es ja noch falsch.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Fr 08.05.2009 | | Autor: | ganzir |
Ja, ich wusste nicht wie ich die Int.Grenzen an die eckigen Klammern dranschreibe ... daher die Ungenauigkeit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Fr 08.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | $ [mm] \bruch{2}{k\cdot{}\pi} \cdot [/mm] $ ([t $ [mm] \cdot sin(k\pi [/mm] $ t)] - $ [mm] [-cos(k\pi [/mm] $ t)])
jetzt noch die Grenzen einsetzen, |
t [mm] \cdot sin(k\pi [/mm] t) wird immer 0 wenn ich das richtig sehe, daher brauche ich nur den 2. Ausdruck betrachenten also
[mm] \bruch{2}{k\cdot{}\pi} \cdot [cos(k\pi t)]_{0}^{1}
[/mm]
Macht
[mm] \bruch{2}{k\cdot{}\pi} \cdot (cos(k\pi)-cos(0)) [/mm]
Da cos(0) = 1
Also
[mm] \bruch{2\cdot cos(k\pi)-2}{k\pi} [/mm] = [mm] a_{k}
[/mm]
So richtig und kann man noch vereinfachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Fr 08.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, [mm] cosk\pi [/mm] noch einsetzen, dabei Fallunterscheidung machen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:02 Fr 08.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Hallo
ja, $ [mm] cosk\pi [/mm] $ noch einsetzen, dabei Fallunterscheidung machen.
Gruss leduart |
Das schwankt doch immer zwischen 1 und -1 je nach dem ob k grade oder ungrade ist, aber wie schreibe ich sowas?
Greetz
Ganzir
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> Hallo
> ja, [mm]cosk\pi[/mm] noch einsetzen, dabei Fallunterscheidung
> machen.
> Gruss leduart
> Das schwankt doch immer zwischen 1 und -1 je nach dem ob k
> grade oder ungrade ist, aber wie schreibe ich sowas?
Hallo,
so:
$ [mm] a_{k} [/mm] $=$ [mm] \bruch{2\cdot cos(k\pi)-2}{k\pi} [/mm] $ = [mm] \begin{cases} ..., & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ ..., & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Fr 08.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo ganzir
guck dir mal [mm] (-1)^k [/mm] an.
Gruss leduart
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