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| Aufgabe | a)Setzen Sie die auf [-1,1] definierte Funktion f(x)= x+1 periodisch auf ganz R fort. Entwickeln sie diese in eine Fourierreihe.
b)Konvergenz bei x=1, x=2?? |
Ich habe diese als ungerade entwickelt und folgendes Ergebnis erhalten:
Nach den Integralen:
(x+1) [mm] *\bruch{-cos(n\pix)}{n\pi} [/mm] [fuer 0 bis 1 und -1 bis 0] [mm] +\bruch{1}{n\pi}*\bruch{sin(nx\pi)}{n\pi } [/mm] [fuer 0 bis 1 und -1 bis 0]=
[mm] \bruch{-(-2)^{n}+1}{n\pi}
[/mm]
[mm] f\sim\bruch{3}{\pi}sin(\pix)-\bruch{1}{2\pi}sin(2x\pi)+\bruch{3}{3\pi}sin(3x\pi)-\bruch{1}{4\pi}sin(4x\pi)+\bruch{3}{5\pi}sin(5x\pi)
[/mm]
Bei
b) kommt jetzt jeweils 0 raus!
Bitte helft mir kurz, stimmt meine Fourierreihe?
lg gernot
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 So 11.11.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo gernot,
diese Funktion ist weder gerade noch ungerade. Wenn Du allerdings von der zu entwickelnden Funktion einen konstanten Wert von 1 abziehen würdest, dann wäre sie ungerade. Mit anderen Worten: Es gibt also auch noch einen Kosinusterm, wenn der auch die Frequenz von 0 Hertz besitzt, ein Gleichanteil also.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Infinit
Also einfach:
$ [mm] f\sim1-\bruch{3}{\pi}sin(\pix)-\bruch{1}{2\pi}sin(2x\pi)+\bruch{3}{3\pi}sin(3x\pi)-\bruch{1}{4\pi}sin(4x\pi)+\bruch{3}{5\pi}sin(5x\pi) [/mm] $
Stimmt die jetzt so?
Sorry aber ich bin im bereich schwingungen noch absoluter beginner!
lg gernot
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Hallo gernot2000,
> Hallo Infinit
>
> Also einfach:
>
> [mm]f\sim1-\bruch{3}{\pi}sin(\pix)-\bruch{1}{2\pi}sin(2x\pi)+\bruch{3}{3\pi}sin(3x\pi)-\bruch{1}{4\pi}sin(4x\pi)+\bruch{3}{5\pi}sin(5x\pi)[/mm]
>
> Stimmt die jetzt so?
Nein, das stimmt so nicht.
Siehe dazu diesen Artikel.
> Sorry aber ich bin im bereich schwingungen noch absoluter
> beginner!
>
> lg gernot
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 So 11.11.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo gernot,
die Terme sind fast okay, mit den Vorzeichen stimmt aber was noch nicht.
Der Term 1 ist okay aus der Cosinusentwicklung, danach kommen die Terme aus der Sinusentwicklung. Diese beginnen mit einem positiven Term und das Vorzeichen der weiteren Terme alterniert dann. Dann ist es okay. Deine Näherung mit den richtigen Vorzeichen habe ich hier mal geplottet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Infinit
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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$ [mm] f\sim1+\bruch{3}{\pi}sin(\pix)-\bruch{1}{2\pi}sin(2x\pi)+\bruch{3}{3\pi}sin(3x\pi)-\bruch{1}{4\pi}sin(4x\pi)+\bruch{3}{5\pi}sin(5x\pi) [/mm] $
Dass Plus, war das mein Fehler, schlampigkeit, sorry! Also so stimmt sie jetzt?
Sprich wenn f(x)=1+x muss ich meine F-Reihe auch um eins nach oben Verschieben?
Konvergenz bei x=1, x=2 wäre dann jeweils 1, kann das stimmen?
lg gernot
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 So 11.11.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo gernot,
genau, so kann man dies zusammensetzen. Die Konvergenz gegen den Mittelwert ist auch okay.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 So 11.11.2012 | | Autor: | gernot2000 |
Danke an Infinit und MathePower!!
Habt wieder einmal Licht ins dunkle gebraht!
lg gernot
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Hallo gernot2000,
> a)Setzen Sie die auf [-1,1] definierte Funktion f(x)= x+1
> periodisch auf ganz R fort. Entwickeln sie diese in eine
> Fourierreihe.
> b)Konvergenz bei x=1, x=2??
> Ich habe diese als ungerade entwickelt und folgendes
> Ergebnis erhalten:
>
> Nach den Integralen:
>
> (x+1) [mm]*\bruch{-cos(n\pix)}{n\pi}[/mm] [fuer 0 bis 1 und -1 bis
> 0] [mm]+\bruch{1}{n\pi}*\bruch{sin(nx\pi)}{n\pi }[/mm] [fuer 0 bis 1
> und -1 bis 0]=
>
> [mm]\bruch{-(-2)^{n}+1}{n\pi}[/mm]
>
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]\bruch{-(-2)^{n}}{n\pi}[/mm]
> [mm]f\sim\bruch{3}{\pi}sin(\pix)-\bruch{1}{2\pi}sin(2x\pi)+\bruch{3}{3\pi}sin(3x\pi)-\bruch{1}{4\pi}sin(4x\pi)+\bruch{3}{5\pi}sin(5x\pi)[/mm]
>
> Bei
> b) kommt jetzt jeweils 0 raus!
> Bitte helft mir kurz, stimmt meine Fourierreihe?
>
> lg gernot
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower!
Dein link führt mich wieder zu meiner Farge! :)
Kannst du mir den Artikel-link nochmals reinstellen?
Wo liegt denn der Fehler, bzw wie korrigiere ich ihn?
lg gernot
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 11.11.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo gernot,
da hat sich Mathepower mit dem Link vertan oder aber, was ich eher vermuter, war dies der dezente Hinweis, dass Du die Sinusterme doch schon mal richtig bestimmt hast, Deine Rechnung ist, wie gesagt bis auf die teilweise verkehrt übernommenen Vorzeichen der Sinusterme, durchaus nachvollziehbar. Siehe dazu meinen Plot, der ja schon eine recht gute Näherung andeutet.
Viele Grüße,
Infinit
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