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Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Mi 10.12.2008
Autor: Zorba

Aufgabe
[mm] f(x)=2x^{4}-4x²+1=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}cos(n\pi [/mm] x)  EDIT: x [mm] \in [/mm] [-1,1]
1. Berechne [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm]
2. Was kann man über den Wert von [mm] 2a_{0}²+\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}² [/mm] sagen?

Zur 1. habe ich die Ergebnisse [mm] a_{0}=\bruch{2}{15\pi} [/mm] und [mm] a_{1}=\bruch{2*48}{\pi^{4}} [/mm]
Stimmen diese?
Zur 2. fehlt mir eine Idee.
Kann mir evtl. jemand auf die Sprünge helfen?
Danke!

        
Bezug
Fourierreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:11 Do 11.12.2008
Autor: Herby

Hallo Georg,

ich erhalte da etwas völlig anderes. Bei 1. hast du doch ein Polynom, d.h. du kannst das Integral aufsplitten - wie kommst du da auf nur "ein" Ergebnis für [mm] a_0 [/mm] [kopfkratz3]

Liebe Grüße
Herby

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Bezug
Fourierreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:15 Do 11.12.2008
Autor: Zorba

Hallo!
Danke erstmal für deine Mühe. Ich verstehe nur leider garnicht wie du das meinst?
Was war deine Vorgehensweise und auf welches Ergebnis kommst du dann?


Sorry ich merk grade, dass ich noch die Info x [mm] \in [/mm] [-1,1] vergessen habe

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Bezug
Fourierreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:22 Do 11.12.2008
Autor: Herby

Hi,

Gegenfrage: WIE hast du [mm] a_0 [/mm] errechnet?

Ich nahm: [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx} [/mm]


Lg
Herby

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Bezug
Fourierreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:23 Do 11.12.2008
Autor: Zorba

Ich habe dasselbe Integral benutzt,  aber in den Grenzen -1 bis 1 berechnet.

Bezug
                                        
Bezug
Fourierreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:30 Do 11.12.2008
Autor: Herby

Hi,

> Ich habe dasselbe Integral benutzt,  aber in den Grenzen -1
> bis 1 berechnet.

oh, aha - das Intervall stand aber vorhin noch nicht da ;-)


Lg
Herby

ps: ich schaue nachher nochmal rein - muss jetzt heia machen :-)

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Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:35 Do 11.12.2008
Autor: Zorba

Danke, ich glaube ich kann den ersten Teil abhaken,
aber hat jemand eine Idee zu 2.??
Da fehlt mir der Ansatz.
Muss ich da zuerst [mm] a_{n} [/mm] berechnen? Warum fehlt der cos?

Bezug
                                                        
Bezug
Fourierreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:37 Do 11.12.2008
Autor: Herby

Hallo,

rein vom Gefühl her glaube ich nicht, dass 1. richtig ist - nachrechnen tue ich erst "morgen".

Lg
Herby

Bezug
                                                                
Bezug
Fourierreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:38 Do 11.12.2008
Autor: Zorba

Das wäre sehr nett, bis dann und gute Nacht!

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Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:13 Do 11.12.2008
Autor: fred97

Zu

$ [mm] 2a_{0}²+\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}² [/mm] $

ist zu sagen, dass die Reihe konvergiert !!!

Schau in Deinen Unterlagen mal nach "Besselsche Gleichung" , "Besselsche Ungleichung"

Das hattet Ihr sicher.

FRED

Bezug
        
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Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:40 Do 11.12.2008
Autor: Herby

Hallo,

> [mm]f(x)=2x^{4}-4x²+1=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}cos(n\pi[/mm] x)  
> EDIT: x [mm]\in[/mm] [-1,1]
>  1. Berechne [mm]a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm]
>  2. Was kann man über den Wert von
> [mm]2a_{0}²+\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}²[/mm] sagen?
>  Zur 1. habe ich die Ergebnisse [mm]a_{0}=\bruch{2}{15\pi}[/mm] und
> [mm]a_{1}=\bruch{2*48}{\pi^{4}}[/mm]
>  Stimmen diese?
>  Zur 2. fehlt mir eine Idee.
>  Kann mir evtl. jemand auf die Sprünge helfen?
>  Danke!

Deine "Periode" ist hier T=2. Für eine p-periodische Funktion lautet die Formel für

[mm] a_0=\bruch{2}{T}\integral_{-T/2}^{T/2}{f(x)\ dx} [/mm]

[mm] a_n=\bruch{2}{T}\integral_{-T/2}^{T/2}{f(x)*cos(n\omega x)\ dx} [/mm]

mit [mm] \omega=\bruch{2\pi}{T} [/mm]


Damit erhalte ich für [mm] a_0=\bruch{2}{15} [/mm] d.h. das [mm] \pi [/mm] im Nenner ist futsch und für [mm] a_n [/mm] ändert sich ja nix.


Liebe Grüße
Herby


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Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Do 11.12.2008
Autor: Zorba

Tatsächlich....danke vielmals.
Zur 2. hab ich bisher nur die Idee, in die Summe aus 1. die 0 für x einzusetzen. Bringt mir das was?

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Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 Do 11.12.2008
Autor: fred97

Zu 2. habe ich Dir heute morgen schon etwas gesagt.

FRED

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Bezug
Fourierreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 Do 11.12.2008
Autor: Zorba

Oh vielen Dank, das hab ich tatsächlich übersehen heute vormittag!


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