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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Di 15.11.2011 | | Autor: | Zeitlos |
| Aufgabe | Das auf [0, [mm] \pi] [/mm] definierte Funktionensystem
fn(x) = sin(nx)
bildet ein vollständiges Orthogonalsystem bezüglich des Skalarprodukts
<f,g> = [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x)*g(x) dx}
[/mm]
Entwickeln sie die auf [0, [mm] \pi] [/mm] definierte (konstante) Funktion f(x)=17 in eine Fourrierreihe bezüglich dieses Orthogonalsystems. |
An sich bin ich echt nicht so schlecht, was Fourrierreihe betrifft (ist ja auch ca immer dasselbe Schema..).. aber diese Angabe verstehe ich einfach nicht..
Das auf [0, [mm] \pi] [/mm] definierte Funktionensystem
fn(x) = sin(nx)
bildet ein vollständiges Orthogonalsystem bezüglich des Skalarprodukts
<f,g> = [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x)*g(x) dx}
[/mm]
heißt für mich das zB
f(x) = sin(3x)
g(x) = sin(5x)
sind paarweise orthogonal...
aber was der Ausdruck "bezüglich des Orthogonalsystems als Fourriereihe entwickeln" bedeutet weiß ich nicht..
heißt, dass eventuell das die Funktion die ich entwickeln muss
f(x) = 17* sin(nx) ist ?!
nicht oder ?!
lg
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> Das auf [0, [mm]\pi][/mm] definierte Funktionensystem
> fn(x) = sin(nx)
>
> bildet ein vollständiges Orthogonalsystem bezüglich des
> Skalarprodukts
> <f,g> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{f(x)*g(x) dx}[/mm]
>
> Entwickeln sie die auf [0, [mm]\pi][/mm] definierte (konstante)
> Funktion f(x)=17 in eine Fourrierreihe bezüglich dieses
> Orthogonalsystems.
> An sich bin ich echt nicht so schlecht, was Fourrierreihe
> betrifft (ist ja auch ca immer dasselbe Schema..).. aber
> diese Angabe verstehe ich einfach nicht..
>
> Das auf [0, [mm]\pi][/mm] definierte Funktionensystem
> fn(x) = sin(nx)
>
> bildet ein vollständiges Orthogonalsystem bezüglich des
> Skalarprodukts
> <f,g> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{f(x)*g(x) dx}[/mm]
>
> heißt für mich das zB
> f(x) = sin(3x)
> g(x) = sin(5x)
> sind paarweise orthogonal...
und es ist zu zeigen, dass es sich um ein vollständiges Orthogonalsystem handelt,
d.h. jede Funktion aus dem betrachteten Funktionenraum (vermutlich [mm] L^2([0,\pi])) [/mm] ist Linearkombination der [mm] f_n [/mm] darstellbar ist.
>
> aber was der Ausdruck "bezüglich des Orthogonalsystems als
> Fourriereihe entwickeln" bedeutet weiß ich nicht..
>
> heißt, dass eventuell das die Funktion die ich entwickeln
> muss
> f(x) = 17* sin(nx) ist ?!
> nicht oder ?!
Gesucht ist eine Darstellung der konstanten Funktion 17 als Linearkombination der [mm] f_n, [/mm] also
17 = [mm] \sum_na_nsin(nx)
[/mm]
Um diese Darstellung zu bekommen, kannst du z.B. die Fourier-Reihe der Funktion
g(x)=-17 für x<0 und g(x)=17 für [mm] x\ge [/mm] 0 auf dem Intervall [mm] [-\pi,\pi] [/mm] betrachten.
>
> lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 15.11.2011 | | Autor: | Zeitlos |
Also rechne ich quasi nur mit Sinuskomponenten..
normalerweise ist die Fourrierreihe ja
a0/2 + ak*sin(kx) + bk*cos(kx)
und in diesem Fall möchte ich f(x)=17 NUR als Linearkombination von sin(kx) darstellen, also lasse ich die bk*cos(kx) Terme einfach weg... ?
Aber warum sollte ich f(x)= -17 setzen wenn ich doch die konstante Funktion f(x)=17 in eine Fourrierreihe verwandeln soll ?!
kann ich nicht einfach f(x)=17 auf dem konstanten Intervall [mm] [-\pi, \pi] [/mm] entwickeln?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Was hat Don Quixote Dir geschrieben: betrachte
g(x)=-17 für x<0 und g(x)=17 für $ [mm] x\ge [/mm] $ 0 auf dem Intervall $ [mm] [-\pi,\pi] [/mm] $ .
Warum die -17 für x<0 ? Darum: g ist eine ungerade Funktion. Und das bedeutet für die CosinusTerme was ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 15.11.2011 | | Autor: | Zeitlos |
Bei einer ungeraden Funktion verschwinden die Cosinus-Terme...
mein Bedenken ist nur, dass ich mich durch diese Definition mit g(x)= -17 für x<0 ein bisschen der Angabe widersetze in der es ja heißt, dass ich die konstante Funktion g(x)= 17 darstellen soll...
wobei wenn ich g(x) = 17 für alle x definiere habe ich eine gerade Funktion, womit alle Sinus Terme wegfallen würden, was ja nicht geht weil ich ja eine Linearkombination aus Sinustermen erreichen will..
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> Bei einer ungeraden Funktion verschwinden die
> Cosinus-Terme...
> mein Bedenken ist nur, dass ich mich durch diese
> Definition mit g(x)= -17 für x<0 ein bisschen der Angabe
> widersetze in der es ja heißt, dass ich die konstante
> Funktion g(x)= 17 darstellen soll...
>
> wobei wenn ich g(x) = 17 für alle x definiere habe ich
> eine gerade Funktion, womit alle Sinus Terme wegfallen
> würden, was ja nicht geht weil ich ja eine
> Linearkombination aus Sinustermen erreichen will..
Für eine konstante Funktion kriegst du eine Fourierreihe, die nur aus dem konstanten Term besteht.
Mit dem Ansatz, eine auf [mm] [0,\pi] [/mm] definierte Funktion "gespiegelt" auf [mm] [-\pi,0] [/mm] fortzusetzen bekommst die eine Fourierreihe, die nur aus Sinus-Termien besteht. Da die Fouriereihe auf [mm] [-\pi,\pi] [/mm] konvergiert, erhältst du auch Konvergenz, wenn du die Einschränkung auf [mm] [0,\pi] [/mm] betrachtest.
In deinem Beispiel konvergiert also die aus Sinus-Termen bestehende reihe in [mm] L^2([0,\pi]) [/mm] sowie punktweise auf [mm] (0,\pi) [/mm] gegen die Konstante 17.
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