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| Aufgabe | Man berechne die Fourierreihe der Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} \pi, & \mbox{für } -\pi \le x < 0 \\ \pi+k*x, & \mbox{für } 0 \le x \le \pi \end{cases}, f_{(x\pm2*\pi} [/mm] = [mm] f_{(x)}, [/mm] k [mm] \in \IR [/mm] |
Guten Abend!
Bei diesem Beispiel bin ich eigentlich schon relativ weit gekommen, und wollte nun fragen, ob jemand meine Rechnung kontrollieren könnte, da ich einfach nicht auf das Ergebniss der Lösung komme....
Also, zu meinen Schritten:
Da die Funktion weder gerade noch ungerade ist, werden von vorne weg keine Koeffizienten zu 0, d.H.: ich muss alle berechnen!
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi dx}+\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)dx}
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{(k+4)*\pi}{2}
[/mm]
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*cos(k*x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi * cos(k*x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)*cos(k*x) dx}
[/mm]
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{cos(k*\pi)}{k*\pi} [/mm] + [mm] \bruch{2*sin(k*\pi)}{k} [/mm] + [mm] sin(k*\pi)- \bruch{1}{k*\pi}
[/mm]
[mm] b_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*sin(k*x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi * sin(k*x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)*sin(k*x) dx}
[/mm]
[mm] b_{k} [/mm] = [mm] \bruch{sin(k*\pi)}{k*\pi} [/mm] - [mm] cos(k*\pi)
[/mm]
Soweit so gut! Stimmt das alles bis hier her??
Nun lautet die Formel für die Fourierreihe ja:
[mm] S_{x} [/mm] = [mm] \bruch{a_{0}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] cos(k*x)+ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k} [/mm] sin(k*x)
eingesetzt:
[mm] S_{x} [/mm] = [mm] \bruch{(k+4)*\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{cos(k*\pi)}{k*\pi} [/mm] + [mm] \bruch{2*sin(k*\pi)}{k} [/mm] + [mm] sin(k*\pi)- \bruch{1}{k*\pi})*cos(k*x) [/mm] + [mm] +\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{sin(k*\pi)}{k*\pi} [/mm] - [mm] cos(k*\pi))*sin(k*x).
[/mm]
Das wäre mal meine Lösung!
Lt. Professor sollte man zu folgendem Ergebnis kommen:
[mm] S_{x} [/mm] = [mm] \bruch{(k+4)*\pi}{4}+(\bruch{2*k}{\pi})\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(2n-1)*x}{(2n-1)^{2}} [/mm] + k [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1} sin(nx)}{n}
[/mm]
Kann mir nun bitte jemand sagen, ob:
- meine Lösung stimmt,
- die zweite Lösung stimmt,
- wo ich einen Fehler gemacht habe,
- bzw. wie man die Fallunterscheidung für gerade und ungerade Koeffizienten (k) macht!
Vielen vielen Dank für eure Hilfe!!
Schönen Abend!
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Hallo handballer1988,
> Man berechne die Fourierreihe der Funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \pi, & \mbox{für } -\pi \le x < 0 \\ \pi+k*x, & \mbox{für } 0 \le x \le \pi \end{cases}, f_{(x\pm2*\pi}[/mm]
> = [mm]f_{(x)},[/mm] k [mm]\in \IR[/mm]
> Guten Abend!
>
> Bei diesem Beispiel bin ich eigentlich schon relativ weit
> gekommen, und wollte nun fragen, ob jemand meine Rechnung
> kontrollieren könnte, da ich einfach nicht auf das
> Ergebniss der Lösung komme....
>
> Also, zu meinen Schritten:
>
> Da die Funktion weder gerade noch ungerade ist, werden von
> vorne weg keine Koeffizienten zu 0, d.H.: ich muss alle
> berechnen!
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi dx}+\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)dx}[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{(k+4)*\pi}{2}[/mm]
>
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*cos(k*x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi * cos(k*x) dx}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)*cos(k*x) dx}[/mm]
>
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{cos(k*\pi)}{k*\pi}[/mm] + [mm]\bruch{2*sin(k*\pi)}{k}[/mm]
> + [mm]sin(k*\pi)- \bruch{1}{k*\pi}[/mm]
>
> [mm]b_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*sin(k*x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{0}{\pi * sin(k*x) dx}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{(\pi+k*x)*sin(k*x) dx}[/mm]
>
> [mm]b_{k}[/mm] = [mm]\bruch{sin(k*\pi)}{k*\pi}[/mm] - [mm]cos(k*\pi)[/mm]
>
> Soweit so gut! Stimmt das alles bis hier her??
>
> Nun lautet die Formel für die Fourierreihe ja:
>
> [mm]S_{x}[/mm] = [mm]\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm]
> cos(k*x)+ [mm]\summe_{k=1}^{\infty} b_{k}[/mm] sin(k*x)
>
> eingesetzt:
>
> [mm]S_{x}[/mm] = [mm]\bruch{(k+4)*\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{cos(k*\pi)}{k*\pi}[/mm]
> + [mm]\bruch{2*sin(k*\pi)}{k}[/mm] + [mm]sin(k*\pi)- \bruch{1}{k*\pi})*cos(k*x)[/mm]
> + [mm]+\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{sin(k*\pi)}{k*\pi}[/mm] -
> [mm]cos(k*\pi))*sin(k*x).[/mm]
>
> Das wäre mal meine Lösung!
>
Die Lösung stimmt soweit.
> Lt. Professor sollte man zu folgendem Ergebnis kommen:
>
> [mm]S_{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{(k+4)*\pi}{4}+(\bruch{2*k}{\pi})\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(2n-1)*x}{(2n-1)^{2}}[/mm]
> + k [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1} sin(nx)}{n}[/mm]
>
> Kann mir nun bitte jemand sagen, ob:
>
> - meine Lösung stimmt,
> - die zweite Lösung stimmt,
Bei der Lösung des Profs wurde eine Fallunterscheidung
hinsichtlich des Koeffizienten [mm]a_{k}[/mm] gemacht.
> - wo ich einen Fehler gemacht habe,
Fehler hast Du keinen gemacht.
> - bzw. wie man die Fallunterscheidung für gerade und
> ungerade Koeffizienten (k) macht!
>
Einsetzen und schauen, was sich ergibt.
>
> Vielen vielen Dank für eure Hilfe!!
>
> Schönen Abend!
>
Gruss
MathePower
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Hallo!
Vielen Dank! Nun kann ich den Abend beruhigt genießen!
Eine Frage noch:
Könntest du mir in groben Zügen erklären, wie das mit der Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden Koeffizienten funktioniert.
Wie man z.B.: von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{cos(k\cdot{}\pi)}{k\cdot{}\pi} [/mm] + [mm] \bruch{2\cdot{}sin(k\cdot{}\pi)}{k} [/mm] + [mm] sin(k\cdot{}\pi)- \bruch{1}{k\cdot{}\pi})\cdot{}cos(k\cdot{}x) [/mm] auf [mm] (\bruch{2\cdot{}k}{\pi})\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(2n-1)\cdot{}x}{(2n-1)^{2}} [/mm]
oder wie man von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{sin(k\cdot{}\pi)}{k\cdot{}\pi} -cos(k\cdot{}\pi))\cdot{}sin(k\cdot{}x) [/mm] auf k [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1} sin(nx)}{n} [/mm] kommt!
Hätte mir die Frage gerne selbst beantwortet, nur leider finde ich weder in meinem Skript noch im Internet irgendwelche wertvollen Hinweise!
Danke für deine Hilfe!
Schönen Abend noch,
lg
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Hallo handballer1988,
> Hallo!
>
> Vielen Dank! Nun kann ich den Abend beruhigt genießen!
>
> Eine Frage noch:
>
> Könntest du mir in groben Zügen erklären, wie das mit
> der Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden
> Koeffizienten funktioniert.
>
> Wie man z.B.: von [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{cos(k\cdot{}\pi)}{k\cdot{}\pi}[/mm]
> + [mm]\bruch{2\cdot{}sin(k\cdot{}\pi)}{k}[/mm] + [mm]sin(k\cdot{}\pi)- \bruch{1}{k\cdot{}\pi})\cdot{}cos(k\cdot{}x)[/mm]
> auf [mm](\bruch{2\cdot{}k}{\pi})\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(2n-1)\cdot{}x}{(2n-1)^{2}}[/mm]
>
> oder wie man von [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{sin(k\cdot{}\pi)}{k\cdot{}\pi} -cos(k\cdot{}\pi))\cdot{}sin(k\cdot{}x)[/mm]
> auf k [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1} sin(nx)}{n}[/mm]
> kommt!
>
Zunächst ist [mm]\sin\left(k*\pi\right)=0, \ k \in \IZ[/mm]
Damit vereinfachen sich die genannten Ausrdücke:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{cos(k\cdot{}\pi)}{k\cdot{}\pi}- \bruch{1}{k\cdot{}\pi})\cdot{}cos(k\cdot{}x)[/mm]
bzw.
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} ( \ -cos(k\cdot{}\pi) \ )\cdot{}sin(k\cdot{}x)[/mm]
Dann gilt [mm]\cos\left(k*\pi\right)=\left(-1\right)^{k}, \ k \in \IZ[/mm]
Damit kannst Du die Fallunterscheidung zu Ende bringen.
> Hätte mir die Frage gerne selbst beantwortet, nur leider
> finde ich weder in meinem Skript noch im Internet
> irgendwelche wertvollen Hinweise!
>
> Danke für deine Hilfe!
>
> Schönen Abend noch,
>
> lg
>
Gruss
MathePower
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