www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenFourierreihe von sin(x)*cos(x)
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Folgen und Reihen" - Fourierreihe von sin(x)*cos(x)
Fourierreihe von sin(x)*cos(x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 Mo 19.05.2008
Autor: mikemodanoxxx

Aufgabe
Bestimme die Fourierreihe von f(x)=sin(x)*cos(x)

Stimmen Fourierreihe und Funktion überein?

Hallo,

ich bin echt verzweifelt..

Die Funktion ist doch ungerade, weshalb alle an's von vornerein 0 sind. Deshalb integriere ich folgendes:

[mm] b_{n}=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{sin(x)*cos(x)*sin(nx) dx} [/mm]
= [mm] \pi*\integral_{0}^{\pi}{sin(2x)*sin(nx) dx} [/mm]

(wegen sin(x)*cos(x)=sin(2x)/2)

[mm] =\bruch{1}{2*\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(2x-nx)-cos(2x+nx) dx} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2*\pi} (\bruch{sin(2x-nx}{2-n} [/mm] - [mm] \bruch{sin(2x+nx}{2+n}) [/mm] (Grenzen pi und 0)

Wenn ich hier jetzt meine Zahlen einsetze bekomme ich 0 raus. Wie kann das denn sein? Wo ist mein Fehler, was ist die Fourierreihe??

Ciao, Mike.

        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Mo 19.05.2008
Autor: mikemodanoxxx

hm ich seh gerade die Funktion ist auch pi-periodisch, liegts daran? Wie funktioniert das ganze dann? Dürfte ja für das Integral keine Rolle spielen..
Bezug
        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Mo 19.05.2008
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Deine Rechnung ist eigentlich richtig, allerdings übersiehst du da etwas.

Du kommst dem am besten auf die Schliche, wenn du das mal rückwärts angehst. Du schreibst bereits, daß du eine Funktion wie sin(2x) transformieren willst. Aber: diese Funktion ist bereits ihre eigene Fourier-Reihe, die lautet nämlich

$0*sin(x)+1*sin(2x)+0*sin(3x)+0*...$

Du siehst, daß eigentlich alle Koeffizienten 0 sein sollten, außer der für n=2.

Jetzt schau dir mal deine Formel an. Was passiert für n=2? Wenn du das korrekt betrachtest, kommst du auch auf das richtige Ergebnis!


Alternativ (und einfacher) kannst du auch direkt über die wahre Periode [mm] \pi [/mm] integrieren. Bedenke, daß immer gilt:

[mm] a_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)*\sin\frac{2\pi nx}{T}\,dx [/mm]

Bisher war [mm] T=2\pi [/mm]  (und du hast etwas mit der Länge des INtervalls getrickst). Was ist nun mit [mm] T=\pi [/mm] ?

Bezug
                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:53 Mo 19.05.2008
Autor: mikemodanoxxx

Also wenn ich n=2 in $ [mm] \pi\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(2x)\cdot{}sin(nx) dx} [/mm] $ einsetze bekomme ich ein Integral von 0 bis pi über [mm] sin(2x)^2 [/mm] und somit ein Integral != 0.

Trotzdem bekomme ich 0, wenn ich pi in deine untere Gleichung einsetze. Beim Sinus bekomme ich [mm] sin(2\pi-2n\pi) [/mm] das 0 wird und [mm] sin(2\pi+2n\pi), [/mm] was auch 0 wird. Wenn ich 0 einsetze ebenso.. wo liegt mein Fehler?

Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:51 Di 20.05.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Also wenn ich n=2 in
> [mm]\pi\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(2x)\cdot{}sin(nx) dx}[/mm]
> einsetze bekomme ich ein Integral von 0 bis pi über
> [mm]sin(2x)^2[/mm] und somit ein Integral != 0.
>  
> Trotzdem bekomme ich 0, wenn ich pi in deine untere
> Gleichung einsetze. Beim Sinus bekomme ich [mm]sin(2\pi-2n\pi)[/mm]
> das 0 wird und [mm]sin(2\pi+2n\pi),[/mm] was auch 0 wird. Wenn ich 0
> einsetze ebenso.. wo liegt mein Fehler?

Du übersiehst, dass deine Integration für n=2 nicht funktioniert: nicht nur der Zähler, sondern auch der Nenner des ersten Bruchs ist 0.

Setz mal in

[mm]\bruch{1}{2\cdot{}\pi}\integral_{0}^{\pi}{\left(cos(2x-nx)-cos(2x+nx)\right) dx} [/mm]

gleich n=2 ein, dann siehst du, dass 1/2 herauskommt.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Di 20.05.2008
Autor: mikemodanoxxx

Hm ja danke. Trotzdem verstehe ich nicht so ganz, wieso ich für das Integral an sich keine Lösung finde. Vor allem weil Event_Horizon geschrieben hatte, dass ich einfach über die wahre Periode integrieren kann. Da bekomme ich aber ja trotzdem 0 heraus..

Bezug
                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Di 20.05.2008
Autor: leduart

Hallo
in deiner Lösung steht doch im Nenner n-2! was ist damit für n=2
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Di 20.05.2008
Autor: mikemodanoxxx

Das meinte ich nicht, das ist mir schon klar. Ich habe mich gefragt wieso ich mit der wahren Periode hier:

$ [mm] a_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)\cdot{}\sin\frac{2\pi nx}{T}\,dx [/mm] $

Keine Lösung bekommen, obwohl Event_Horizont meinte das wäre der einfacherere Weg. Dass mein [mm] a_2 [/mm] = 1/2 wird wenn ich das da einsetze verstehe ich schon..

Bezug
                                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Di 20.05.2008
Autor: leduart

Hallo
[mm] sin^2(2x) [/mm] integriert gibt garantiert nicht 0, wenn dus über irgendein Stück integriersrT da [mm] sin^2 [/mm] ja ne positive fkt ist. also integrierst du falsch.
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Di 20.05.2008
Autor: Event_Horizon

Ja gut, das hat Rainer ja schon geschrieben.

Der Trick an der Sache ist, daß in dem Fall sowas wie [mm] \frac{\sin x}{x} [/mm] da steht, und [mm] $x\to [/mm] 0$ Der Grenzwert von diesem Bruch ist von 0 verschieden, und genau deshalb bleibt der n=2-Term als einziger der Fourier-Reihe bestehen.

Wie der Grenzwert genau aussieht, weiß ich aber grade nicht, das findet man aber tausendfach im Netz.

Bezug
                                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 Di 20.05.2008
Autor: mikemodanoxxx

Naja da beides gegen 0 geht kann man ja einfach den L'Hopital nehmen

[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{cos(x)}{1} [/mm] = 1

Naja ich werde jedenfalls jetzt das Integral ausrechnen (das 0 ergibt) und dann bei der obigen Zeile von Rainer schreiben, dass für n=2 das Integral 1/2 ergibt und dadurch erklären dass sin(x)cos(x) schon die eigene Fourierreihe darstellt, wird schon passen ;)

Danke, ciao Mike.

Bezug
                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:43 So 15.11.2009
Autor: jachu

Aufgabe
Beweisen Sie das Additionstheorem
sin 2x = 2 sin x cos x
mittels Berechnung der Fourierreihe von sin x cos x.

hallo,
habe eine ähnliche aufgabenstellung

und stecke fest...kann mir jemand da weiter helfen?

Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 So 15.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Beweisen Sie das Additionstheorem
>  sin 2x = 2 sin x cos x
>  mittels Berechnung der Fourierreihe von sin x cos x.
>  hallo,
>  habe eine ähnliche aufgabenstellung
>  
> und stecke fest...kann mir jemand da weiter helfen?

Wo steckst du denn fest? Poste deine Rechnungen, und wo du Probleme hast!
Im obigen Post kannst du doch schon sehen, wie die Fourierreihe von sin(x)*cos(x) bestimmt wurde!

Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 So 15.11.2009
Autor: jachu


Bezug
                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 So 15.11.2009
Autor: jachu

also es ist soweit klar dass wenn ich sin(2x) entwickel dass man wieder auf sin(2x) kommt dass ist jedoch kein beweis dass 2sin(x)cos(x)=sin(2x)

also wollte ich erstmal auf direktem wege das integral berechnen jedoch weiß net wie...

$ [mm] \frac{2}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(x)\*cos(x)\*sin(nx) dx} [/mm] $



wie Integrier ich 3 trigonometrische Funktionen?

Bezug
                                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 So 15.11.2009
Autor: leduart

Hallo
partielle Integration z. Bsp sinx=u' Rest =v
Gruss leduart

Bezug
                                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:16 So 15.11.2009
Autor: jachu


Bezug
                                                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 So 15.11.2009
Autor: jachu

aso kann mir jemand auch gleich sagen wie ich eine mathematische umgebung herstellen kann in Latex sind das die $ zeichen funz hier aber nicht... denn manchmal befinde ich mich in der umgebung und manchmal nicht sieht unschön aus....

thx im vorraus

Bezug
                                                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:31 Di 17.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> aso kann mir jemand auch gleich sagen wie ich eine
> mathematische umgebung herstellen kann in Latex sind das
> die $ zeichen funz hier aber nicht... denn manchmal befinde
> ich mich in der umgebung und manchmal nicht sieht unschön
> aus....

Der "Standard" ist hier [mm]...[/mm] und nicht $...$. In den meisten Faellen funktionieren die Dollarzeichen auch, aber eben nicht immer. (Siehe auch hier.)

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 So 15.11.2009
Autor: leduart

Hallo
ich seh nicht direkt nen dicken Fehler, aber bei cos hast du die untere Grenze weggelassen!
Gruss leduart

Bezug
                                                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 So 15.11.2009
Autor: jachu

naja wenn ich jetzt für die untere grenze x=0 einsetzt ist das ja eh 0 da ich ja [mm] \frac{x}{n}* [/mm] cos(..) habe

hmm hast du denn vielleicht ne idee wie ich jetzt fortfahren kann dass ich die additionstheoreme beweisen kann denn das bringt mich leider nicht weiter wie ich gehofft habe:(

Bezug
                                                                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:16 Mo 16.11.2009
Autor: leduart

Hallo
du hast recht, ich seh mirs morgen noch mal an
Gute Nacht leduart

Bezug
                                                                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:28 Mo 16.11.2009
Autor: jachu

sehe gerade dass ich oben falsch eingesetzt habe und dann vergessen habe das zu integieren und damit weiter rechnen...
anstatt
[mm] \int [/mm] 1 dx

muss da [mm] \int \frac{1}{n}cos(nx) [/mm] stehen

jedoch ändert das nichts am ergebnis da dies eh null ist wenn man die grenzen einsetzt


Bezug
                                                                                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:32 Di 17.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> sehe gerade dass ich oben falsch eingesetzt habe und dann
> vergessen habe das zu integieren und damit weiter
> rechnen...
>  anstatt
>  [mm]\int[/mm] 1 dx
>
> muss da [mm]\int \frac{1}{n}cos(nx)[/mm] stehen
>
> jedoch ändert das nichts am ergebnis da dies eh null ist
> wenn man die grenzen einsetzt

Ist das jetzt noch eine offene Frage? Ich kann hier nicht wirklich erkennen, was du wissen willst.

LG Felix


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Di 17.11.2009
Autor: jachu

sorry...

wollt was ändern und habe es gelöscht ohne das zu merken


$u'=sin (xn)                                            [mm] u=-\frac{1}{n}cos(xn) \\ [/mm]
v=(cos(x)*sin(x))                                       [mm] v'=2cos^2(x)-1 \\ [/mm]

[mm] \biggl[\frac{1}{n}cos(nx)\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi -\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}2cos^2(x)dx-\int_0^\pi1 [/mm] $ [mm] dx\\ [/mm]

so das in der eckigen klammer ist  [mm] null\\ [/mm]

$ [mm] u=-\frac{1}{n}cos(nx) u'=sin(xn)\\ [/mm]
[mm] v'=2cos^2(x) [/mm]         v [mm] =x+sin(x)cos(x)\\ [/mm]

$ [mm] \biggl[\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}x\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi x\cdot{}sin(x)-\int_0^\pi [/mm] $ [mm] sin(xn)*sin(x)*cos(x)dx$\\ [/mm]

das in den eckigen klammern ist wieder null dann bleiben die beiden integralle [mm] übrig...\\ [/mm]
da das eine integral auf der rechten seite dem linken entsprich addiere ich auf beiden Seiten das [mm] integral\\ [/mm]

$ [mm] 2\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\int_0^\pi [/mm] $ [mm] x*sin(nx)\\ [/mm]

als nächstes teile ich die funktin durch [mm] 2\\ [/mm]

$ [mm] \frac{\biggl[-\frac{x}{n}cos(nx)\biggr]_0^\pi+\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx}{2} $\\ [/mm]
$ [mm] =\frac{-\frac{\pi}{n}cos(n\pi)+\biggl[\frac{1}{n^2}sin(nx)\biggr]_0^\pi}{2} $\\ [/mm]

so wenn man die grenzen einsetzt verschwindet der 2te term... weiß aber nicht was ich jetzt weiter machen soll falls das was ich gemacht [mm] habe\\ [/mm] überhaupt richtig ist...
also es bleibt übrig
$ [mm] \int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=\frac{\pi\cdot{}cos(n\pi)}{2-n} $\\ [/mm]


so das $ [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] $ einsetzten um $ [mm] b_n [/mm] $ zu erhalten dann kürzt sich das $ [mm] \pi [/mm] $ auf der rechten seite [mm] weg...\\ [/mm]

$ [mm] \frac{1}{\pi}\cdot{}\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=\frac{cos(n\pi)}{2-n} $\\ [/mm]

wenn anstatt des cos(nx) ein sin(nx) stehen würde, würde die fourier Reihe sin(2x) sein...und damit hät ich das bewiesen jedoch habe ich irgendwo [mm] ein\\ [/mm] fehler gemacht weiß net ob bei der integration oder sonst wo... wenn jemand den fehler finden würde wär ich echt sehr [mm] dankbar..\\ [/mm]


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Di 17.11.2009
Autor: MathePower

Hallo jachu,

> sorry...
>  
> wollt was ändern und habe es gelöscht ohne das zu merken
>  
>
> $u'=sin (xn)                                            
> [mm]u=-\frac{1}{n}cos(xn) \\[/mm]
>  v=(cos(x)*sin(x))              
>                         [mm]v'=2cos^2(x)-1 \\[/mm]
>  
> [mm]\biggl[\frac{1}{n}cos(nx)\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi -\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}2cos^2(x)dx-\int_0^\pi1[/mm]
> $ [mm]dx\\[/mm]


Das muss hier so lauten:

[mm]\biggl[\red{-}\frac{1}{n}cos(nx)\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi -\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}2cos^2(x) \ dx-\int_0^\pi\red{\left(-\frac{1}{n}cos(xn)\right)}*\left(\red{-}1\right) \ dx[/mm]



>  
> so das in der eckigen klammer ist  [mm]null\\[/mm]
>  
> $ [mm]u=-\frac{1}{n}cos(nx) u'=sin(xn)\\[/mm]
>   [mm]v'=2cos^2(x)[/mm]  
>       v [mm]=x+sin(x)cos(x)\\[/mm]
>  
> $
> [mm]\biggl[\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}x\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi x\cdot{}sin(x)-\int_0^\pi[/mm]
> $ [mm]sin(xn)*sin(x)*cos(x)dx$\\[/mm]
>  
> das in den eckigen klammern ist wieder null dann bleiben
> die beiden integralle [mm]übrig...\\[/mm]
>  da das eine integral auf der rechten seite dem linken
> entsprich addiere ich auf beiden Seiten das [mm]integral\\[/mm]
>  
> [mm]2\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\int_0^\pi[/mm]
> [mm]x*sin(nx)\\[/mm]
>  
> als nächstes teile ich die funktin durch [mm]2\\[/mm]
>  
> [mm]\frac{\biggl[-\frac{x}{n}cos(nx)\biggr]_0^\pi+\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx}{2}[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]=\frac{-\frac{\pi}{n}cos(n\pi)+\biggl[\frac{1}{n^2}sin(nx)\biggr]_0^\pi}{2}[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> so wenn man die grenzen einsetzt verschwindet der 2te
> term... weiß aber nicht was ich jetzt weiter machen soll
> falls das was ich gemacht [mm]habe\\[/mm] überhaupt richtig ist...
>  also es bleibt übrig
>  [mm]\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=\frac{\pi\cdot{}cos(n\pi)}{2-n}[/mm][mm] \\[/mm]
>  
>
> so das [mm]\frac{1}{\pi}[/mm] einsetzten um [mm]b_n[/mm] zu erhalten dann
> kürzt sich das [mm]\pi[/mm] auf der rechten seite [mm]weg...\\[/mm]
>  
> [mm]\frac{1}{\pi}\cdot{}\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=\frac{cos(n\pi)}{2-n}[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> wenn anstatt des cos(nx) ein sin(nx) stehen würde, würde
> die fourier Reihe sin(2x) sein...und damit hät ich das
> bewiesen jedoch habe ich irgendwo [mm]ein\\[/mm] fehler gemacht
> weiß net ob bei der integration oder sonst wo... wenn
> jemand den fehler finden würde wär ich echt sehr
> [mm]dankbar..\\[/mm]
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Di 17.11.2009
Autor: jachu

ja danke habe das auch schon bemerkt;)
ändert trotzdem nichts am problem da sich das später rauskürzt denn der term tritt später nochmal posetiv auf... also habe ich immer noch das selbe endergebnis... und damit kann ich die addtitonstheoreme nicht beweisen..:(

Bezug
                                                                                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Di 17.11.2009
Autor: jachu

$u'=sin (xn)                                            [mm] u=-\frac{1}{n}cos(xn) \\ [/mm]
v=(cos(x)*sin(x))                                       [mm] v'=2cos^2(x)-1 \\ [/mm]

[mm] \biggl[\frac{1}{n}cos(nx)\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi -\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}2cos^2(x)dx-\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(xn) [/mm] $ [mm] dx\\ [/mm]

so das in der eckigen klammer ist  [mm] null\\ [/mm]

$ [mm] u=-\frac{1}{n}cos(nx) u'=sin(xn)\\ [/mm]
[mm] v'=2cos^2(x) [/mm]         v [mm] =x+sin(x)cos(x)\\ [/mm]

$ [mm] \biggl[\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}x\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi x\cdot{}sin(x)-\int_0^\pi [/mm] $ [mm] sin(xn)*sin(x)*cos(x)dx$\\ [/mm]

das in den eckigen klammern ist wieder null dann bleiben die beiden integralle [mm] übrig...\\ [/mm]
da das eine integral auf der rechten seite dem linken entsprich addiere ich auf beiden Seiten das [mm] integral\\ [/mm]

$ [mm] 2\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\int_0^\pi [/mm] $ [mm] x*sin(nx)\\ [/mm]

als nächstes teile ich die funktin durch [mm] 2\\ [/mm]

$ [mm] \frac{\biggl[-\frac{x}{n}cos(nx)\biggr]_0^\pi+\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx}{2} $\\ [/mm]
$ [mm] =\frac{-\frac{\pi}{n}cos(n\pi)+\biggl[\frac{1}{n^2}sin(nx)\biggr]_0^\pi}{2} $\\ [/mm]

so jetzt subtrahier ich das Integral [mm] \int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx [/mm] was ich oben habe aber bis jetzt noch nicht beachtet habe also kürzent sich das weg und übrig bleibt noch:


$ [mm] \int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\frac{\pi\cdot{}cos(n\pi)}{2*n} [/mm] $$ [mm] \\ [/mm] $
[mm] a_n=\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\frac{cos(n\pi)}{2*n} [/mm]

damit ist noch nicht bewiesen dass dass dier reihe sin(2x) ist..:(

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Mi 18.11.2009
Autor: MathePower

Hallo jachu,



> $u'=sin (xn)                                            
> [mm]u=-\frac{1}{n}cos(xn) \\[/mm]
>  v=(cos(x)*sin(x))              
>                         [mm]v'=2cos^2(x)-1 \\[/mm]
>  
> [mm]\biggl[\frac{1}{n}cos(nx)\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi -\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}2cos^2(x)dx-\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(xn)[/mm]
> $ [mm]dx\\[/mm]
>  
> so das in der eckigen klammer ist  [mm]null\\[/mm]
>  
> $ [mm]u=-\frac{1}{n}cos(nx) u'=sin(xn)\\[/mm]
>   [mm]v'=2cos^2(x)[/mm]  
>       v [mm]=x+sin(x)cos(x)\\[/mm]
>  
> $
> [mm]\biggl[\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}x\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi x\cdot{}sin(x)-\int_0^\pi[/mm]
> $ [mm]sin(xn)*sin(x)*cos(x)dx$\\[/mm]
>  
> das in den eckigen klammern ist wieder null dann bleiben
> die beiden integralle [mm]übrig...\\[/mm]
>  da das eine integral auf der rechten seite dem linken
> entsprich addiere ich auf beiden Seiten das [mm]integral\\[/mm]
>  
> [mm]2\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\int_0^\pi[/mm]
> [mm]x*sin(nx)\\[/mm]
>  
> als nächstes teile ich die funktin durch [mm]2\\[/mm]
>  
> [mm]\frac{\biggl[-\frac{x}{n}cos(nx)\biggr]_0^\pi+\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx}{2}[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]=\frac{-\frac{\pi}{n}cos(n\pi)+\biggl[\frac{1}{n^2}sin(nx)\biggr]_0^\pi}{2}[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> so jetzt subtrahier ich das Integral [mm]\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx[/mm]
> was ich oben habe aber bis jetzt noch nicht beachtet habe
> also kürzent sich das weg und übrig bleibt noch:
>  
>
> [mm]\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\frac{\pi\cdot{}cos(n\pi)}{2*n}[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]a_n=\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\frac{cos(n\pi)}{2*n}[/mm]
>  
> damit ist noch nicht bewiesen dass dass dier reihe sin(2x)
> ist..:(


Bei dem Integral

[mm]\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(nx\right) * \sin\left(x\right)*\cos\left(x\right)\ dx}[/mm]

ist es richtig die partielle Integration anzuwenden.

Jetzt hast Du diese einmal angewendet.

Definieren wir folgende Funktionen:

[mm]u_{0}:=\sin\left(n*x\right)[/mm]

[mm]v_{0}:=\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right)[/mm]

[mm]u_{k+1}=\integral_{}^{}{u_{k} \ dx}[/mm]

[mm]v_{k+1}=\bruch{dv_{k}}{dx}[/mm]

Dann ist

[mm]\integral_{}^{}{u_{0}*v_{0} \ dx}=u_{1}*v_{0}-\integral_{}^{}{u_{1}*v_{1} \ dx}[/mm]

Nochmalige Anwendung liefert:

[mm]\integral_{}^{}{u_{1}*v_{1} \ dx}=u_{2}*v_{1}-\integral_{}^{}{u_{2}*v_{2} \ dx}[/mm]


Nun gilt:

[mm]u_{1}=-\bruch{1}{n}*\cos\left(nx\right)[/mm]

[mm]u_{2}=-\bruch{1}{n^{2}}*\sin\left(nx\right)=-\bruch{1}{n^{2}}*u_{0}[/mm]

[mm]v_{1}=\cos^{2}\left(x\right)-\sin^{2}\left(x\right)=2*\cos^{2}\left(x\right-1)[/mm]

[mm]v_{2}=-4*\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right)=-4*v_{0}[/mm]

Damit kannst Du eine Stammfunktion des Integrals

[mm]\integral_{}^{}{\sin\left(n*x\right)*\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right) \ dx}[/mm]

angegeben und somit den Wert des Integrals berechnen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Do 19.11.2009
Autor: leduart

Hallo
ich sehe grad, dass vor lauter Integralen ich übersehen habe, dass ein Fehler von Anfang an drin ist.
sinx*cosx hat die Periode [mm] \pi [/mm] und nicht [mm] 2\pi [/mm]
deshalb ist die Grundfunktion nicht sinx sondern sin2x, man hat also die Koeffizenten von sin2nx zu bestimmen.
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Fourierreihe von sin(x)*cos(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:27 Do 19.11.2009
Autor: jachu

stimmt muss die koeffizienten für sin(2nx) berechnen...

danke ich habe jetzt nun das ergebnis habe es jedoch in exponentialfunktion umgewandelt und dann es integriert habe mir damit viel gesparrt^^

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]