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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Di 31.05.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Es sei f [mm] :\IR->\IR [/mm] gegeben durch die [mm] 2\pi-periodische [/mm] Fortsetzung der Funktion [mm] g:[-\pi,\pi]->\IR [/mm] mit
g(x) [mm] =\begin{cases} 2, & \mbox{für } |x|\le\bruch{\pi}{2} \\ 1, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2}<|x|\le\pi \end{cases}
[/mm]
(a) Skizzieren Sie die Funktion f auf dem Intervall [mm] [-2\pi, 2\pi] [/mm] und bestimmen Sie die Fourierreihe von f. |
Guten Tag!
Also nachdem ich die Funktion skizziert habe, habe ich festgestellt, dass sie symmetrisch ist, also gerade und somit ist das [mm] b_n=0.
[/mm]
Ich bin also wie folgt vorgegangen:
[mm] a_n=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{2*cos(nx)dx}+\bruch{2}{\pi}\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{1*cos(nx)dx}
[/mm]
Wegen der Symmetrie einfach von 0 bis [mm] \pi [/mm] mal 2 genommen =).
Das ergibt: [mm] a_n=\bruch{4}{n\pi}*sin(n*\bruch{\pi}{2})+\bruch{2}{n\pi}*sin(n*\pi)-\bruch{2}{n\pi}*sin(n*\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Und das wiederum: [mm] \bruch{2}{n\pi}*sin(n*\bruch{\pi}{2}), [/mm] da [mm] \bruch{2}{n\pi}*sin(n*\pi)=0 [/mm] für jedes n.
Mein [mm] a_0=3 [/mm] und somit ist meine Fourierreihe von f:
[mm] h(x)=\bruch{3}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{\pi*n}*sin(n*\bruch{\pi}{2})*cos(nx)
[/mm]
Ich wollte mal fragen, ob das denn richtig sei?
Vielen Dank im Voraus,
Ilya
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Hallo Random,
> Es sei f [mm]:\IR->\IR[/mm] gegeben durch die [mm]2\pi-periodische[/mm]
> Fortsetzung der Funktion [mm]g:[-\pi,\pi]->\IR[/mm] mit
>
> g(x) [mm]=\begin{cases} 2, & \mbox{für } |x|\le\bruch{\pi}{2} \\ 1, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2}<|x|\le\pi \end{cases}[/mm]
>
> (a) Skizzieren Sie die Funktion f auf dem Intervall [mm][-2\pi, 2\pi][/mm]
> und bestimmen Sie die Fourierreihe von f.
> Guten Tag!
>
> Also nachdem ich die Funktion skizziert habe, habe ich
> festgestellt, dass sie symmetrisch ist, also gerade und
> somit ist das [mm]b_n=0.[/mm]
>
> Ich bin also wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]a_n=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{2*cos(nx)dx}+\bruch{2}{\pi}\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{1*cos(nx)dx}[/mm]
>
> Wegen der Symmetrie einfach von 0 bis [mm]\pi[/mm] mal 2 genommen
> =).
>
> Das ergibt:
> [mm]a_n=\bruch{4}{n\pi}*sin(n*\bruch{\pi}{2})+\bruch{2}{n\pi}*sin(n*\pi)-\bruch{2}{n\pi}*sin(n*\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> Und das wiederum: [mm]\bruch{2}{n\pi}*sin(n*\bruch{\pi}{2}),[/mm] da
> [mm]\bruch{2}{n\pi}*sin(n*\pi)=0[/mm] für jedes n.
>
> Mein [mm]a_0=3[/mm] und somit ist meine Fourierreihe von f:
>
> [mm]h(x)=\bruch{3}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{\pi*n}*sin(n*\bruch{\pi}{2})*cos(nx)[/mm]
>
> Ich wollte mal fragen, ob das denn richtig sei?
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank im Voraus,
>
> Ilya
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Es sei f [mm] :\IR->\IR [/mm] gegeben durch die [mm] 2\pi-periodische [/mm] Fortsetzung der Funktion [mm] g:[-\pi,\pi]->\IR [/mm] mit
g(x) [mm] =\begin{cases} 2, & \mbox{für } |x|\le\bruch{\pi}{2} \\ 1, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2}<|x|\le\pi \end{cases}
[/mm]
(a) Skizzieren Sie die Funktion f auf dem Intervall [mm] [-2\pi, 2\pi] [/mm] und bestimmen Sie die Fourierreihe von f.
(b) Entscheiden Sie, für welche [mm] x\in\IR [/mm] die Fourierreihe von f konvergiert, und geben Sie die Grenzfunktion an. |
[mm] h(x)=\bruch{3}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{\pi\cdot{}n}\cdot{}sin(n\cdot{}\bruch{\pi}{2})\cdot{}cos(nx)
[/mm]
Hallo,
Die (a) war ja recht schnell geklärt xD...
Ich weiss jedoch nicht wie ich bei der (b) vorgehen kann...
Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f [mm]:\IR->\IR[/mm] gegeben durch die [mm]2\pi-periodische[/mm]
> Fortsetzung der Funktion [mm]g:[-\pi,\pi]->\IR[/mm] mit
>
> g(x) [mm]=\begin{cases} 2, & \mbox{für } |x|\le\bruch{\pi}{2} \\ 1, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2}<|x|\le\pi \end{cases}[/mm]
>
> (a) Skizzieren Sie die Funktion f auf dem Intervall [mm][-2\pi, 2\pi][/mm]
> und bestimmen Sie die Fourierreihe von f.
> (b) Entscheiden Sie, für welche [mm]x\in\IR[/mm] die Fourierreihe
> von f konvergiert, und geben Sie die Grenzfunktion an.
>
> [mm]h(x)=\bruch{3}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{\pi\cdot{}n}\cdot{}sin(n\cdot{}\bruch{\pi}{2})\cdot{}cos(nx)[/mm]
>
> Hallo,
>
> Die (a) war ja recht schnell geklärt xD...
>
> Ich weiss jedoch nicht wie ich bei der (b) vorgehen kann...
Dafür hattet Ihr sicher Sätze in der Vorlesung. Welche , kann ich nicht wissen. Tipp: Dirichlet-Kriterium
FRED
>
> Ilya
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:35 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Random |
Kann ich denn das Drichlet-Kriterium hier benutzen?
Also mein [mm] a_n [/mm] ist defenitiv monoton fallend und eine Nullfolge.
Wie zeige ich dass die Reihe mit [mm] b_n [/mm] eine beschränkte Folge bildet und was mache ich dann mit [mm] c_n? [/mm] xD
Ilya
Okay hab jetzt was gefunden, dass mich eigentlich weiterbringen sollte:
Die Funktion f muss [mm] 2\pi-periodisch [/mm] sein und stückweise glatte/stetig auf [a,b] sein... Dann konvergiert f.
Zitat: "Eine Funktion f : [a, b] → R heißt stückweise
stetig auf [a, b], wenn es eine Zerlegung [mm] {x_0, x_1, . . . , x_m} [/mm] von [a, b] mit
a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < . . . < [mm] x_m=b [/mm] so gibt, dass f auf allen offenen Intervallen [mm] (x_{i-1}, x_i)
[/mm]
mit i = 1, . . . ,m stetig ist und dass die linksseitigen Grenzwerte [mm] f(x_{i}-) [/mm] f¨ur alle
i = 1, . . . ,m und die rechtsseitigen Grenzwerte [mm] f(x_i+) [/mm] f¨ur alle i = 0, . . . ,m−1
existieren. [...]
Die Funktion
f : [a, b] → R heißt auf [a, b] stückweise glatt oder st¨uckweise stetig differenzierbar,
wenn ihre Ableitung stückweise stetig ist"
Verstehe ich das richtig? Ich muss f ableiten und das da oben erklärte bei der Ableitung nachprüfen? Wenn ja... Ich verstehe die Sache mit der Zerlegung nicht so ganz...
Vielen Dank im Voraus,
Ilya
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 03.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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