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| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | | [mm] f(x)=\begin{cases} e^{|x|}, & \bruch{-\pi}{2} |
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Hallo ihr,
obwohls in diesem Beispiel um eine Fourierreihe geht, möcht ich mich lieber in das Thema Partielle Integration vertiefen.
In dem o.a. Beispiel steht [mm] e^{|x|}. [/mm] Wenn ich versuche, den Fourier-Koeffizienten [mm] a_{0} [/mm] zu berechnen, stehe ich vor folgendem Problem:
[mm] a_{0,1}=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{e^{|x|}cos(nx) dx}
[/mm]
Mich irritieren die Betragsstriche. Wenn ich versuche, das Integral partiell zu lösen, kann ich mir ja aussuchen, was f bzw. g' ist. Angenommen f ist [mm] e^{|x|}, [/mm] dann muss ich es später ja ableiten:
[mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{e^{|x|}cos(nx) dx}=e^{|x|}*\bruch{sin(nx)}{n}-\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{d(e^{|x|})}{dx}*\bruch{sin(nx)}{n} dx}
[/mm]
Das [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] ignoriere ich jetzt einfachheitshalber.
Meine Idee:
Ich spalte [mm] e^{|x|} [/mm] in
1) [mm] e^{x} [/mm] für [mm] x\ge0
[/mm]
2) [mm] e^{-x} [/mm] für x<0
auf und differenziere. Die partielle Integration muss ich dann für [mm] e^{x} [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] für x<0 anschreiben. Nur kann ich das irgendwie zusammenzählen? Sonst kann ich das Integral ja nicht auflösen!?! Oder muss ich bereits von anfang an in 2 Funktionen denken? Dh dann hab ich für die Berechnung von [mm] a_{0}
[/mm]
1) [mm] a_{0,1} [/mm] 2 Funktionen
2) [mm] a_{0,2} [/mm] 2 Funktionen
(WOHOOOO) Und dann zähl ich das Ding zusammen und *tilt* --> *knotenimkopf*
Damit mein ich von Anfang an in 2 "Rechnungen" denken (ja, ich weiß, unpassendes Wort, aber mir fällt nix Besseres ein).
Freue mich auf ein paar Tipps.
Gruß, h.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Fr 20.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] e^{|x|} [/mm] ist sym. zu 0, cosnx auch, d.h. du kannst die Integrale durch das doppelte der Integrale von 0 [mm] bis\pi/2 [/mm] ohne Betrag ersetzen. wegen [mm] e^{|x|}*sinnx [/mm] punktsym. sind die Integrale 0
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Braunstein |
Ah, vielen Dank. Pkay, an das hab ich nicht gedacht. Einleuchtend!!!
Eine Frage: Wäre es theoretisch nach der letzten Variante in meinem ersten Beitrag auch möglich? Dh von anfang an mit 2 Funktionen zu rechnen?
Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Fr 20.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sind nicht 2 fkt, sondern eine fkt, die in 2 Intervallen durch verschiedene Ausdrücke definiert ist. Natürlich kannst du das, wenn dus gern umständlich hast!
Gruss leduart
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