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Hallo!
Ich habe folgende Aufgabenstellung: Ich soll die Fouriertransformierte der Funktion [mm] $f(x)=e^{-(x/ \tau)^{2}}$ [/mm] berechnen. Wie man eine Fouriertransformierte einer Funktion ( $ [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2 \pi}} \integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] { [mm] e^{iwx} [/mm] f(x) dx}$ ) bekommt ist mir schon klar, aber auf welche Art und Weise kann man nun dieses spezielle Integral lösen? Kann mir jemand einen Hinweis geben?
Danke im Voraus,
Christian.
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Hallo Christian,
ich kann dir jetzt aus dem stehgreif keine konkreten tips geben, wie das integral zu berechnen ist, aber vielleicht kann ich dir trotzdem ein wenig weiterhelfen.
die funktion, die du transformieren möchtest ist ja, wie du vielleicht weißt, die übliche normalverteilungsfunktion aus der stochastik. es ist ein sehr bekanntes resultat, dass solche funktionen durch fouriertransformationen mehr oder weniger auf sich selbst abgebildet werden, bis auf eine eventuelle Skalierung. Insofern solltest du die herleitungen eigentlich in jedem grundlegenden analysisbuch finden, dass die F-Trafo behandelt.
Viele Grüße
Matthias
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Das entsprechende Integral kann man über den Cauchyschen Integralsatz berechnen, wenn man beachtet, dass [mm] $\int_\mathbb{R}e^{-x^2/2}\, dx=\sqrt{2\pi}$ [/mm] gilt. Ansonsten kannst du die Antwort von MatthiasKr beachten.
Bem: Für [mm] $f(x)=e^{-x^2/2}$ [/mm] gilt [mm] $\hat{f}(\xi)=f(\xi)$. [/mm] Als Definition der Fouriertransformierten habe ich [mm] $\hat{f}(\xi)=1/\sqrt{2\pi}\int_\mathbb{R} e^{-ix\xi} f(\xi)\, d\xi$ [/mm] genommen. Wenn man die Fouriertransformation anders definiert hat, kommt man zu ähnlichen Ergebnissen (bis auf Konstanten).
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