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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Fourier-Tranformierte [mm] F(\omega) [/mm] von:
[mm] f(t)=\begin{cases} e^{-t}, & \mbox{für } t >0 \\ -e^t, & \mbox{für } t <0 \end{cases} [/mm] |
Ansatz:
[mm] Ff(\omega)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)*e^{-iwt} dt}=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} *(-\integral_{-\infty}^{0}{e^t*e^{-iwt} dt}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-t}*e^{-iwt} dt})
[/mm]
Für das erste Integral habe ich:
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^t*e^{-iwt} dt}=-\bruch{1}{1-i\omega}*e^{t-i \omega t}|^{0}_{-\infty}=-(\bruch{1}{1-i\omega} e^0 [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-i\omega} \limes_{t\rightarrow-\infty} e^{t-i\omega t})=-\bruch{1}{1-i\omega}
[/mm]
Das andere Integral habe ich analog behandelt und komme letztendlcih auf
[mm] Ff(\omega)=-\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} \bruch{2 i \omega}{\omega^2+1}
[/mm]
Kann mir jemand sagen ob das so stimmt?
Ich denke nicht, dass das Einsetzen der 0 so ok ist wie ich es gemacht habe... Müsste man hier auch einen Grenzwert bilden?
Vielen Dank fürs drüberschauen und helfen
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Hallo BunDemOut,
> Bestimmen Sie die Fourier-Tranformierte [mm]F(\omega)[/mm] von:
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> [mm]f(t)=\begin{cases} e^{-t}, & \mbox{für } t >0 \\ -e^t, & \mbox{für } t <0 \end{cases}[/mm]
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> Ansatz:
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> [mm]Ff(\omega)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)*e^{-iwt} dt}=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} *(-\integral_{-\infty}^{0}{e^t*e^{-iwt} dt}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-t}*e^{-iwt} dt})[/mm]
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> Für das erste Integral habe ich:
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^t*e^{-iwt} dt}=-\bruch{1}{1-i\omega}*e^{t-i \omega t}|^{0}_{-\infty}=-(\bruch{1}{1-i\omega} e^0[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{1-i\omega} \limes_{t\rightarrow-\infty} e^{t-i\omega t})=-\bruch{1}{1-i\omega}[/mm]
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> Das andere Integral habe ich analog behandelt und komme
> letztendlcih auf
> [mm]Ff(\omega)=-\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} \bruch{2 i \omega}{\omega^2+1}[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen ob das so stimmt?
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich denke nicht, dass das Einsetzen der 0 so ok ist wie
> ich es gemacht habe... Müsste man hier auch einen
> Grenzwert bilden?
>
Ja, da f(t) an der Stelle t=0 unstetig ist.
> Vielen Dank fürs drüberschauen und helfen
Gruss
MathePower
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