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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mo 27.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich hätte zwei Fragen:
1. Was lautet die Definition für Diagonalisierbarkeit von Matrizen? Ich finde in Büchern keine anschauliche Definition.
2. Was ist der Unterschied von algebraischer und geometrischer Vielfachheit?
Vielen Dank!!!
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Hallo!
Bitte poste in Zukunft nicht zwei verschiedene Fragen in einen Diskussionsstrang!
Zu deiner ersten Frage:
Grundsätzlich lautet die Definition:
Eine Matrix [mm] $A\in M^{n\times n}(\IK)$ [/mm] heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix [mm] $S\in M^{n\times n}(\IK)$ [/mm] gibt und eine Matrix [mm] $D\in M^{n\times n}(\IK)$, [/mm] die Diagonalgestalt hat, so dass gilt: [mm] $S^{-1}AS=D$.
[/mm]
Das ist in der Tat auf den ersten Blick nicht besonders anschaulich. Es gibt allerdings eine äquivalente Charakterisierung, die vielleicht etwas anschaulicher ist:
$A$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von [mm] $\IK^n$ [/mm] aus Eigenvektoren von $A$ gibt.
Hilft dir das etwas weiter?
Zu deiner zweiten Frage:
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes [mm] $\lambda$ [/mm] ist gerade die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] $\lambda$. [/mm] Anders ausgedrückt: Die geometrische Vielfachheit gibt an, wie viele linear unabhängige Eigenvektoren $v$ du zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] finden kannst.
Die algebraische Vielfachheit zählt, "wie oft" [mm] $\lambda$ [/mm] eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Machen wir ein kleines Beispiel:
Betrachte die Matrix [mm] $A=\pmat{1&1\\0&1}$. [/mm] Das charakteristische Polynom ist [mm] $\chi_A(x)=(x-1)^2$. [/mm] Du hast also die algebraische Vielfachheit $2$. Es gibt aber nur einen Eigenvektor, nämlich [mm] $\vektor{1\\0}$. [/mm] Also ist die geometrische Vielfachheit $1$.
Ist dir der Unterschied jetzt klarer geworden?
Gruß, banachella
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