Frage - Bew. Fund.satz d. Alg. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, zu erst einmal habe ich dieses Thema hier untergebracht, da es in der entsprechenden Vorlesung vorgekommen ist und ich keinen passenderen Bereich gefunden habe.
In meinem Skriptum ist der Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra ungefähr so gemacht worden:
Zuerst wird gezeigt, dass (über C) das Infimum des Betrages der Funktionswerte eines Polynoms f angenommen wird; danach wird gezeigt, dass für ein Polynom mit der Konstante c gilt: Wenn c [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \exists z\in\mathbb{C} [/mm] mit |f(z)|<|c|.
Daraus wird dann indirekt geschlossen (so glaube ich jedenfalls), dass bei einem Polynom, das so verschoben wird, dass das Minimum in 0 liegt, c 0 sein muss und es daher eine Nullstelle geben muss.
Nun eine Frage dazu:
Der zweite Teil wird so bewiesen:
Sei [mm] f(z_{0})=c [/mm] (das Minimum) und [mm] g(z)=f(z_{0}-z).
[/mm]
1. Fall: [mm] g(z)=x_{0}+c_{m}z^{m}, c_{m}\neq [/mm] 0. Wähle z mit [mm] z^{m}=\frac{-c_{0}}{c_{m}}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g(z)=0
2. Fall: [mm] g(z)=c_{0}+c_{m}z^{m}+z_{m+1}\cdot [/mm] h(z).
[mm] \Rightarrow [/mm] Wähle z mit [mm] z^{m}=\frac{-\varepsilon \cdot c_{0}}{c_{m}}, [/mm] wobei [mm] \varepsilon [/mm] so klein, dass
[mm] |z^{m+1}h(z)|=|z^{m}||z\cdot h(z)|=\frac{\varepsilon |c_{0}|}{|c_{m}|}|z\cdot h(z)|<\frac{\varepsilon |c_{0}|}{2}
[/mm]
Und daraus folgt dann, dass [mm] |g(z)|<|c_{0}|=|c|.
[/mm]
Meine Frage zum 2. Fall: Diese Bedingung mit [mm] \varepsilon [/mm] so klein, dass ..., muss man das fordern oder folgt das aus dem Teil des Satzes mit wähle?
Wenn man die fordern muss: Wie kann man überhaupt [mm] \varepsilon [/mm] so wählen, dass [mm] \frac{\varepsilon |c_{0}|}{|c_{m}|}|z\cdot h(z)|<\frac{\varepsilon |c_{0}|}{2} [/mm] gilt? Ist das nicht unabhängig vom [mm] \varepsilon? [/mm] Wie kann ich dann bewerkstelligen, dass das immer gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 So 26.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, zu erst einmal habe ich dieses Thema hier
> untergebracht, da es in der entsprechenden Vorlesung
> vorgekommen ist und ich keinen passenderen Bereich gefunden
> habe.
>
> In meinem Skriptum ist der Beweis des Fundamentalsatzes
> der Algebra ungefähr so gemacht worden:
>
> Zuerst wird gezeigt, dass (über C) das Infimum des
> Betrages der Funktionswerte eines Polynoms f angenommen
> wird; danach wird gezeigt, dass für ein Polynom mit der
> Konstante c gilt: Wenn c [mm]\neq[/mm] 0 [mm]\Rightarrow \exists z\in\mathbb{C}[/mm]
> mit |f(z)|<|c|.
> Daraus wird dann indirekt geschlossen (so glaube ich
> jedenfalls), dass bei einem Polynom, das so verschoben
> wird, dass das Minimum in 0 liegt, c 0 sein muss und es
> daher eine Nullstelle geben muss.
>
> Nun eine Frage dazu:
>
> Der zweite Teil wird so bewiesen:
> Sei [mm]f(z_{0})=c[/mm] (das Minimum) und [mm]g(z)=f(z_{0}-z).[/mm]
> 1. Fall: [mm]g(z)=x_{0}+c_{m}z^{m}, c_{m}\neq[/mm] 0. Wähle z mit
> [mm]z^{m}=\frac{-c_{0}}{c_{m}}.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(z)=0
> 2. Fall: [mm]g(z)=c_{0}+c_{m}z^{m}+z_{m+1}\cdot[/mm] h(z).
> [mm]\Rightarrow[/mm] Wähle z mit [mm]z^{m}=\frac{-\varepsilon \cdot c_{0}}{c_{m}},[/mm]
> wobei [mm]\varepsilon[/mm] so klein, dass
> [mm]|z^{m+1}h(z)|=|z^{m}||z\cdot h(z)|=\frac{\varepsilon |c_{0}|}{|c_{m}|}|z\cdot h(z)|<\frac{\varepsilon |c_{0}|}{2}[/mm]
>
> Und daraus folgt dann, dass [mm]|g(z)|<|c_{0}|=|c|.[/mm]
>
> Meine Frage zum 2. Fall: Diese Bedingung mit [mm]\varepsilon[/mm] so
> klein, dass ..., muss man das fordern oder folgt das aus
> dem Teil des Satzes mit wähle?
> Wenn man die fordern muss: Wie kann man überhaupt
> [mm]\varepsilon[/mm] so wählen, dass [mm]\frac{\varepsilon |c_{0}|}{|c_{m}|}|z\cdot h(z)|<\frac{\varepsilon |c_{0}|}{2}[/mm]
> gilt? Ist das nicht unabhängig vom [mm]\varepsilon?[/mm] Wie kann
> ich dann bewerkstelligen, dass das immer gilt?
Nein, das kann nicht unabhängig von [mm] $\varepsilon$ [/mm] gelten. Aus der Ungleichung fällt [mm] $\varepsilon$ [/mm] heraus, das ist richtig, sie ist äquivalent zu
[mm] |z\cdot h(z)|< \bruch{|c_m|}{2} [/mm].
$zh(z)$ ist ein Polynom mit $h(0)=0$, und wegen der Stetigkeit von Polynomen gibt es immer eine Umgebung von 0, in der die Ungleichung gilt. Mit anderen Worten: die Ungleichung gilt, wenn $|z|$ genügend klein ist. Hier kommt nun die Bedingung
[mm] z^{m}=\frac{-\varepsilon \cdot c_{0}}{c_{m}}[/mm]
ins Spiel: durch Wahl eines genügend kleinen Wertes für [mm] $\varepsilon$ [/mm] folgt aus dieser Bedingung, dass $|z|$ genügend klein ist.
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank für deine Antwort, hat mir sehr geholfen!
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