Frage ganzrationale Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Mi 24.04.2013 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zu ganzrationalen Funktionen.
Mir ist die Bauart einer ganzrationalen Funktion klar.
Nun habe ich folgende Funktion:
f(x) = [mm] x^2*(2-\wurzel{x})*(2+\wurzel{x})
[/mm]
Das ergibt ausmultipliziert f(x) = [mm] x^2*(4-x)=4x^2-x^3
[/mm]
Wenn ich nur die Endfunktion betrachte, würde ich natürlich sagen, dass die Funktion ganzrational ist.
Allerdings ist die Definitionsmenge der Ausgangsfunktion (nur x-Werte >=0) ja eine andere als die Endfunktion (alle x-Werte sind zugelassen),
so dass man den Term eigentlich nur umschreiben darf, wenn man nach wie vor nur x >=0 zulässt.
Da ich bisher davon ausgegangen bin, dass ganzrationale Funktionen immer die Definitionsmenge D = R haben, bin ich nun unsicher, ob f(x)
ganzrational ist oder nicht.
Vielen Dank im voraus für eure Antwort.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo rubi,
> ich habe eine Frage zu ganzrationalen Funktionen.
> Mir ist die Bauart einer ganzrationalen Funktion klar.
>
> Nun habe ich folgende Funktion:
> f(x) = [mm]x^2*(2-\wurzel{x})*(2+\wurzel{x})[/mm]
>
> Das ergibt ausmultipliziert f(x) = [mm]x^2*(4-x)=4x^2-x^3[/mm]
>
> Wenn ich nur die Endfunktion betrachte, würde ich
> natürlich sagen, dass die Funktion ganzrational ist.
Ja.
> Allerdings ist die Definitionsmenge der Ausgangsfunktion
> (nur x-Werte >=0) ja eine andere als die Endfunktion (alle
> x-Werte sind zugelassen),
> so dass man den Term eigentlich nur umschreiben darf, wenn
> man nach wie vor nur x >=0 zulässt.
Richtig.
> Da ich bisher davon ausgegangen bin, dass ganzrationale
> Funktionen immer die Definitionsmenge D = R haben,
Das ist eine Folge ihrer Konstruktion, aber keine Voraussetzung.
> bin ich nun unsicher, ob f(x)
> ganzrational ist oder nicht.
Na, in der ursprünglich vorliegenden Form natürlich nicht. In der ausmultiplizierten Form ist f(x) offensichtlich ganzrational. Die Einschränkung der Definitionsmenge liegt ja nicht in der "Bauart" der Funktion begründet, sondern hier sozusagen in ihrer Herkunft.
Und im übrigen ist das im allgemeinen eher Haarspalterei. Es wird sich daher ohne Mühe jemand finden, der genau das Gegenteil behauptet.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mi 24.04.2013 | | Autor: | rubi |
Hallo reverend,
danke für deine Antwort.
Sorry aber, wenn ich nochmals nachhaken muss.
In der Aufgabenstellung steht die Funktion f(x) mit den Wurzeln da mit der Frage, ob diese ganzrational ist.
Der Lehrer lässt die Schüler die Funktion wie bei mir beschrieben umformen und gibt als Antwort "ja".
Wenn ich dich richtig verstanden habe, ist die Ausgangsfunktion (und um die geht es ja in der Fragestellung) nicht ganzrational, vermutlich ganz einfach deshalb, weil in der Ausgangsfunktion keine [mm] \wurzel{x} [/mm] -Ausdrücke auftauchen dürfen, egal ob diese sich im Laufe der Umformungen wegheben oder nicht. Richtig ?
Ansonsten könnte man ja auch die Funktion g(x) = [mm] \bruch{x^2-1}{x+1}
[/mm]
nach dem Kürzen als ganzrational bezeichnen.
Bitte daher um eine Klarstellung deiner Antwort, vielen Dank.
Viele Grüße
Rubi
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Hallo Rubi,
wie reverend schon schrieb, das lässt sich letztendlich nicht 100-prozentig klären.
> In der Aufgabenstellung steht die Funktion f(x) mit den
> Wurzeln da mit der Frage, ob diese ganzrational ist.
> Der Lehrer lässt die Schüler die Funktion wie bei mir
> beschrieben umformen und gibt als Antwort "ja".
>
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, ist die
> Ausgangsfunktion (und um die geht es ja in der
> Fragestellung) nicht ganzrational, vermutlich ganz einfach
> deshalb, weil in der Ausgangsfunktion keine [mm]\wurzel{x}[/mm]
> -Ausdrücke auftauchen dürfen, egal ob diese sich im Laufe
> der Umformungen wegheben oder nicht. Richtig ?
Ich sehe es genau so. Wenn du ein gängiges Analysis 1-Lehrbuch aufschlägst, wirst du eigentlich überall ganzrationale Funktionen als Polynomfunktionen definiert sehen, und was ein Polynom ist, das ist zweifelsfrei erklärt, das liegt hier nicht vor.
Außerdem könnte man als Argument noch die Tatsache ins Feld führen, dass eine Funktion allein durch ihre Funktionsvorschrift noch nicht eindeutig definiert ist. Es gehören auch Definitions- und Wertebereich dazu. So gesehen, versteht man ja unter einer ganzrationalen Funktion üblicherweise eine Funktion vom Typ f: [mm] \IR->\IR, [/mm] und die hier diskutierte Funktion ist eben eine Funktion vom Typ f: [mm] \IR_+->\IR.
[/mm]
>
> Ansonsten könnte man ja auch die Funktion g(x) =
> [mm]\bruch{x^2-1}{x+1}[/mm]
> nach dem Kürzen als ganzrational bezeichnen.
>
Wenn du hier kürzst, kommt eine andere Funktion heraus als die ursprüngliche, da sich mämlich dabei die Definitionslücke bei x=-1 herauskürzt (-> hebbare Definitionslücken). Also ist es ebenfalls keine ganzrationale Funktion.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo reverend,
>
> danke für deine Antwort.
> Sorry aber, wenn ich nochmals nachhaken muss.
>
> In der Aufgabenstellung steht die Funktion f(x) mit den
> Wurzeln da mit der Frage, ob diese ganzrational ist.
> Der Lehrer lässt die Schüler die Funktion wie bei mir
> beschrieben umformen und gibt als Antwort "ja".
Dann sag Deinem Lehrer, dass er gewaltig schief liegt.
>
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, ist die
> Ausgangsfunktion (und um die geht es ja in der
> Fragestellung) nicht ganzrational, vermutlich ganz einfach
> deshalb, weil in der Ausgangsfunktion keine [mm]\wurzel{x}[/mm]
> -Ausdrücke auftauchen dürfen, egal ob diese sich im Laufe
> der Umformungen wegheben oder nicht. Richtig ?
>
> Ansonsten könnte man ja auch die Funktion g(x) =
> [mm]\bruch{x^2-1}{x+1}[/mm]
> nach dem Kürzen als ganzrational bezeichnen.
So ist es. Wie meine Vorredner schon sagten: die Angabe der Def.-Menge und der Zielmenge gehört mit dazu.
Obiges g ist def. für x [mm] \in \IR \setminus \{-1\}
[/mm]
daran ändert sich nach dem Kürzen nichts.
FRED
>
> Bitte daher um eine Klarstellung deiner Antwort, vielen
> Dank.
>
> Viele Grüße
> Rubi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo rubi,
>
> > ich habe eine Frage zu ganzrationalen Funktionen.
> > Mir ist die Bauart einer ganzrationalen Funktion klar.
> >
> > Nun habe ich folgende Funktion:
> > f(x) = [mm]x^2*(2-\wurzel{x})*(2+\wurzel{x})[/mm]
> >
> > Das ergibt ausmultipliziert f(x) = [mm]x^2*(4-x)=4x^2-x^3[/mm]
> >
> > Wenn ich nur die Endfunktion betrachte, würde ich
> > natürlich sagen, dass die Funktion ganzrational ist.
>
> Ja.
>
> > Allerdings ist die Definitionsmenge der Ausgangsfunktion
> > (nur x-Werte >=0) ja eine andere als die Endfunktion
> (alle
> > x-Werte sind zugelassen),
> > so dass man den Term eigentlich nur umschreiben darf,
> wenn
> > man nach wie vor nur x >=0 zulässt.
>
> Richtig.
>
> > Da ich bisher davon ausgegangen bin, dass ganzrationale
> > Funktionen immer die Definitionsmenge D = R haben,
>
> Das ist eine Folge ihrer Konstruktion, aber keine
> Voraussetzung.
>
> > bin ich nun unsicher, ob f(x)
> > ganzrational ist oder nicht.
>
> Na, in der ursprünglich vorliegenden Form natürlich
> nicht. In der ausmultiplizierten Form ist f(x)
> offensichtlich ganzrational. Die Einschränkung der
> Definitionsmenge liegt ja nicht in der "Bauart" der
> Funktion begründet, sondern hier sozusagen in ihrer
> Herkunft.
>
Hallo reverend,
> Und im übrigen ist das im allgemeinen eher Haarspalterei.
Das sehe ich nicht so.
> Es wird sich daher ohne Mühe jemand finden, der genau das
> Gegenteil behauptet.
Da hast Du sicher recht, aber dann hat dieser jemand nicht recht.
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
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