Frage zu einer Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] p*\bruch{x}{y} \le (\bruch{x}{y})^{p}-p+1
[/mm]
p>1
0<y<x |
Hallo!
Wollte mal kurz fragen, ob mir jemand sagn kann, wie ich das hier zeigen kann, dass das funktioniert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruss Mattes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 So 25.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mattes
Warum hat das was mit Funktionalanalysis zu tun?
> [mm]p*\bruch{x}{y} \le (\bruch{x}{y})^{p}-p+1[/mm]
> p>1
> 0<y<x
> Hallo!
>
> Wollte mal kurz fragen, ob mir jemand sagn kann, wie ich
> das hier zeigen kann, dass das funktioniert.
Irgendwas muss bei deinen Angaben falsch sein:
Gegenbespiel p=2 x=2*y also x/y=2
einsetzen und es kommt das Gegenteil raus.
Gruss leduart
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Hallo!
Also wegen dem Post.
Ich wusste nicht wirklich wohin damit und Funktionenanalysis dachte ich passt ganz gut, sorry.
Also falls das ein Admin liest bitte verschieben.
Nun aber zur eigentlichen Aufgabe:
Gegeben ist:
[mm] p*y^{p-1}*(x-y) \le x^{p}-y^{p}
[/mm]
Klammer auflösen und dann habe ich einen Fehler gemacht :D
jetzt steht da nach ein bisschen auflösen:
-p+1 [mm] \le (\bruch{x}{y})^{p}-p*\bruch{x}{y}
[/mm]
linke Seite ist immer negativ, aber ist das auch die rechte Seite?
Der Bruch [mm] \bruch{x}{y} [/mm] ist ja strikt größer 1, aber was ist mit dem negativen Term?
Kann man dann einfach sagen, eine Potenz ist "stärker" als ein Produkt und geht/steigt deswegen schneller? [Gegenbeispiel x= 1.1, y=1, p=2, das geht also so nicht...)
[Weil wenn ich zeigen würde, dass die rechte Seite immer positiv ist, habe ich es ja schon bewiesen ;)]
Aber das geht ja leider nicht, aber evtl. gibt es da einen trick mit abschätzen oder so. Gruß
Gruss Mattes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 So 25.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mattes
> Hallo!
> Gegeben ist:
> [mm]p*y^{p-1}*(x-y) \le x^{p}-y^{p}[/mm]
Ich denke, das Umformen hier ist keine gute Idee. die rechte Seite hat die Nullstelle x=y also kannst du durch x-y>0 dividiern! Dann sollte es leichter sein die Ungleichung zu beweisen!
Es lohnt sich immer die ursprüngliche Aufgabe zu beschreiben, und dann deine Ansätze und Rechnungen zu beschreiben!
Sieh mal hier nach Euer Professor mag die Fragen nicht!
hier
Gruss leduart
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Hast schon recht, nur was soll ich machen, wenn ich die Aufgabe alleine nicht hinbekomme???
Ausserdem war der Post des Professors ein Fake :D
Da hat sich jemand einen schlechten Scherz erlaubt.....
Und so ein bisschen Lösungsansatz habe ich auch.
Eine andere Möglichkeit wäre die Anwendung der Jensenschen Ungleichung, im Zusammenhang mit konkaven/konvexen Funktionen, da wir das erst vor kurzen gemacht haben und da bisher keine Aufgabe zu dran kam.
Wie das funktionieren soll, weiss ich allerdings nicht, also wenn mir da jemand ein bisschen unter die Arme greifen würde und mir einen Lösungsansatz geben würdet, dann mache ich den Rest schon alleine, aber so ganz ohne geht das bei mir leider nicht.
Gruss Mattes
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Hallo Namensvetter,
also mit ein wenig rumprobieren kann man das ja schon rauskriegen:
zu zeigen also:
[mm] $py^{p-1}(x-y)\le x^p [/mm] - [mm] y^p$.
[/mm]
Das ganze riecht ja schon mal schwer nach der Youngschen Ungleichung: [mm] $ab\le \frac1p a^p [/mm] + [mm] \frac [/mm] 1{p'} [mm] b^{p'}, [/mm] 1/p + 1/{p'}=1$.
Ich würde jetzt also die linke seite deiner ungleichung ausmultiplizieren und dann versuchen, geschickt Young anzuwenden:
[mm] $py^{p-1}(x-y)=pxy^{p-1}-py^p$
[/mm]
der erste term auf der rechten seite verlangt ja nun geradezu danach, mit Young verarztet zu werden....  Versuch das mal und das Ziel ist nah!
Gruß
Matthias
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