Frage zum Betrag Komplexer Fkt < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Drno |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für zwei komplexe Zahlen g, s gilt:
[mm] |g-s|^2 [/mm] = [mm] |g|^2 [/mm] + [mm] |s|^2 [/mm] - conj(g) * s - conj(s) * g
* = mal
conj = konjugiert komplex |
Hallo,
wie komme ich auf das obige Ergebnis?
Dass es stimmt ist mir klar, aber mir fehlt der Ansatz um darauf zu kommen.
Gibt es da einen einfachen "Trick"/Weg oder müsste man das wirklich mal genau ausmultiplizieren? Und wenn wie genau?
Danke für alle Antworten,
Moritz
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> Zeigen Sie, dass für zwei komplexe Zahlen g, s gilt:
>
> [mm]|g-s|^2[/mm] = [mm]|g|^2[/mm] + [mm]|s|^2[/mm] - [mm] \overline{g} [/mm] * s - [mm] \overline{s} [/mm] * g
>
> * = mal
> [mm] \overline{x} [/mm] = x konjugiert komplex
> Hallo,
>
> wie komme ich auf das obige Ergebnis?
> Dass es stimmt ist mir klar, aber mir fehlt der Ansatz um
> darauf zu kommen.
Hallo,
das ist ja skurril. Warum ist Dir klar, daß das stimmt?
> Gibt es da einen einfachen "Trick"/Weg oder müsste man das
> wirklich mal genau ausmultiplizieren? Und wenn wie genau?
Wie berechnet man denn den Betrag einer komplexen Zahl?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Drno |
Also es steht so im Skript. Aber ich würde gerne wissen, ob es sich dabei um eine offensichtliche Sache handelt wie [mm] |s|^2 [/mm] = s*conj(s) oder um eine längere Berechnung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Drno!
Es ist schon etwas Rechnerei ... siehe meinen Tipp unten!
Gruß
Loddar
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> Also es steht so im Skript. Aber ich würde gerne wissen, ob
> es sich dabei um eine offensichtliche Sache handelt wie
> [mm]|s|^2[/mm] = s*conj(s) oder um eine längere Berechnung.
Hallo,
leider hast Du meine Frage nach dem Betrag nicht beantwortet.
Du kannst diese Aufgab so lösen, wie Dir Loddar vorschlägt, aber auch, indem Du mit den Regeln fürs Rechnen mit Konjugiert-Komplexen anwendest, die Ihr im Dunstkreis der Formel sicher notiert habt.
Leg doch mal los:
[mm] |g-s|^2= [/mm] ... jetzt erstmal verwenden, was der Betrag einer komplexen Zahl ist, und dann weiter.
Es ist kurz und einfach.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Drno!
Setze:
$$g \ := \ x+i*y$$
$$s \ := \ a+i*b$$
Und nun berechne mal beide Seiten der Gleichung separat und vergleiche.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:34 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Drno |
OK ihr habt mich, ich rechne es aus 
also
g = a + ib
s = c + id
[mm] |g-s|^2 [/mm] = |a-c + [mm] i(b-d)|^2 [/mm] (1)
a-c = a', b-d = b'
(1) = a'^2 + b'^2 = [mm] (a^2 [/mm] - 2ac + [mm] c^2) +(b^2 [/mm] - 2bd + [mm] d^2) [/mm] (2)
-------------------------
[mm] |g|^2 [/mm] + [mm] |s|^2 [/mm] - conj(g) * s - conj(s) * g
= [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] + [mm] d^2 [/mm] - [(a+ib)(c-id)] - [(a-ib)(c+id)]
= ... -[ac + bd -iad+ ibc] - [ac + bd - ibc +iad]
= ... (-2ac -2bd) = (2)
qed
Gibts da einen kürzeren weg?
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> OK ihr habt mich, ich rechne es aus
>
> also
> g = a + ib
> s = c + id
>
> [mm]|g-s|^2[/mm] = |a-c + [mm]i(b-d)|^2[/mm] (1)
>
> a-c = a', b-d = b'
>
> (1) = a'^2 + b'^2 = [mm](a^2[/mm] - 2ac + [mm]c^2) +(b^2[/mm] - 2bd + [mm]d^2)[/mm]
> (2)
>
> -------------------------
> Gibts da einen kürzeren weg?
Hallo,
siehe oben, und starte mit
[mm] |g-s|^2= (g-s)*\overline{g-s} [/mm] = ...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Drno |
OK, das ist tatsächlich einfacher.
Irgendwie hatte ich da wohl ein Brett vorm Kopf.
Danke für die Hilfe!
MFG Moritz
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