Frage zum Integral einer FKT < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Do 15.12.2005 | | Autor: | K-D |
Hallo,
ich soll folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{\pi} [/mm] { [mm] \bruch{1}{e^{-2 i t}+1} [/mm] dt}
Durch Substitution erhalte ich:
z= 4 [mm] e^{-2 i t}+1
[/mm]
und
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {- [mm] \bruch{1}{2 i z} [/mm] dt}
Dies ist jetzt ein Verzweigungspunkt und ich bekomme als Lösung
i/2 [ln (2 [mm] e^{-2i t}+1)+ [/mm] i(2t+ 2 [mm] \pi [/mm] k)] = -2 [mm] \pi
[/mm]
Mathematica liefert aber [mm] \pi [/mm] als Ergebnis
Deshalb wollte ich fragen, was ich bei der Rechnung falsch mache...
Danke,
KD
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Da wird ja gnadenlos über eine Singularität hinwegintegriert: Für [mm]t = \frac{\pi}{2}[/mm] verschwindet nämlich der Nenner des Integranden. Auch die folgende Umformung zeigt dies:
[mm]\frac{1}{\operatorname{e}^{-2 \operatorname{i} t} + 1} \ = \ \frac{\operatorname{e}^{\, \operatorname{i} t}}{2 \cdot \frac{\operatorname{e}^{\, \operatorname{i} t} + \operatorname{e}^{- \operatorname{i} t}}{2}} \ = \frac{1}{2} \, \frac{\operatorname{e}^{\, \operatorname{i} t}}{\cos{t}} \ = \ \frac{1}{2} \left( 1 + \operatorname{i} \, \tan{t} \right)[/mm]
Und jetzt beachte das Verhalten der Tangensfunktion bei [mm]t = \frac{\pi}{2}[/mm].
Überprüfe bitte deine Angaben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 15.12.2005 | | Autor: | K-D |
Hallo,
stimmt ich habe mich wirklich verschrieben.
Sorry...
Jetzt nochmal richtig:
Ich soll über [mm] \integral_{c}^{} {\bruch {1}{z^{2}+1} dz}
[/mm]
integrieren mit
[mm] z=\bruch{1}{2} e^{2 i t} [/mm] für t von 0 bis [mm] \pi
[/mm]
Eingesetzt und umgeformt erhalte ich dann:
[mm] \integral_{0}^{\pi} {\bruch {1}{\bruch {1}{4} e^{2 i t}+1} dt}
[/mm]
bzw.
[mm] \integral_{0}^{\pi} {\bruch {4 e^{-2 i t}}{4 e^{-2 i t}+1} dt}
[/mm]
jetzt substituiere ich:
z=4 [mm] e^{-2 i t}+1
[/mm]
dz = -8 i [mm] e^{-2 i t}
[/mm]
und bekomme als lösung von
[mm] \integral_{a}^{b} {\bruch {1}{-2 i z} dz}
[/mm]
[mm] \bruch{i}{2}[ln(2 e^{-2 i t}+1)+(2 [/mm] i t+ 2 [mm] \pi [/mm] k)]
wobei k die Nummer des Riemannschen Blattes angibt
(bei t=0 0 und bei [mm] t=\pi [/mm] 1)
Dafür erhalte ich aber dann nicht nur [mm] \pi [/mm] ...
Grüße,
KD
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Do 15.12.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo K-D,
du hast da kleine Fehler eingebastelt:
[mm] \vektor{\bruch{1}{2}*e^{2it}}^{2}=\bruch{e^{\red{4}it}}{4}
[/mm]
als Integral erhältst du
[mm] x+\bruch{ln(e^{4it}+4)*i}{4}
[/mm]
und dann kommt auch [mm] \pi [/mm] raus
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 15.12.2005 | | Autor: | K-D |
Danke :)
Und warum kommt dort das x (vermutlich t) dazu?
$ [mm] x+\bruch{ln(e^{4it}+4)\cdot{}i}{4} [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Do 15.12.2005 | | Autor: | K-D |
Könntest du mir deine Rechnung erklären,
weil Mathematica liefert die selbe Stammfunktion,
aber ich verstehe halt nicht wieso.
Da ich nicht die zusätzliche t-Abhängigkeit bekomme...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wie Leopold schon richtig meinte, gilt:
[mm] $\int\limits_c \frac{1}{1+z^2}\, [/mm] dz = [mm] \int\limits_0^{\pi} \frac{ie^{2it}}{\left( \frac{1}{2} e^{2it} \right)^2+1}\, [/mm] dt = [mm] \left[\arctan\left( \frac{1}{2} e^{2it} \right) \right]_0^{\pi} [/mm] =0$.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Julius,
> Hallo!
>
> Wie Leopold schon richtig meinte, gilt:
>
> [mm]\int\limits_c \frac{1}{1+z^2}\, dz = \int\limits_0^{\pi} \frac{ie^{2it}}{\left( \frac{1}{2} e^{2it} \right)^2+1}\, dt = \left[\arctan\left( \frac{1}{2} e^{2it} \right) \right]_0^{\pi} =0[/mm].
>
> Liebe Grüße
> Julius
wo kommt den der Zähler auf einmal her? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
[mm] ie^{2i\pi}=i\not=1 [/mm] - wenn ich mich nicht täusche
ich sehe das Ganze ein bisschen anders!
Liebe Grüße
Herby
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Ich würde mich hier gar nicht auf das diffizile Gebiet mehrdeutiger Funktionen wie der komplexen [mm]\arctan[/mm]-Funktion wagen. Zumindest sollte man dann erklären, welchen Zweig man meint.
Die ganze Parametrisierung ist auch gar nicht nötig, da wegen des Cauchyschen Integralsatzes von vorneherein klar ist, daß der Integralwert 0 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Leopold,
> Ich würde mich hier gar nicht auf das diffizile Gebiet
> mehrdeutiger Funktionen wie der komplexen [mm]\arctan[/mm]-Funktion
> wagen. Zumindest sollte man dann erklären, welchen Zweig
> man meint.
> Die ganze Parametrisierung ist auch gar nicht nötig, da
> wegen des Cauchyschen Integralsatzes von vorneherein klar
> ist, daß der Integralwert 0 ist.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ist er doch garnicht - er ist 3,14159265358979..........
lg
Herby
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Ich glaube, es wird klarer, wenn du den ganzen Strang noch einmal durchgehst, denn der Fragesteller hat seine ursprünglichen Angaben korrigiert. Wie man das komplexe Integral parametrisiert, dazu habe ich in einem vorigen Beitrag schon Stellung genommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Sa 17.12.2005 | | Autor: | K-D |
Danke sehr für die Erklärung :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Leopold!
Du hast schon Recht mit deinem Einwand, nur gehe/ging ich halt davon aus, dass der Fragesteller den Cauchyschen Integralsatz nicht zur Verfügung hat. (Aber vielleicht kannte er ihn ja auch, dann war meine Rechnung überflüssig.)
Trotzdem sollte man dann, das stimmt schon, mehr über den verwendeten Zweig der Arcustangens-Funktion verlieren. Es geht aber dann schon so...
Liebe Grüße
Julius
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Wenn man die Arcustangens-Funktion bemüht, bräuchte man ja die ganze Parametrisierung schon gar nicht. Man sagt dann einfach: In einer Kreisscheibe, die den Integrationsweg enthält, existiert ein Zweig der Arcustangensfunktion, der den reellen Arcustangens fortsetzt. Dieser Zweig ist eine Stammfunktion des Integranden. Daher gilt:
[mm]\int_{\frac{1}{2} \operatorname{e}^{0 \cdot \operatorname{i}}}^{\frac{1}{2} \operatorname{e}^{\operatorname{2 \pi \cdot i}}}~\frac{\mathrm{d}z}{1 + z^2} = \arctan{\frac{1}{2}} - \arctan{\frac{1}{2}} = 0[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Do 22.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Leopold!
Das ist natürlich vollkommen richtig, nur bin ich auf Grund der formulierten Frage (und des Lösungsansatzes) davon ausgegangen, dass die Aufgabe mit einer Parametrisierung gelöst werden sollte. Es ist klar, dass es elegantere Lösungsmöglichkeiten gibt, nur wollte ich eben "dicht am Fragesteller" bleiben. (Dass man dann natürlich das Problem mit der Mehrdeutigkeit der komplexen Arcustangens-Funktion hat, ist eventuell vom Aufgabensteller übersehen worden, sofern keine weiteren Kenntnisse vorlagen).
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:14 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo K-D
so müsste es gehen:
[mm] \integral_{0}^{\pi} {\bruch{1}{(\bruch{1}{2}*e^{2it})^{2}+1} dt}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{\pi} {\bruch{1}{\bruch{1}{4}*e^{4it}+1} dt}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{\pi} {\bruch{4}{e^{4it}+4} dt}
[/mm]
jetzt erweiterst du den Zähler mit 0 = [mm] e^{4it}-e^{4it}
[/mm]
dann ergeben sich zwei Teilintegrale:
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{\pi} {\bruch{4+e^{4it}}{e^{4it}+4} dt}+ \integral_{0}^{\pi} {\bruch{-e^{4it}}{e^{4it}+4} dt}
[/mm]
Naja, das erste Integral ergibt genau das [mm] \pi [/mm] als Lösung und das Zweite ist Null.
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:13 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Stefan,
wo liegt der Fehler?
Ich habe das Intergal mit Maple und mit meinem Taschenrechner berechnet.
Beide Programme warfen folgendes Ergebnis aus: [mm] \integral_{0}^{\pi} {\bruch{1}{(\bruch{1}{2}e^{2it})^2+1} dt}=t+\bruch{ln(e^{4it}+4)*i}{4}
[/mm]
und D-K sagte, dass dieses ebenso mit Mathematica übereinstimmen würde.
Täuschen wir uns alle?
Liebe Grüße
Herby
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Das Ganze kann nicht stimmen. Die Funktion [mm]z \mapsto \frac{1}{1+z^2}[/mm] ist auf einer Umgebung der Kreisscheibe [mm]|z| \leq \frac{1}{2}[/mm] holomorph. Wenn nun über den Rand dieser Kreisscheibe integriert wird, muß nach dem Cauchyschen Integralsatz das Integral den Wert 0 besitzen.
Die Fehler beginnen schon ganz zu Anfang. Du darfst nicht nur [mm]z = \frac{1}{2} \operatorname{e}^{2 \operatorname{i} t}[/mm] substituieren, sondern mußt auch [mm]\mathrm{d}z = \operatorname{i} \operatorname{e}^{2 \operatorname{i} t} \, \mathrm{d}t[/mm] substituieren.
Aber wie gesagt, die ganze Rechnung ist wegen des Cauchyschen Integralsatzes sowieso überflüssig.
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) - dann mach ich das!
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