Frage zum Integral von Betrag < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mi 01.02.2006 | | Autor: | benemaja |
Hallo!
Ich habe eine kleine Frage zu einem bestimmten Integral:
[mm] \integral_{-1}^{2}{x*|x|^{ \alpha} dx} \alpha \not= [/mm] -1
Muss ich hier eine Fallunterscheidung machen?
Wie sieht die genau aus? Muss ich [mm] \alpha [/mm] gerade und ungerade betrachten??
Wäre nett, wenn ihr mir hier helfen könntet.
mfg Bene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo benemaja,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich würde das Integral zweiteilen in die beiden Integrationsintervalle [mm] $\left[-1; \ 0\right]$ [/mm] und [mm] $\left[0; \ +2\right]$ [/mm] und dann die Definition der Betragsfunktion anwenden:
[mm] |x|:=\begin{cases} -x & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Damit wird dann:
[mm] $\integral_{-1}^{2}{x*|x|^{\alpha} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-1}^{0}{x*|x|^{\alpha} \ dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{x*|x|^{\alpha} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-1}^{0}{x*(-x)^{\alpha} \ dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{x*(+x)^{\alpha} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{\alpha}*\integral_{-1}^{0}{x^{\alpha+1} \ dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{x^{\alpha+1} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 01.02.2006 | | Autor: | benemaja |
Hallo!
Danke erstma für die Hilfe!!
ICh habe jetzt ma noch eine kleine Frage:
Wenn es sich jetzt um ein unbestimmtes Integral handel würde, müsste ich doch dann die einzelnen Fälle, mit ungeradem [mm] \alpha [/mm] und geradem [mm] \alpha [/mm] betrachten oder??
Zusätzlich käme ja dann noch x<0 und x>0 oder?
Danke nochma!
mfg Bene
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In der Aufgabe ist der Wurm drin. Schon die Aufgabenstellung ist konfus. Im allgemeinen Verständnis bezeichnet eine Hochzahl [mm]\alpha[/mm] eine beliebige reelle Zahl. Wenn das hier nicht so sein soll, also z.B. [mm]\alpha[/mm] nur ganzzahliger Werte fähig ist, muß man das dazusagen, weil das für die Lösung der Aufgabe entscheidend ist.
Solange ich nichts anderes weiß, gehe ich also davon aus, daß [mm]\alpha[/mm] reell ist. Und dann verstehe ich nicht, warum [mm]\alpha = -1[/mm] ausgeschlossen wird, denn das Integral existiert auch in diesem Fall, obwohl der Integrand bei [mm]x=0[/mm] nicht definiert ist und auch nicht stetig ergänzt werden kann. Dagegen macht z.B. [mm]\alpha = -2[/mm] Schwierigkeiten, da der Integrand nicht mehr beschränkt ist. Aber das wird gerade in der Aufgabe nicht ausgeschlossen.
Auch Roadrunners Antwort stimmt nicht ganz. Für [mm]x<0[/mm] gilt bei reellem [mm]\alpha[/mm] nämlich nicht stets [mm]x(-x)^{\alpha} = (-1)^{\alpha} x^{\alpha+1}[/mm] (z.B. [mm]\alpha = 0{,}5[/mm]). Richtig dagegen ist [mm]x(-x)^{\alpha} = - (-x)^{\alpha + 1}[/mm] für [mm]x<0[/mm].
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:43 Di 07.02.2006 | | Autor: | benemaja |
Danke erstma!
Also ich habe da immer noch ein kleines Problem:
Warum muss ich jetzt noch Fallunterscheidungen machen, die den Betrag betreffen?
Der Betrag wird doch bevor ich potenziere gebildet (dies heißt doch dann:
das immer einer positive Zahl potenziert wird, oder?)
Ich müsste doch jetzt nur unterscheiden, dass einmal [mm] \alpha [/mm] < 0 und einmal
[mm] \alpha [/mm] > 0 sein kann.
Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.
mfg Bene
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:23 Fr 10.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo benemaja!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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