Frage zum Kongruenzsystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 So 15.01.2006 | | Autor: | benemaja |
Hallo!
ICh habe eine Frage zu folgendem Koongruenzsystem:
3x + 7y [mm] \equiv [/mm] 10 (mod 14)
10x - 8y [mm] \equiv [/mm] 6 (mod 14)
Ich sitze da jetzt schon ne weile vor..
Würde es was bringen, wenn ich die erste Gleichung mit 2 multipliziere?
Also ich weiß nicht, wie ich eine VAriable aus den Kongruenzen herauslösen kann.
Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.
mfg Bene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 So 15.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ICh habe eine Frage zu folgendem Koongruenzsystem:
>
> 3x + 7y [mm]\equiv[/mm] 10 (mod 14)
> 10x - 8y [mm]\equiv[/mm] 6 (mod 14)
>
> Ich sitze da jetzt schon ne weile vor..
> Würde es was bringen, wenn ich die erste Gleichung mit 2
> multipliziere?
Nein, 2 ist keine Einheit modulo 14 (ist also nicht invertierbar), womit du Informationen verlierst (wenn du nicht beide alten Gleichungen mit dazu nimmst).
Versuch doch mal das folgende: Addiere die beiden Gleichungen zusammen!
LG Felix
Edit: Ich seh grad, wenn man weiterrechnet bekommt man am Ende immer sowas wie $2 x [mm] \equiv [/mm] ... [mm] \pmod{14}$, [/mm] also kannst du eigentlich auch gleich die erste Gleichung mit $2$ multiplizieren... Du musst es halt nur begruenden, und das wirst du erst spaeter machen koennen wenn du weitergerechnet hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 15.01.2006 | | Autor: | benemaja |
Danke erstma!
Hab nur noch nen kleines Problem:
Wenn ich beide Kongruenzen addiere, fleigt ja keine Variable raus.
Wie kann ich das dann noch eindeutig lösen?
mfg Bene
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Mo 16.01.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Bene!
> Danke erstma!
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> Hab nur noch nen kleines Problem:
> Wenn ich beide Kongruenzen addiere, fleigt ja keine
> Variable raus.
>
> Wie kann ich das dann noch eindeutig lösen?
>
> mfg Bene
Ein möglicher Lösungsweg:
Erst beide Kongruenzen mod 7 betrachten:
3x [mm] \equiv [/mm] 3 mod 7
3x y [mm] \equiv [/mm] -1 mod 7
Das ist einfach zu lösen: x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 7 und y [mm] \equiv [/mm] 4 mod 7
Dann beide Kongruenzen mod 2 betrachten:
x [mm] \equiv [/mm] -y mod 2, d. h. x [mm] \equiv [/mm] y mod 2
(Die 2. ist immer erfüllt!)
Jetzt zusammenfassen:
x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 7 gibt die Möglichkeiten x [mm] \equiv [/mm] 1 und x [mm] \equiv [/mm] 8 mod 14
y [mm] \equiv [/mm] 4 mod 7 gibt die Möglichkeiten y [mm] \equiv [/mm] 4 und y [mm] \equiv [/mm] 11 mod 14
Aus x [mm] \equiv [/mm] y mod 2 folgen jetzt die Möglichkeiten
x [mm] \equiv [/mm] 1 und y [mm] \equiv [/mm] 11 mod 14
und x [mm] \equiv [/mm] 8 und y [mm] \equiv [/mm] 4 mod 14
Probe zeigt: Beide sind OK
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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