Frage zur lin. Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mi 23.01.2008 | | Autor: | M4nuel |
| Aufgabe | Berechne:
[mm] \integral_{0}^{\pi}\sin(2x)\, dx [/mm] |
Hallo Zusammen,
wir nehmen bei uns im GK 12 die lineare Substitution durch und ich komme bei meiner Hausaufgabe nicht weiter. Mein Lehrer hat mir den Tipp gegeben, dass eine gerade Zahl herauskommen soll, aber bei mir sind das immer fürterliche Kommazahlen :(
Also ich habe erstmal [mm](2x)[/mm] durch z ersetzt und habe dann wie folgt die lineare Substitution versucht anzuwenden:
[mm] \integral_{0}^{\pi} - \cos \left( \bruch{1}{2} \right) z^2 \left( \bruch{1}{z'} \right)\, dx [/mm] [mm] \gdw \integral_{0}^{\pi} - \left( \bruch{1}{4} \right) \cos (2x)^2\, dx [/mm]
Wo mache ich einen Fehler? Liegts vielleicht an der Aufleitung von sinus?
Viele Grüße,
Manuel
P.S.: Ich hab Freitag morgen wieder Mathe ;)
und ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo M4nuel,
dein Fehler liegt daran, dass du nicht wirklich substituiert hast.
Wenn du sagst, dass z = 2x ist, dann musst du das auch einsetzen, also
[mm]\integral_{0}^{\pi}{\sin(2x)}dx[/mm]
[mm]=\integral_{0}^{\pi}{\sin(z)}dx[/mm]
Nun stört das dx, wir wollen ja nach dz integrieren, also
[mm]z = 2x[/mm]
[mm]\bruch{z}{dz} = \bruch{2x}{dx}[/mm]
[mm]dz = 2*dx[/mm]
[mm]dx = \bruch{1}{2}*dz[/mm]
in das Integral eingesetzt
[mm]=\integral_{0}^{\pi}{\sin(z)}\bruch{1}{2}*dz[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\pi}{\sin(z)}dz[/mm]
[mm]=-\bruch{1}{2}[{\cos(z)]_{0}^{\pi}[/mm]
jetzt entweder Grenzen substituieren oder rücksubstituieren (z = 2x)
[mm]=-\bruch{1}{2}[{\cos(2x)]_{0}^{\pi}[/mm]
...
Gruß
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mi 23.01.2008 | | Autor: | M4nuel |
Hi Slartibartfast,
ich verstehe den Schritt von $ [mm] \bruch{z}{dz} [/mm] = [mm] \bruch{2x}{dx} [/mm] $ zu [mm]dz = 2*dx\[/mm] nicht, weil ich durch Umformen höchstens auf [mm]dz = \bruch{2*dx}{2x}\[/mm] komme und das ist ja offensichtlich nicht das was du gepostet hast. Wie kommst du darauf?
Gruß, Manuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich schreibe mir das immer so:
z=2x
[mm] \bruch{dz}{dx}=2 [/mm] (z nach x abgeleitet is 2)
Und danach kannst du immer ganz gut umstellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Do 24.01.2008 | | Autor: | M4nuel |
Ich hab jetzt die Rechnung von MischiT1 durchgearbeitet und meine es soweit zu verstehen. Unser Lehrer hat uns noch so eine ähnliche Aufgabe aufgegeben. Ich versuche die mal anhand des Schemas von MischiT1 nach zurechnen:
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\cos(4x)}dx [/mm] $
1. Subsitution:
$ [mm] \\z [/mm] $ = 4x
2. Ableitung von z:
$ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] $ = 1
4. Einsetzen in das Integral:
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\cos(z)}dz [/mm] $
5. Anpassung der Grenzen:
Obergrenze: $ [mm] z(\pi) [/mm] $ = $ [mm] \\4 [/mm] $ * $ [mm] (\pi) [/mm] $ = $ [mm] 4\pi [/mm] $
Untergrenze: $ [mm] \\z(\\0) [/mm] $ = $ [mm] \\2 [/mm] $ * $ [mm] (\\0) [/mm] $ = $ [mm] \\0 [/mm] $
$ [mm] \integral_{0}^{4\pi}{\cos(z)}dz [/mm] $
6. Integration durchführen:
Die Stammfunktion von dem Cosinus ist der - Sinus.
$ [mm] \left[ -sin(z) \right]_{0}^{4\pi} [/mm] $
7.Einsetzen von z = 4x:
$ [mm] \left[ -sin(4x) \right]_{0}^{4\pi} [/mm] $
8.Plus den Kehrwert der inneren Ableitung von z:
$ [mm] \left[ -sin(4x)\left( \bruch{1}{4} \right) \right]_{0}^{4\pi }$
[/mm]
Mein Ergebnis ist dann -0,054 und es soll wieder eine ganze Zahl rauskommen :( Was mache ich hier falsch, besser gesagt: Wo liegt hier der Hase im Pfeffer?
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Hallo!
Du machst den selben fehler wie MischiT1!
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\cos(4x)}dx[/mm]
>
> 1. Subsitution:
> [mm]\\z[/mm] = 4x
>
> 2. Ableitung von z:
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = 1
Hier leitest du nach z ab. das ist flasch du musst nach x ableiten!!
rauskommen müsste: [mm] \bruch{1}{4}sin(4x)
[/mm]
Übrigens wenn du wieder zurücksubstituiert dann musst du auch deine grenzen zurücksubstituieren damit meine ich dass du wieder deine alten grenzen einsetzen musst!
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 24.01.2008 | | Autor: | M4nuel |
Ich hab mir noch mal unsere Schullektüre und diverse Internetseiten zu Gemüte geführt, aber jetzt check ich garnix mehr :-|
Ich versuch das Ganze mal Schritt für Schritt aufzudröseln, wie uns der Lehrer das beigebracht hat:
btw: Hier die Formel die wir im Unterricht aufgeschrieben haben:
[mm] \integral_{-a}^{b} f(mx+b)\, dx = $ \left[ F(mx+b)* \left( \bruch{1}{m} \right) \right]_{a}^{b} $ [/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Aufgabenstellung ist: Berechne $ \integral_{0}^{\pi}{\cos(4x)}dx $
1. Ich ersetze 4x durch z:
$ \\z $ = 4x \gdw $ \integral_{0}^{\pi}{\cos(z)}dx $
2. Ich bilde die Stammfunktion von z (leite z also auf):
$ \integral_{0}^{\pi}{\cos(\left( \bruch{1}{2} \right)z^2)}dx $
3. Dasselbe mache ich mit cos und bilde die Stammfunktion davon:
$ \integral_{0}^{\pi}{\--sin(\left( \bruch{1}{2} \right)z^2)}dx $
4. Ich multipliziere das mit dem Kehwert von z':
$ \left[ -sin(\left( \bruch{1}{2} \right)z^2) *\left( \bruch{1}{z'} \right) \right ]_{0}^{\pi } $ \gdw $ \left[ -sin(\left( \bruch{1}{2} \right)z^2) *\left( \bruch{1}{4} \right) \right ]_{0}^{\pi } $
5. Dann setze ich für z wieder 4x ein:
$ \left[ -sin(\left( \bruch{1}{2} \right)(4x)^2) *\left( \bruch{1}{4} \right) \right ]_{0}^{\pi } $
Jetzt setze ich für x \pi und null ein und komme auf -0,25. Aber das ist falsch! Warum?!
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Hallo!
Die Aufleitung von cos ist nicht -sin!!! Sondern +sin
Schritt 1 ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schritt zwei nicht mehr du leitest nicht z auf sondern cos(z) sonst macht doch deine substitution gar keinen sinn. Leite dich mal deine integrierte funktion ab. da müsste doch gerade cos(4x) herauskommen.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn ich nicht wüßte, wie's geht, würde ich aus diesem Thread nicht so recht schlau werden.
So gebe ich auch nochmal meinen Senf dazu, mal sehen, ob der Brei dann endgültig ungenießbar wird - oder gerettet durch Hausfrauenkunst.
Ich rechne Dir jetzt einmal ein ähnliches Beispiel vor:
Wir wollen $ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\cos(4x+5)}dx [/mm] $ integrieren.
1. Ich setze t:=4x+5
also [mm] x=\bruch{t-5}{4}
[/mm]
2. Ich ermittle, was ich für dx hinschreiben muß, indem ich [mm] \bruch{t-5}{4} [/mm] ableite:
[mm] dx=\bruch{1}{4} [/mm] dt.
Nun setze ich ein, beachte die Grenzen:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\cos(4x+5)}dx =\integral_{4*0+5}^{4*\pi+5}{\cos(t)}*(\bruch{1}{4} [/mm] dt)
[mm] =\integral_{5}^{4*\pi+5}\bruch{1}{4}{\cos(t)}dt =\bruch{1}{4}\integral_{5}^{4*\pi+5}{\cos(t)}dt
[/mm]
Nun greift man auf Bekanntes zuruck. sinx ist die Stammfunktion von cos x, denn es ist (sinx)'=cos x.
Also hat man
[mm] ...=\bruch{1}{4} [sin(t)]_{5}^{4*\pi+5} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}[sin(4*\pi+5)-sin(5)]=\bruch{1}{4}[sin(5)-sin(5)]=0 [/mm] (Es ist [mm] sin(4*\pi+5) [/mm] = sin(5) wegen der Periodizität der Funktion)
So, wie ich Dir das vorgemacht habe, kannst Du es immer machen, auch, wenn die Sustitution nichtlinear ist.
Nun zu dem aus dem Unterricht (nur für lineare Substitution, also wenn Du einen Ausdruck der Form mx+b) ersetzen willst):
> btw: Hier die Formel die wir im Unterricht aufgeschrieben
> haben:
> [mm]\integral_{-a}^{b} f(mx+b)\, dx = $ \left[ F(mx+b)* \left( \bruch{1}{m} \right) \right]_{a}^{b} $[/mm]
Wenn wir das auf meine Aufgabe anwenden, brauchen wir nur folgendes zu tun:
Die Stammfunktion v. sin ist cos. Also ist dieses F die Cosinusfunktion, und Du bekommst
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\cos(4x+5)}dx [/mm] = [cos(4x+5) * [mm] \bruch{1}{4}]_{0}^{\pi}=cos(4*\pi+5) [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - cos(4*0+5) * [mm] \bruch{1}{4}=cos(5) [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - cos(5) * [mm] \bruch{1}{4}=0
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:49 Mi 23.01.2008 | | Autor: | MischiT1 |
Also Slartibartfast ich weis ja nicht genau, was du da gerechnet hast, aber entweder hast du dich da verschrieben oder was auch immer. Außerdem braucht man zum lösen von so einem Integral gerade mal ein paar Zeilen.
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\sin(2x)}dx
[/mm]
Folgende Schritte sind zu beachten:
1. Subsitution:
[mm] \\z [/mm] = [mm] \\2x
[/mm]
2. Ableitung von z:
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \\1
[/mm]
3. Umstellung nach dx:
[mm] \\dx [/mm] = [mm] \\dz
[/mm]
4. Einsetzen in das Integral:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\sin(z)}dz
[/mm]
5. Anpassung der Grenzen:
Obergrenze: [mm] z(\pi) [/mm] = [mm] \\2 [/mm] * [mm] (\pi) [/mm] = [mm] 2\pi
[/mm]
Untergrenze: [mm] \\z(\\0) [/mm] = [mm] \\2 [/mm] * [mm] (\\0) [/mm] = [mm] \\0
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\sin(z)}dz
[/mm]
6. Integration durchführen:
Die Stammfunktion von dem Sinus ist der - Cosinus.
[mm] \left[ -cos(z) \right]_{0}^{2\pi}
[/mm]
7. Einsetzen der Werte
Lösung: -1
So etwas kann man auch in der Papulaformelsammlung nachlesen.
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Also MischiT1 ich weis ja nicht genau, was du da gerechnet hast, aber entweder hast du dich da im Papula verlesen oder was auch immer.
> Außerdem braucht man zum lösen von so einem Integral
> gerade mal ein paar Zeilen.
stimmt, strenggenommen brauch ich nur eine Zeile und gar keine Substitution, sondern kann das Ganze (da es eine lineare innere Funktion ist) so rechnen: integrierte äußere Funktion * Kehrbruch der Ableitung der inneren Funktion
Gruß
Slartibartfast
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 09:16 Do 24.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
> Folgende Schritte sind zu beachten:
>
> 1. Subsitution:
> [mm]\\z[/mm] = [mm]\\2x[/mm]
>
> 2. Ableitung von z:
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]\\1[/mm]
>
Das ist falsch du leitest nach x ab nicht nach z. es heisst da [mm] \bruch{dz}{dx}. [/mm] deshalb kommst du auch auf ein falsches ergebnis.
Gruß
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 17:39 Do 24.01.2008 | | Autor: | MischiT1 |
Naja wie man sich bei so ner Aufgabe noch verrechnen kann grenzt fast an ein Wunder. Hier die Korrektur:
zu 2.
Aus der Ableitung ergibt sich natürlich die 2.
zu 3.
Aus Punkt 2 folgt -> [mm] \\dx [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}dz
[/mm]
zu 4., 5. und 6.
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist jeweils vor das Integral zu schreiben.
zu 7.
Tja richtig einsetzten müsste man können.
Obergrenze: 1
Untergrenze: 1
Lösung: $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (- [mm] (\underbrace{1-1}_{=0})) [/mm] = 0 $
MfG
Michael
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