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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 So 07.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
| Aufgabe 1 | Es ist [mm] f(x)=x^3-2x
[/mm]
Gib eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f durch den Punkt P(2|f(2))an. |
| Aufgabe 2 | Es ist [mm] f(x)=2x^3-3x^2-13x+7. [/mm] Bestimme alle Punkte des Funktionsgraphen
mit der Tangentsteigung -1. Gib jeweils die Tangentengleichung an. |
| Aufgabe 3 | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=\bruch {1}{x^3}
[/mm]
Bestimme rechnerisch die Ableitung f'(a) von f an einer beliebigen Stelle a [mm] \in \IR [/mm] (ka was das heißen soll) als Grenzwert von Sekantensteigungen. |
Ich steht kurz vor einer Arbeit und noch Probleme zu den oben genannten Aufgaben, es wäre sehr nett wenn mir hier jemand helfen könnte.
Hier meine bisherigen Überlegungen:
1)
[mm] f(x)=x^3-2x [/mm] wird zu
f´(a) = [mm] 3a^2-2
[/mm]
f´(2) = [mm] 3*2^2-2 [/mm] = 10
[mm] y_t [/mm] = [mm] m_t*x+b
[/mm]
[mm] m_t [/mm] = 10
Tangente => y=10x+ ??
----------------------------
jetzt muss ich noch den zweiten Teil ausrechnen.
f(2)=10*2+b
2=10*2+b /-b
2-b = 10*2 /-2
b=8*2 = 16
Lösung: y=10x+16
Geogebra = richtig
______________________________________________
2) Hier weiß ich nicht so richtig wie ich vorgehen soll. Muss ich die zusammenfassen? geht das überhaupt. Kann mir einer einen Ansatz geben, oder zumindest den ersten Schritt.
______________________________________________
3)
[mm] f'(a)=\bruch {-3}{a^4}
[/mm]
Okey, hier bitte auch einen Denkantritt.
Ich hoffe es ist nicht zu viel auf einmal und jemand kann mir helfen.
Mit freundlichen Grüßen
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 So 07.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bei a) sollte die Tangentengleichung eher t: y=10x-16 heißen! Deine Tangente berührt den Grafen von f bei x=-2, nicht bei x=2!
f(2)=10*2+b
f(2) [mm] \not= [/mm] 2! f(2)=4
Damit hast du dann
4=10*2+b
Und musst nicht so umständlich umstellen... Mach doch aus 10*2 einfach 20 und dann |-20.
UND:
2-b = 10*2 /-2
b=8*2
Da waren auch gleich noch 2 Fehler drin... weil (10*2)-2 NICHT 8*2 ist!
Und vor das b müsste ein - hin.
Warst vielleicht etwas durch den Wind :)
b)
Ok, hier musst du erstmal alle Stellen finden, an denen der Graf eine Steigung von m=-1 hat. Das kriegst du recht einfach mit der Ableitungsfunktion hin, die du -1 setzen musst, da die Ableitungsfunktion ja den Anstieg angibt.
c)
Das sollst du so machen, wie du es vielleicht bei der Einführung der Differenzialrechnung gemacht hast... als du noch nicht einfach aus f(x)=x² f'(x)=2x machen konntest, sondern du einen Punkt gegen einen anderen laufen lassen musstest... sagt dir das wieder was?
[mm] m_s=\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}
[/mm]
Dann musst du für f(a) deine Funktion jetzt einsetzen und dann den Grenzwert für h->0 bilden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 So 07.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
1) Okey, stimmt. Da hab ich wohl bissel mist geschrieben....ups
werde ich mir nochmal angucken.
2)heißt das ich muss des einfach ableiten?!
[mm] f`(x)=6x^2-6x-13 [/mm] ?!
das müsste die Ableitung sein, bin mir aber noch nicht sicher wie es weiter gehen soll?! mmh.
3) h-Schreibweise ?! Wenn ja dann dauert das jetzt bissel. Aber möchte erstmal wissen ob des richtig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 07.10.2007 | | Autor: | Teufel |
b)
Die Ableitung an einer Stelle ist die Steigung des Grafen an der Stelle.
Wenn du nun alle Stellen willst, an denen der Anstieg von f m=-1 ist, dann musst du alle Stellen finden, an denen f' den Funktionswert -1 annimmt!
6x²-6x-13=-1 musst du also erstmal ausrechnen. Dann solltest du deine xe (oder vielleicht nur eins oder keins) erhalten! Dann verfährst du wie in a).
c)
Genau, die h-Schreibweise! Und das mit deiner konkreten Funktion.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 07.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
zu 3)
Ableitung würde ich jetzt einfach mal f`(a)=-/bruch [mm] {3}{a^4} [/mm] sagen.
aber das mit der h-Schreiweise müsste noch geklärt werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 So 07.10.2007 | | Autor: | Kroni |
> zu 3)
> Ableitung würde ich jetzt einfach mal [mm] $f'(a)=-/bruch{3}{a^4}$ [/mm] sagen.
Hi,
ja, das sehe ich auch so.
> aber das mit der h-Schreiweise müsste noch geklärt werden.
Die Antwort darauf habe ich dir in deiner anderen Frage gegeben.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 07.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
$ [mm] m_s=\bruch{f(a+h)-f(a)}{h} [/mm] $
heißt das nicht
$ [mm] m_s=\bruch{f(a+h)^2-f(a)^2}{h} [/mm] $ = 2a+h ???
Ich habe aber echt keinen blassen schimmer was ich bei 2 machen soll.
Irgend wie blockiert bei mir gerade alles.....sitze schon seit heute morgen davor. Hab gleich meine 8 Stunden durch. Ich hab auch schon massig gerechnet bloß unser lehrer hat gesagt, rechnet noch diese Aufgaben dann könnt ihr es.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 So 07.10.2007 | | Autor: | Kroni |
> [mm]m_s=\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}[/mm]
>
> heißt das nicht
> [mm]m_s=\bruch{f(a+h)^2-f(a)^2}{h}[/mm] = 2a+h ???
Hi,
das erste ist richtig.
Es gilt doch für die Steigung einer Geraden:
[mm] $m=\frac{y1-y2}{x1-x2}$, [/mm] ist genau das selbe wie oben.
>
> Ich habe aber echt keinen blassen schimmer was ich bei 2
> machen soll.
Du sollst die Stellen berechnen, an denen die Steigung des Graphen gleich -1 ist.
Also die Ableitung bilden (das ist ja die Steigung des Graphen an der Stelle x), und die Ableitung dann gleich -1 setzen (das ergibt dann eine quad. Gleichung).
Das bekommst du sicher hin=)
>
> Irgend wie blockiert bei mir gerade alles.....sitze schon
> seit heute morgen davor. Hab gleich meine 8 Stunden durch.
> Ich hab auch schon massig gerechnet bloß unser lehrer hat
> gesagt, rechnet noch diese Aufgaben dann könnt ihr es.
Dann mach doch erst einmal eine Pause und setzte dich in einer Stunde nochmal dran.
Zu der letzten Aufgabe: Setze mal für x in die Funktion f(x) a+h und einmal a ein. Dann lässt du h gegen Null gehen, musst dafür noch das h aus dem Nenner rausbringen, und dann gucken, was überbleibt.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 So 07.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
okey, werde alle deine sachen beherzigen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 07.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
ich bekomme es einfach nicht hin, ich fasse es nochmal zusammen:
2)
[mm] f(x)=2x^3-3x^2-13x+7
[/mm]
[mm] f`(x)=6x^2-6x-13
[/mm]
[mm] -1=6x^2-6x-13
[/mm]
3)
f(x)= /bruch [mm] {1}{x^3}
[/mm]
f`(a)=?!
$ [mm] m_s=\bruch{f(a+h)-f(a)}{h} [/mm] $
mmh....ich komme einfach nicht weiter. wie war das nochmal x = a?? und was war mit h?! vernachlässigen??
Wie kann ich das mit einem Bruch machen, hab bis jetzt nur normale Gleichungen gelöst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 So 07.10.2007 | | Autor: | Kroni |
> ich bekomme es einfach nicht hin, ich fasse es nochmal
> zusammen:
>
> 2)
> [mm]f(x)=2x^3-3x^2-13x+7[/mm]
> [mm]f'(x)=6x^2-6x-13[/mm]
> [mm]-1=6x^2-6x-13[/mm]
Hi,
das ist bis hierhin richtig. Jetzt die -1 auf die andere Seite bringen, und dann via pq Formel oder mit Hilfe der quad. Ergänzung lösen.
>
> 3)
> f(x)= /bruch [mm]{1}{x^3}[/mm]
> f'(a)=?!
>
> [mm]m_s=\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}[/mm]
> mmh....ich komme einfach nicht weiter. wie war das nochmal
> x = a?? und was war mit h?! vernachlässigen??
Nimm dir f(x) her, also [mm] $f(x)=1/x^3$
[/mm]
Dann setzt du für x einmal a+h ein:
[mm] $f(a+h)=1/(a+h)^3$ [/mm] und [mm] $f(a)=1/a^3$
[/mm]
Jetzt einsetezen, das h aus dem Nenner rausbekommen, und dann h gegen Null gehen lassen. Du musst also versuchen, den Term, der daraus entsteht irgendwie umzuformen, so dass das h aus dem Nenner wegkommt. Denn über einen Bruch mit 1/h und h gegen Null kannst du nicht viel sagen.
Wenn du das dann umgeformt hast (mein CAS sagt mir für den Bruch folgendes:
[mm] $-\frac{3a^2+3ah+h^2}{a^3(a^3+3a^2h+3ah^2+h^3)}$ [/mm] )
Dann kannst du h gegen Null gehen lassen und siehst, was überbleibt.
LG
Kroni
> Wie kann ich das mit einem Bruch machen, hab bis jetzt nur
> normale Gleichungen gelöst.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 So 07.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
zu 2)
Kann es sein das bei der pq Formel immer 3 rauskommt??
[mm] 6x^2-6x-13=-1 [/mm] /+1
[mm] 6x^2-6x-14
[/mm]
x1,2 = 6/2 +- /Wurzel [mm] 6^2/4-14
[/mm]
er gibt doch in jeder Situation 3
Ich melde mich morgen wieder.....das wird heute nichts mehr.
Danke schon mal im Vorraus.
Alexander
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Hallo,
NEIN, warum sollte immer 3 raus kommen???
Du möchtest doch die Stellen, an denen der Anstieg -1 ist, daraus entstand die quadratische Gleichung:
[mm] 6x^{2}-6x-13=-1 [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung +1
[mm] 6x^{2}-6x-12=0 [/mm] die gesamte Gleichung durch 6
[mm] x^{2}-x-2=0
[/mm]
somit p=-1 und q=-2
Beachte: die p-q-Formel kannst du nur benutzen, ist der Faktor vor [mm] x^{2} [/mm] eine 1 !!!!
deine Stellen sind [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=2, [/mm] du schaffst das,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 07.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
Danke. Ich habe wohl heute bissel zu viel gemacht. ca 30 Aufgaben, ob leicht oder schwer. Nun holen mich die letzten 2 ein. Ist schon lustig. Aber jetzt verstehe ich alles.
Danke für die ermutigung :-D
zu 2) Hat vollkommen vergessen das man es durch 6 teilen kann. :-D
Sind die Punkte
(-1|15) ????
(2|-15) ????
müssten aber richtig sein.
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Wasn CAS ??
_________
zu 3) kommt morgen die Lösung
muss mich jetzt mal ausruhen, aber danke nochmal an alle. Danke für die Hilfe
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Hi,
ein CAS ist ein sogenanntes Computer-Algebra-System, heißt ein Programm, was Gleichungen löst, Ableitungen bestimmt usw.
Ein Beispiel dafür ist Derive von Texas Instruments oder der TI-Voyage 200 ein TR mit integriertem CAS.
Ob so etwas nützlich ist oder nicht, darüber lässt sich gut und gerne (und vor allem lange) streiten, denn auf der einen Seite spart man Zeit, auf der anderen Seite verlernt man das Rechnen auf dem Papier.
Lg,
exeqter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
jetzt merke ich auch warum ich mich damit so schwer tue obwohl ich es immer konnte. Ich habs bis jetzt nie mit einem Bruch gemacht, immer mit ner ganz normalen Gleichung. mmh. Kann mir mal jemand das vorgehen bei einem Bruch erläutern??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Hier mal die ersten Schritte:
$$f'(a) \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{(a+h)^3}-\bruch{1}{a^3}}{h}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{a^3}{(a+h)^3*a^3}-\bruch{(a+h)^3}{a^3*(a+h)^3}}{h}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a^3-(a+h)^3}{h*(a+h)^3*a^3}$$
[/mm]
Nun mal die Klammern ausmultiplizieren und zusammenfassen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
gut, hab nochmal ne Frage zu deinen geschriebenen
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{(a+h)^3}-\bruch{1}{a^3}}{h} [/mm] $
Was hast du in diesem Schritt gemacht?!
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{a^3}{(a+h)^3\cdot{}a^3}-\bruch{(a+h)^3}{a^3\cdot{}(a+h)^3}}{h} [/mm] $
und hier?!
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a^3-(a+h)^3}{h\cdot{}(a+h)^3\cdot{}a^3} [/mm] $
und hier auch nochmal zur Sicherheit. Vielleicht einfach nur kurz sagen was gemacht wurde. Weil ich bin mir da jetzt bei Brüchen doch noch sehr unsicher.
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Jetzt meines
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a^3-(a+h)^3}{h\cdot{}(a+h)^3\cdot{}a^3} [/mm] $
wird zu
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a^3-a-h^3}{h\cdot{}a^3+h\cdot{}h^3\cdot{}a^3}$
[/mm]
kann ich nun einfach unten und oben [mm] a^3 [/mm] und [mm] h^3 [/mm] wegstreichen sodass
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a}{h*a^3+h}
[/mm]
bleibt??
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Hallo, deine Funktion lautet ja [mm] f(x)=\bruch{1}{x^{3}}
[/mm]
1. Schritt: im Zähler steht f(a+h) du setzt in deine Funktion [mm] \bruch{1}{x^{3}} [/mm] für x jetzt a+h ein, bzw a
2. Schritt: du brauchst den Hauptnenner: [mm] (a+h)^{3}*a^{3}, [/mm] also erweiterst du mit [mm] a^{3} [/mm] bzw. [mm] (a+h)^{3}
[/mm]
3. Schritt: schreibe jetzt alles auf einen Bruchstrich, du hast ja den Hauptnenner, du weißt, zwei Brüche werden dividiert, indem du mit dem Reziproken von h, also [mm] \bruch{1}{h} [/mm] multiplizierst [mm] \bruch{a^{3}-(a+h)^{3}}{(a+h)^{3}*a^{3}}*\bruch{1}{h}
[/mm]
jetzt hast du die Klammer [mm] (a+h)^{3} [/mm] falsch aufgelöst [mm] (a+h)^{3}=(a+h)*(a+h)*(a+h) [/mm] multipliziere Schritt für Schritt aus oder benutze [mm] (a+h)^{3}=a^{3}+3a^{2}h+3ah^{2}+h^{3} [/mm] steht in jedem Tafelwerk, du hast bestimmt schon vom Pascalschen Dreieck gehört,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
bin ich dämlich xD stimmt ja. Sorry wegen der doofen Frage und auch wegen meiner bescheuerten umformung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, schön, dass du es erkannt hast, ist eigentlich nicht schwer, du kommst sicherlich nach zusammenfassen und kürzen auf [mm] -\bruch{3}{a^{4}} [/mm] für [mm] h\to0, [/mm] Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
Okey dann müsste das hier kommen
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a^3-a^3+3a^2h+3ah^2+h}{h\cdot{}a^3+3a^2h+3ah^2\cdot{}a^3}$
[/mm]
Ich hätte jetzt ganz stumpf gesagt da kommt das raus:
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{h\cdot{}a^3\cdot{}a^3}$ [/mm] raus,
allerdings steht im Buch, [mm] u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)
[/mm]
also müsste es ja so aussehen:
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(a-a)(a^2+a^2+a^2)+3a^2h+3ah^2+h}{h\cdot{}a^3+3a^2h+3ah^2\cdot{}a^3}$
[/mm]
oder is da ein Denkfehler???
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Hallo, du hast einen krassen Vorzeichenfehler im Zähler gemacht gemacht: [mm] a^{3} [/mm] - [mm] (a+h)^{3} [/mm] somit bekommst du im Zähler [mm] a^{3}-a^{3}-3a^{2}h-3ah^{2}-h^{3}, [/mm] steht vor der Klammer "minus", so kehren sich in der Klammer ALLE Vorzeichen um!
Kontrolliere auch noch einmal deinen Nenner!
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a^3-a^3-3a^2h-3ah^2+h}{h\cdot{}a^3+3a^2h+3ah^2\cdot{}a^3} [/mm] $
ka was noch falsch sein soll. Ich weiß nicht mehr weiter. "Kopf in Sand steck".
Ich belasse es dabei. Bin zu blöd für das. Naja,werde es ja morgen sehen. Ich rechne jetzt noch die restlichen Aufgaben die ich kann.
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Hallo, du wirst doch wohl nicht den Kopf in den Sand stecken, das knirschelt doch dann zwischen den Zähnen.
noch mal langsam:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{-3a^{2}h-3ah^{2}-h^{3}}{(a^{3}+3a^{2}h+3ah^{2}+h^{3})*a^{3}h}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{-3a^{2}h-3ah^{2}-h^{3}}{a^{6}h+3a^{5}h^{2}+3a^{4}h^{3}+a^{3}h^{4}}
[/mm]
klammere jetzt im Zähler und Nenner h aus, dann kannst du h kürzan
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{-3a^{2}-3ah-h^{2}}{a^{6}+3a^{5}h+3a^{4}h^{2}+a^{3}h^{3}}
[/mm]
für h gegen Null
bleibt somit stehen [mm] \bruch{-3a^{2}}{a^{6}}=-\bruch{3}{a^{4}} [/mm] jetzt schaffst du es, nicht verzagen,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
dann halt ertränken :-D, naja ich lasse es mal. Muss ja noch die Arbeit mitschreiben  . Okey, ich glaube jetzt habe ich es endlich verstanden. Werde das jetzt nochmal auf meiner Platte ablegen und hoffen das ich wirklich durchgeblickt habe. Außerdem Aus und einklammern nochmal durcharbeiten, da bin ich noch zu durcheinander und unflexibel.
Dafür kann ich andere Sachen besser.....Codes knacken.
GDQNH DQ DOOH IXHU HXUH KLOIH
(Kleiner Tipp Cäsar-Code)
mfg Alexander
Lösung in der nächsten Mitteilung :-D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
DANKE AN ALLE FUER EURE HILFE
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