Fragen zur Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Bemerkung: Der Limes von stetigen Funktionen ist nicht immer stetig. |
| Aufgabe 2 | (Zwischenwertsatz): Eine stetige Funktion f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] nimmt jeden Wert w zwischen f(a) und f(b) an mindestens einer Stelle c [mm] \in [/mm] [a,b] an: f(c) = w.
Beweis:
Wir betrachten ohne Beschränkung der Allgemeinheit den Fall f(a) [mm] \le [/mm] f(b) und f(a) [mm] \le [/mm] w [mm] \le [/mm] f(b)
Wir setzen A := [mm] \{x \in [a,b] : f(x) \le w\}
[/mm]
Die Menge A ist nichtleer, weil a [mm] \in [/mm] A, und nach oben beschränkt, weil b eine obere Schranke von A ist. Sei c := sup A [mm] \in [/mm] [a,b].
Um zu beweisen, dass f(c) = w, schließen wir die Fälle f(c) > w und f(c) < w aus.
Aus f(c) < w folgern wir: c < b und es gibt ein [mm] \delta [/mm] > 0 derart, dass f(x) < w für x [mm] \in [/mm] (c - [mm] \delta, [/mm] c + [mm] \delta) \cap [/mm] [a,b]. Insbesondere enthält A Punkte x > c: Widerspruch.
Aus f(c) > w folgern wir: c > a und es gibt ein [mm] \delta [/mm] > 0 derart, dass f(x) > w für x [mm] \in [/mm] (c - [mm] \delta, [/mm] c + [mm] \delta) \cap [/mm] [a,b]. Insbesondere x [mm] \not\in [/mm] A für alle x [mm] \in [/mm] (c - [mm] \delta, [/mm] c] [mm] \cap [/mm] [a,b]: Widerspruch.
[mm] \Box [/mm] |
| Aufgabe 3 | | Gegeben ist das Polynom P(x) = [mm] x^n [/mm] - a , wobei a [mm] \ge [/mm] 0 |
| Aufgabe 4 | Folgerung 20.3: Jede reelle stetige Funktion bildet Intervalle auf Intervalle ab.
Beweis:
Sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall. Dann ist f(I) ein Intervall: aus [mm] y_1 [/mm] = [mm] f(x_1) \in [/mm] f(I) und [mm] y_2 [/mm] = [mm] f(x_2) \in [/mm] f(I) folgt, dass jeder Wert zwischen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] an mindestens einer Stelle zwischen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] angenommen wird. |
Hallo zusammen,
ich habe ein paar Verständnisfragen zur Stetigkeit und Fragen zu Beweisen, die wir in der Vorlesung hatten.
Aufgabe 1: Was genau ist damit mathematisch gemeint?
Ich stelle mir das so vor, dass ich eine komplexe Folge [mm] (a_n) [/mm] habe, die stetig ist, und konvergiert, also [mm] a_n \to [/mm] L. Aber wie geht es dann weiter?
Aufgabe 2: Warum ist c := sup A [mm] \in [/mm] [a,b] ?
,,Aus f(c) < w folgern wir: c < b und es gibt ein [mm] \delta [/mm] > 0 derart, dass f(x) < w für x [mm] \in [/mm] (c - [mm] \delta, [/mm] c + [mm] \delta) \cap [/mm] [a,b]. Insbesondere enthält A Punkte x > c: Widerspruch."
Wieso kann ich folgern, dass f(x) < w ist? Ich vermute, dass das was mit der Stetigkeit von f zu tun hat.
Aufgabe 3: Liege ich damit richtig, dass das Polynom P auf ganz [mm] \IC [/mm] stetig ist, also insbesondere auch auf [0,a+1] ?
Aufgabe 4:
Frage 1: Ich nehme an, dass man für den Beweis den Zwischenwertsatz verwendet hat. Bei Zwischenwertsatz war jedoch eine Funktion f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] gegeben, also insbesondere ist [a,b] ein abgeschlossenes Intervall. Für die Folgerung soll I ein Intervall sein, also irgendein beliebiges, und somit könnte ich für I ein offenes Intervall (a,b) nehmen. Kann ich jetzt so argumentieren, dass (a,b) [mm] \subset [/mm] [a,b] und ich deswegen den Zwischenwertsatz auch auf offene Intervalle anwenden darf?
Frage 2: I = [mm] (-\infty, +\infty) [/mm] = [mm] \IR [/mm] ist auch ein Intervall. Kann ich hier auch den Zwischenwertsatz anwenden, wenn f: [mm] (-\infty, +\infty) \to \IR [/mm] stetig ist, und wenn ja, warum?
Frage 3: Aus dem Beweis wird mir nicht klar, warum f(I) ein Intervall sein soll. Wegen dem Zwischenwertsatz weiß ich, dass alle Werte y zwischen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] angenommen werden für mindestens eine Stelle zwischen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2, [/mm] also [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] I: f(x) = y [mm] \in [y_1, y_2]
[/mm]
Aber es ist doch möglich, dass es ein x' gibt, so dass f(x') [mm] \not\in [y_1, y_2].
[/mm]
Wo ist mein Denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Blackburn,
> Bemerkung: Der Limes von stetigen Funktionen ist nicht
> immer stetig.
> ich habe ein paar Verständnisfragen zur Stetigkeit und
> Fragen zu Beweisen, die wir in der Vorlesung hatten.
>
> Aufgabe 1: Was genau ist damit mathematisch gemeint?
> Ich stelle mir das so vor, dass ich eine komplexe Folge
> [mm](a_n)[/mm] habe, die stetig ist, und konvergiert, also [mm]a_n \to[/mm]
> L. Aber wie geht es dann weiter?
Gar nicht.
Hier geht es um Funktionenfolgen, nicht um Zahlenfolgen! Beispiel: [mm] $f_n(x)=x^n\,.$ [/mm] Die Funktionenfolgen [mm] $(f_n)$ [/mm] konvergiert auf dem Intervall [0; 1] gegen eine Funktion, die nicht stetig ist.
Gruß,
Wolfgang
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Okay, aber das ist für mich schwer vorstellbar, weil wir Funktionenfolgen noch gar nicht hatten. Das war auch eine Bemerkung, die er in der Vorlesung angeschrieben hatte, aber im Skript selber steht sie nicht drin.
Wie zeige ich denn, dass [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] x^n [/mm] auf einem Intervall [0;1] gegen eine Funktion konvergiert?
Grüsse
Alexander
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Hallo Alexander,
> Okay, aber das ist für mich schwer vorstellbar, weil wir
> Funktionenfolgen noch gar nicht hatten. Das war auch eine
> Bemerkung, die er in der Vorlesung angeschrieben hatte,
> aber im Skript selber steht sie nicht drin.
> Wie zeige ich denn, dass [mm]f_n(x)[/mm] = [mm]x^n[/mm] auf einem Intervall
> [0;1] gegen eine Funktion konvergiert?
Unterscheide die Fälle $x<1$ und $x=1$
Was macht denn [mm] $x^n$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$, [/mm] wenn [mm] $x\in[0,1)$ [/mm] - also ohne die 1?
Das konvergiert doch offensichtlich gegen $0$ (die Nullfunktion) für jedes solche x.
Was ist für $x=1$?
Dann ist [mm] $x^n=...$ [/mm] für alle $n$, also konvergiert [mm] $x^n$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen?
Die Grenzfunktion ist also an der Stelle 1 nicht stetig, sondern macht da einen Sprung.
Zwischen 0 und 1 (ausgeschlossen) ist sie konstant 0, bei $x=1$ ist sie 1 ...
>
> Grüsse
> Alexander
Gruß
schachuzipus
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> Was ist für [mm]x=1[/mm]?
>
> Dann ist [mm]x^n=...[/mm] für alle [mm]n[/mm], also konvergiert [mm]x^n[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm] gegen?
[mm] x^n [/mm] = 1 für alle n und sie konvergiert gegen 1.
> Die Grenzfunktion ist also an der Stelle 1 nicht stetig,
> sondern macht da einen Sprung.
>
> Zwischen 0 und 1 (ausgeschlossen) ist sie konstant 0, bei
> [mm]x=1[/mm] ist sie 1 ...
Also wäre die Grenzfunktion [mm] f(x)=\begin{cases} 0, \mbox{für} x \in [0;1) \\ 1, \mbox{für} x = 1\end{cases} [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> > Was ist für [mm]x=1[/mm]?
> >
> > Dann ist [mm]x^n=...[/mm] für alle [mm]n[/mm], also konvergiert [mm]x^n[/mm] für
> > [mm]n\to\infty[/mm] gegen?
>
> [mm]x^n[/mm] = 1 für alle n und sie konvergiert gegen 1.
>
> > Die Grenzfunktion ist also an der Stelle 1 nicht stetig,
> > sondern macht da einen Sprung.
> >
> > Zwischen 0 und 1 (ausgeschlossen) ist sie konstant 0, bei
> > [mm]x=1[/mm] ist sie 1 ...
>
> Also wäre die Grenzfunktion [mm]f(x)=\begin{cases} 0, \mbox{für} x \in [0;1) \\
1, \mbox{für} x = 1\end{cases}[/mm]
So ist es!
Gruß
schachuzipus
> ?
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Ok, dank dir.
Frohes neues Jahr!
Grüsse
Alexander
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> (Zwischenwertsatz): Eine stetige Funktion f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm]
> nimmt jeden Wert w zwischen f(a) und f(b) an mindestens
> einer Stelle c [mm]\in[/mm] [a,b] an: f(c) = w.
>
> Beweis:
>
> Wir betrachten ohne Beschränkung der Allgemeinheit den
> Fall f(a) [mm]\le[/mm] f(b) und f(a) [mm]\le[/mm] w [mm]\le[/mm] f(b)
> Wir setzen A := [mm]\{x \in [a,b] : f(x) \le w\}[/mm]
>
> Die Menge A ist nichtleer, weil a [mm]\in[/mm] A, und nach oben
> beschränkt, weil b eine obere Schranke von A ist. Sei c :=
> sup A [mm]\in[/mm] [a,b].
> Um zu beweisen, dass f(c) = w, schließen wir die Fälle
> f(c) > w und f(c) < w aus.
> Aus f(c) < w folgern wir: c < b und es gibt ein [mm]\delta[/mm] > 0
> derart, dass f(x) < w für x [mm]\in[/mm] (c - [mm]\delta,[/mm] c + [mm]\delta) \cap[/mm]
> [a,b]. Insbesondere enthält A Punkte x > c: Widerspruch.
> Aus f(c) > w folgern wir: c > a und es gibt ein [mm]\delta[/mm] > 0
> derart, dass f(x) > w für x [mm]\in[/mm] (c - [mm]\delta,[/mm] c + [mm]\delta) \cap[/mm]
> [a,b]. Insbesondere x [mm]\not\in[/mm] A für alle x [mm]\in[/mm] (c -
> [mm]\delta,[/mm] c] [mm]\cap[/mm] [a,b]: Widerspruch.
>
> Aufgabe 2: Warum ist c := sup A [mm]\in[/mm] [a,b] ?
[mm] $a\le [/mm] c$, weil [mm] $a\in [/mm] A$ und $c$ obere Schranke von A ist.
[mm] $c\le [/mm] b$, weil $b$ eine obere Schranke von A ist und c die kleinste obere Schranke ist.
>
> ,,Aus f(c) < w folgern wir: c < b und es gibt ein [mm]\delta[/mm] >
> 0 derart, dass f(x) < w für x [mm]\in[/mm] (c - [mm]\delta,[/mm] c + [mm]\delta) \cap[/mm]
> [a,b]. Insbesondere enthält A Punkte x > c: Widerspruch."
>
> Wieso kann ich folgern, dass f(x) < w ist? Ich vermute,
> dass das was mit der Stetigkeit von f zu tun hat.
Richtig vermutet! Wegen $f(c) < w$ gibt es ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] mit [mm] $f(c)+\epsilon [/mm] < w$.
Weil $c<b$ ist und $f$ stetig ist, gibt es ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so, daß
[mm] $c+\delta [/mm] < b$ und $f(x) < f(c) + [mm] \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] [c; [mm] c+\delta)\,.$
[/mm]
>
> Aufgabe 3: Liege ich damit richtig, dass das Polynom P auf
> ganz [mm]\IC[/mm] stetig ist, also insbesondere auch auf [0,a+1] ?
Ja!
>
> Aufgabe 4:
>
> Frage 1: Ich nehme an, dass man für den Beweis den
> Zwischenwertsatz verwendet hat. Bei Zwischenwertsatz war
> jedoch eine Funktion f: [a,b] [mm]\to \IR[/mm] gegeben, also
> insbesondere ist [a,b] ein abgeschlossenes Intervall. Für
> die Folgerung soll I ein Intervall sein, also irgendein
> beliebiges, und somit könnte ich für I ein offenes
> Intervall (a,b) nehmen. Kann ich jetzt so argumentieren,
> dass (a,b) [mm]\subset[/mm] [a,b] und ich deswegen den
> Zwischenwertsatz auch auf offene Intervalle anwenden darf?
Nein. Nimm als Gegenbeispiel $f(x)=1/x$ auf $(0; 1)$. Dann ist $f$ nicht auf $[0;1]$ stetig fortsetzbar.
Der Zusammenhang zwischen Intervallen und Zwischenwertsatz wird durch folgende
Charakterisierung von Intervallen klar:
Eine Teilmenge M reeller Zahlen ist genau dann ein Intervall, wenn mit je zwei Zahlen $a, [mm] b\in [/mm] M$ auch die Zahlen zwischen $a$ und $b$ in M liegen.
>
> Frage 2: I = [mm](-\infty, +\infty)[/mm] = [mm]\IR[/mm] ist auch ein
> Intervall. Kann ich hier auch den Zwischenwertsatz
> anwenden, wenn f: [mm](-\infty, +\infty) \to \IR[/mm] stetig ist,
> und wenn ja, warum?
Wegen meiner Charakterisierung von Intervallen.
>
> Frage 3: Aus dem Beweis wird mir nicht klar, warum f(I) ein
> Intervall sein soll. Wegen dem Zwischenwertsatz weiß ich,
> dass alle Werte y zwischen [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] angenommen werden
> für mindestens eine Stelle zwischen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2,[/mm] also
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] I: f(x) = y [mm]\in [y_1, y_2][/mm]
> Aber es ist doch
> möglich, dass es ein x' gibt, so dass f(x') [mm]\not\in [y_1, y_2].[/mm]
>
> Wo ist mein Denkfehler?
So ein x' mag es schon geben. Aber entscheidend ist eben die Charakterisierung, nach der f(I) ein Intervall ist.
Gruß,
Wolfgang
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> > Aufgabe 2: Warum ist c := sup A [mm]\in[/mm] [a,b] ?
>
> [mm]a\le c[/mm], weil [mm]a\in A[/mm] und [mm]c[/mm] obere Schranke von A ist.
>
> [mm]c\le b[/mm], weil [mm]b[/mm] eine obere Schranke von A ist und c die
> kleinste obere Schranke ist.
Ja stimmt. Ich hatte die ganze Zeit einen krassen Denkfehler drin...
> Richtig vermutet! Wegen [mm]f(c) < w[/mm] gibt es ein [mm]\epsilon>0[/mm] mit
> [mm]f(c)+\epsilon < w[/mm].
> Weil [mm]c
> ein [mm]\delta > 0[/mm] so, daß
> [mm]c+\delta < b[/mm] und [mm]f(x) < f(c) + \epsilon[/mm] für alle [mm]x\in [c; c+\delta)\,.[/mm]
Benutzt die hier die Aussage: (a < b) [mm] \Rightarrow (\exists \varepsilon [/mm] > 0: a + [mm] \varepsilon [/mm] < b) ?
Ich habe versucht das zu beweisen, aber ich komme nicht drauf.
> Nein. Nimm als Gegenbeispiel [mm]f(x)=1/x[/mm] auf [mm](0; 1)[/mm]. Dann ist
> [mm]f[/mm] nicht auf [mm][0;1][/mm] stetig fortsetzbar.
f(x) = 1/x kann ich ja auch als rationales Polynom auffassen. Dieses ist stetig in [mm] \IC [/mm] ohne die Polstellen, also auch stetig auf (0;1). Und es ist nicht stetig auf [0;1], weil es in der Stelle 0 nicht definiert ist?
> Der Zusammenhang zwischen Intervallen und Zwischenwertsatz
> wird durch folgende
> Charakterisierung von Intervallen klar:
>
> Eine Teilmenge M reeller Zahlen ist genau dann ein
> Intervall, wenn mit je zwei Zahlen [mm]a, b\in M[/mm] auch die
> Zahlen zwischen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] in M liegen.
Ich habe mir nochmal die Definition von einem Intervall I [mm] \subset \IR [/mm] angeguckt. Wenn ich das richtig verstanden habe, müssen also alle Zahlen zwischen inf I und sup I in I enthalten sein, wobei inf I und sup I selber nicht zwingend in I sein müssen?
Dennoch will der Funke noch nicht so recht überspringen, dass ich den Zwischenwertsatz nun auch für eine stetige Funktion f: I [mm] \to \IR [/mm] anwenden darf...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> > > Aufgabe 2: Warum ist c := sup A [mm]\in[/mm] [a,b] ?
> >
> > [mm]a\le c[/mm], weil [mm]a\in A[/mm] und [mm]c[/mm] obere Schranke von A ist.
> >
> > [mm]c\le b[/mm], weil [mm]b[/mm] eine obere Schranke von A ist und c die
> > kleinste obere Schranke ist.
>
> Ja stimmt. Ich hatte die ganze Zeit einen krassen
> Denkfehler drin...
>
> > Richtig vermutet! Wegen [mm]f(c) < w[/mm] gibt es ein [mm]\epsilon>0[/mm] mit
> > [mm]f(c)+\epsilon < w[/mm].
> > Weil [mm]c
> gibt es
> > ein [mm]\delta > 0[/mm] so, daß
> > [mm]c+\delta < b[/mm] und [mm]f(x) < f(c) + \epsilon[/mm] für alle [mm]x\in [c; c+\delta)\,.[/mm]
>
> Benutzt die hier die Aussage: (a < b) [mm]\Rightarrow (\exists \varepsilon[/mm]
> > 0: a + [mm]\varepsilon[/mm] < b) ?
Ja.
>
> Ich habe versucht das zu beweisen, aber ich komme nicht
> drauf.
Nanu. Setze [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] (b-a)/2\,.$
[/mm]
>
> > Nein. Nimm als Gegenbeispiel [mm]f(x)=1/x[/mm] auf [mm](0; 1)[/mm]. Dann ist
> > [mm]f[/mm] nicht auf [mm][0;1][/mm] stetig fortsetzbar.
>
> f(x) = 1/x kann ich ja auch als rationales Polynom
> auffassen. Dieses ist stetig in [mm]\IC[/mm] ohne die Polstellen,
> also auch stetig auf (0;1). Und es ist nicht stetig auf
> [0;1], weil es in der Stelle 0 nicht definiert ist?
Nicht nur nicht definiert, sondern sogar nicht stetig fortsetzbar. Wie immer ich auch f(0) festsetze, es kommt nie eine Funktion heraus, die auf [0,1] stetig ist.
Das, was Du "rationales Polynom" nennst, heißt sonst "rationale Funktion".
>
> > Der Zusammenhang zwischen Intervallen und Zwischenwertsatz
> > wird durch folgende
> > Charakterisierung von Intervallen klar:
> >
> > Eine Teilmenge M reeller Zahlen ist genau dann ein
> > Intervall, wenn mit je zwei Zahlen [mm]a, b\in M[/mm] auch die
> > Zahlen zwischen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] in M liegen.
>
> Ich habe mir nochmal die Definition von einem Intervall I
> [mm]\subset \IR[/mm] angeguckt. Wenn ich das richtig verstanden
> habe, müssen also alle Zahlen zwischen inf I und sup I in
> I enthalten sein, wobei inf I und sup I selber nicht
> zwingend in I sein müssen?
> Dennoch will der Funke noch nicht so recht überspringen,
> dass ich den Zwischenwertsatz nun auch für eine stetige
> Funktion f: I [mm]\to \IR[/mm] anwenden darf...
Wegen der Charakterisierung reicht es zu zeigen, daß mit je zwei Punkten $u, v [mm] \in [/mm] f(I)$ auch alle Punkte zwischen u und v in f(I) liegen. Nun gibt es $a, b [mm] \in [/mm] I$ mit f(a) = u und f(b)=v. Sei w ein Punkt zwischen u und v. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein c zwischen a und b so, daß $f(c)= w$ ist. Da I ein Intervall ist, liegt c in I. Und damit liegt w in f(I), also ist f(I) ebenfalls ein Intervall.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
erstmal ein frohes neues Jahr.
Habe alles verstanden, was du geschrieben hast.
Danke!
Grüsse
Alexander
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