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| Aufgabe | Man wähle in der Zahlenebene [mm]\IR^2[/mm] einen fest Punkt [mm]x_0[/mm] ("Paris") und definiere den Abstand [mm]d(x,y)[/mm] zwischen zwei Punkten [mm]x,y \in \IR^2[/mm] folgendermaßen:
Liegen x und y auf einer Geraden, welche durch den Punkt [mm]x_0[/mm] gehen, dann definieren wir [mm]d(x,y)[/mm] als den euklidischen Abstand zwischen x und y.
Andernfalls sei [mm]d(x,y)[/mm] die Summe der euklidischen Abstände zwischen [mm]x, x_0[/mm] und [mm]y, x_0[/mm].
Zeigen Sie, dass hierdurch eine Metrik auf [mm]\IR^2[/mm] erklärt wird. |
Hallo zusammen,
zunächst einmal versuche ich, die Definition etwas kompakter darzustellen:
[mm]d(x,y)=\begin{cases} \left\Vert x-y \right\Vert, & \textrm{falls } x,y,x_0 \textrm{ auf derselben Geraden liegen} \\ \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert x_0-y \right\Vert, & \textrm{sonst} \end{cases}[/mm]
Allerdings stellt sich mir hier direkt die Frage, was [mm]y_0[/mm] für einen Punkt darstellen soll. Eigentlich soll hier (im "sonst"-Fall) doch gemeint sein, dass der Abstand der Punkte [mm]x,y[/mm] die Summe ihrer Abstand von [mm]x_0[/mm] ist, oder?
Ist das also nur ein Tippfehler oder ein Verständnisfehler meinerseits?
Ich gehe erst einmal von einem Fehler des Aufgabenstellers aus und tue für meine folgenden Beweise so, als wenn da [mm]x_0[/mm] stünde.
(1) zu zeigen: [mm]d(x,y) = 0[/mm] wenn [mm]x=y[/mm].
Offensichtlich gilt: [mm]d(x,y) = d(x,x) = \left\Vert x-x \right\Vert = 0[/mm]
(2) zu zeigen: [mm]d(x,y) = d(y,x)[/mm] [mm]\forall x,y \in \IR^2[/mm]
Fall 1) alle Punkte [mm]x,y,x_0[/mm] befinden sich auf derselben Geraden:
[mm]d(x,y) = \left\Vert x-y \right\Vert = \left\Vert y-x \right\Vert = d(y,x)[/mm]
Fall 2) sonst:
[mm]d(x,y) = \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert y-x_0 \right\Vert = \left\Vert y-x_0 \right\Vert + \left\Vert x-x_0 \right\Vert = d(y,x)[/mm]
(3) zu zeigen: [mm]d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)[/mm] [mm]%255Cforall%2520x%252Cy%252Cz%2520%255Cin%2520%255CIR%255E2[/mm]
Fall 1) alle Punkte [mm]x, z, x_0[/mm] befinden sich auf derselben Geraden:
Fall 1.1) [mm]y[/mm] befindet sich auch auf dieser Geraden:
[mm]d[/mm] entspricht nun dem euklidischen Abstand
[mm]d(x,z) = \left\Vert x-z \right\Vert \leq \left\Vert x-y \right\Vert + \left\Vert y-z \right\Vert = d(x,y) + d(y,z)[/mm]
Fall 1.2) [mm]y[/mm] befindet sich nicht auf dieser Geraden:
[mm]d(x,z) = \left\Vert x-z \right\Vert \leq \left\Vert x-y \right\Vert + \left\Vert y-z \right\Vert \leq \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert x_0-y \right\Vert + \left\Vert y-x_0 \right\Vert + \left\Vert x_0-z \right\Vert = d(x,y) + d(y,z)[/mm]
Fall 2) [mm]x[/mm] liegt nicht mit [mm]z[/mm] und [mm]x_0[/mm] auf derselben Geraden:
Fall 2.1) [mm]y[/mm] befindet sich auch nicht auf dieser Geraden:
[mm]d(x,z) = \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert x_0-z \right\Vert = \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert y-x_0+x_0-y \right\Vert + \left\Vert x_0-z \right\Vert \leq \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert x_0-y \right\Vert + \left\Vert y-x_0 \right\Vert + \left\Vert x_0-z \right\Vert = d(x,y) + d(y,z)[/mm]
Fall 2.2) [mm]y[/mm] befindet sich mit [mm]z[/mm] und [mm]x_0[/mm] auf dieser Geraden:
[mm]d(x,z) = \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert x_0-z \right\Vert \leq \left\Vert x-y \right\Vert + \left\Vert y-x_0 \right\Vert + \left\Vert x_0-z \right\Vert = d(x,y) + d(y,z)[/mm]
Ist das soweit richtig?
Viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Sa 11.05.2013 | | Autor: | chrisno |
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> [mm]d(x,y)=\begin{cases} \left\Vert x-y \right\Vert, & \textrm{falls } x,y,x_0 \textrm{ auf derselben Geraden liegen} \\ \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert y-y_0 \right\Vert, & \textrm{sonst} \end{cases}[/mm]
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> Allerdings stellt sich mir hier direkt die Frage,
> was [mm]y_0[/mm] für einen Punkt darstellen soll. Eigentlich soll
> hier (im "sonst"-Fall) doch gemeint sein, dass der Abstand
> der Punkte [mm]x,y[/mm] die Summe ihrer Abstand von [mm]x_0[/mm] ist,
> oder?
>
> Ist das also nur ein Tippfehler oder ein Verständnisfehler
> meinerseits?
> Ich gehe erst einmal von einem Fehler des Aufgabenstellers
> aus und tue für meine folgenden Beweise so, als wenn
> da [mm]x_0[/mm] stünde.
Genau so ist es. Wenn man von A nach B will, dann muss man über Paris fahren, es sei denn, A und B liegen auf der gleichen Strecke nach Paris.
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> (1) zu zeigen: [mm]d(x,y) = 0[/mm] wenn [mm]x=y[/mm].
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> Offensichtlich gilt: [mm]d(x,y) = d(x,x) = \left\Vert x-x \right\Vert = 0[/mm]
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> (2) zu zeigen: [mm]d(x,y) = d(y,x)[/mm] [mm]\forall x,y \in \IR^2[/mm]
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> Fall 1) alle Punkte [mm]x,y,x_0[/mm] befinden sich auf derselben
> Geraden:
> [mm]d(x,y) = \left\Vert x-y \right\Vert = \left\Vert y-x \right\Vert = d(y,x)[/mm]
>
> Fall 2) sonst:
> [mm]d(x,y) = \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert y-x_0 \right\Vert = \left\Vert y-x_0 \right\Vert + \left\Vert x-x_0 \right\Vert = d(y,x)[/mm]
>
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> (3) zu zeigen: [mm]d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)[/mm] [mm]%255Cforall%2520x%252Cy%252Cz%2520%255Cin%2520%255CIR%255E2[/mm]
>
> Fall 1) alle Punkte [mm]x,z,x_0[/mm] befinden sich auf derselben
> Geraden:
>
> Fall 1.1) y befindet sich auch auf dieser Geraden:
> [mm]d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)[/mm]
Ich vermisse da: "weil für diesen Fall d der euklidische Abstand ist". Insgesamt ist mir Dein Text zu sparsam.
>
> Fall 1.2) y befindet sich nicht auf dieser Geraden:
> [mm]d(x,z) = \left\Vert x-z \right\Vert \leq \left\Vert x \right\Vert + \left\Vert -z \right\Vert \leq \left\Vert x \right\Vert + \left\Vert y \right\Vert + \left\Vert y \right\Vert + \left\Vert z \right\Vert = d(x,y) + d(y,z)[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen kann ich so nicht nachvollziehen.
>
> Fall 2) sonst:
>
hier verstehe ich schon die Beschreibung der Fälle nicht. Vielleicht liegts ja an mir, daher markiere ich als "nur teilweise beantwortet".
> Fall 2.1) y befindet sich auch nicht auf dieser
> Geraden:
> [mm]d(x,z) = \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert z-x_0 \right\Vert \leq \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert y \right\Vert + \left\Vert y \right\Vert + \left\Vert z-x_0 \right\Vert = d(x,y) + d(y,z)[/mm]
>
> Fall 2.2) y befindet sich auf dieser Geraden:
> [mm]d(x,z) = \left\Vert x-x_0 \right\Vert + \left\Vert z-x_0 \right\Vert = \left\Vert x-x_0-y+y \right\Vert + \left\Vert z-x_0 \right\Vert \leq \left\Vert x-x_0-y \right\Vert + \left\Vert z-x_0 \right\Vert + \left\Vert y \right\Vert = d(x,y) + d(y,z)[/mm]
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> Ist das soweit richtig?
>
> Viele Grüße
> Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 So 12.05.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo ChrisNo,
danke für Deine Antwort.
Ich habe mein Ausgangsposting noch einmal überarbeitet und die Beweise teils überarbeitet und die Fallunterscheidungen konkretisiert.
Viele Grüße
Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 13.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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