Fredholm Integraloperator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Calculon |
| Aufgabe | Beschreiben sie den Kern, Bild, Lösbarkeitsbedingungen der Gleichung Au=f für die folgenden Integralop. mit ausgearteter Kernfunktion.
a) Au(x):=u(x)- [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x+y)*u(y)dy } [/mm] im Raum [mm] C[0,\pi]
[/mm]
b) Au(x):=u(x)- [mm] \lambda \integral_{a}^{b}{e^{x-y}*u(y)dy } [/mm] im Raum [mm] L^p[a,b] [/mm] mit 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty [/mm] |
Hallo, nachdem mir bei meiner ersten Frage schon so schnell geholfen wurde, versuche ich es gleich nochmal.
Also ich habe bereits herausgefunden, dass es sich um eine Fredholmsche Integralgleichung 2. Art handelt. dazu habe ich auch im Internet etwas gefunden : ![[]](/images/popup.gif) Link
Jetzt müsste ich ja das k(x,y)=Sin(x+y) entwickeln in eine Reihe von [mm] K=a_1(x)b_1(y)+....
[/mm]
mit dem Additionstheorem sin(x+y)=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y) geht das ja anscheinend, allerdings sind [mm] a_1(x)=sin(x) [/mm] und [mm] a_2(x)=cos(x) [/mm] ja nicht linear unabhängig, oder habe ich da etwas falsch vertanden mit dem "linear unabhängig" und ich muss diesen Begriff in [mm] C[0,\pi] [/mm] anders verwenden?
Auch das weitere Vorgehen ist mir ein bisschen Schleierhaft, ich weiß zwar was der Kern (alles was in die 0 abbildet) und das Bild sind aber mir ist nicht ganz klar wie ich diese explizit angebe..
Für eine kurze Skizze der Vorgehensweise oder einen Literaturtipp wäre ich sehr dankbar.
Tipps zum zweiten Aufgabenteil nehme ich auch gerne entgegen ;)
LG
Calculon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Di 26.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Funktionen
$ [mm] a_1(x)=sin(x) [/mm] $ und $ [mm] a_2(x)=cos(x) [/mm] $
sind l.u. in $ [mm] C[0,\pi] [/mm] $ !!. Denn aus
[mm] $c_1*a_1(x)+c_2*a_2(x)=0$ [/mm] für alle $ x [mm] \in [0,\pi]$ [/mm]
folgt [mm] c_1=c_2=0. [/mm] Mach Dir das klar.
Ansonsten verstehe ich Deine Schwierigkeiten nicht . In obigem Link hast Du doch eine wunderbare Bastelanleitungen, wie man die Gleichungen
Au=0 bzw. Au=f
löst.
FRED
|
|
|
|
