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| Aufgabe | Es sei F die freie Gruppe erzeugt von A = {x,y}. Beweisen Sie, dass die von [mm] x^2 [/mm] ; xyx^-1 und y erzeugte
Untergruppe G ein Normalteiler vom Index 2 in F ist.
b) Zeigen Sie, dass G die freie Gruppe erzeugt von 3 Elementen ist. |
Hallo, bräuchte mal wieder ein wenig Hilfe!
zu a) Wie zeige ich hier am besten, dass es sich um einen Normalteiler handelt? Mit der Bedingung xux^-1 [mm] \in [/mm] U. (x [mm] \in [/mm] A)? Falls ja, irgendwie komme ich damit nicht auf das gewünschte Ergebnis.
zu b) Habe ich leider keine Ahnung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 So 28.10.2012 | | Autor: | Trikolon |
Hat jemand Ideeen wie ich die Aufgaben lösen könnte?
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Bei a) komme ich mit der von mir genannten Normalteilerbedingung leider nicht weiter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 30.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Mo 29.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei F die freie Gruppe erzeugt von A = {x,y}. Beweisen
> Sie, dass die von [mm]x^2[/mm] ; xyx^-1 und y erzeugte
> Untergruppe G ein Normalteiler vom Index 2 in F ist.
> b) Zeigen Sie, dass G die freie Gruppe erzeugt von 3
> Elementen ist.
>
> Hallo, bräuchte mal wieder ein wenig Hilfe!
> zu a) Wie zeige ich hier am besten, dass es sich um einen
> Normalteiler handelt? Mit der Bedingung xux^-1 [mm]\in[/mm] U. (x
> [mm]\in[/mm] A)?
Wenn $U = G$ sein soll, dann ja.
Hierbei kannst du dir zu Nutze machen, dass es ausreicht, $x$ als die Erzeuger von $A$ zu waehlen (also $x$ und $y$ -- hier siehst du, dass du die Unbestimmte besser anders bezeichnet haettest), und $u$ als einen Erzeuger von $G$.
Damit hast du nicht sehr viele Elemente, die du ueberpruefen musst.
> Falls ja, irgendwie komme ich damit nicht auf das
> gewünschte Ergebnis.
Inwiefern? Rechne doch mal vor was du hast.
Um zu zeigen, dass $[F : G] = 2$ ist, musst du zeigen, dass jedes Element aus $F$ durch Multiplikation eines passendes Elementes aus $G$ auf eins von zwei Elementen zurueckgefuehrt werden kann. Kandidaten fuer diese zwei Elemente sind etwa $1$ (das neurale Element) und $x$. Dazu kannst du verwenden, dass Konjugieren Elemente aus $G$ in Elemente aus $G$ ueberfuehrt.
LG Felix
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Kann man, um zu zeigen, dass G Normalteiler 2 ist, wieder nur die Erzeugenden Elemente der jeweiligen Gruppe betrachten?
Nach deiner Definition, müsste man ja ansonsten alle möglichen Wörter bzw. Kombinationen untersuchen, also z.B auch
[mm] x^{2}*y*x^{-1} \in [/mm] F.
Dieses Element kann ich durch Multiplikation mit
[mm] x^{2}*(x*y*x^{-1})^{-1}*x^{-2} \in [/mm] G durch x darstellen.
Demnach wären die beiden Elemente, wie du schon gesagt hast, e und x.
Aber wie kann ich das jetzt formal begründen?
Oder genügt es eben doch, nur die Erzeuger zu betrachten?
LG Ikarus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Ikarus_AI |
Hat niemand eine Idee?
Also wenn ich jetzt, wie ich zuerst dachte, nur die Erzeuger betrachte, dann funktioniert es natürlich nicht, weil dann z.B.
x [mm] \in [/mm] F kein passendes Element aus G zugeordnet werden kann, sodass eben wie gewünscht x*g=e
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Also ich blicke bei a) immer noch nicht ganz durch:
Ich muss doch
[mm] xx^2 x^{-1}
[/mm]
[mm] xxyx^{-1} x^{-1}
[/mm]
[mm] xyx^{-1}
[/mm]
betrachten, und
[mm] yx^2 y^{-1}
[/mm]
[mm] yxyx^{-1} x^{-1}
[/mm]
[mm] yyy^{-1}.
[/mm]
Die Ergebnisse müsse dann wieder in G liegen, oder? Aber z.B. bei
[mm] xx^2 x^{-1} [/mm] käme doch [mm] x^2 [/mm] raus, oder? Und das wäre nicht in U...
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Soweit ich das verstanden habe, liegt das in U=G, denn:
U wird von [mm] \{x^{2},x*y*x^{-1},y\} [/mm] erzeugt.
Damit liegen auch alle Kombinationen und Vielfache davon in U, also z.B. auch [mm] x^{2}*y*x^{-2}, [/mm] weil das durch Hintereinanderschreiben von [mm] x^{2}, [/mm] y, und [mm] y^{-2} [/mm] entstanden ist, wobei alle diese Elemente in U=G liegen.
Man könnte U also folgendermaßen schreiben: [mm] U=\{e,x^{2},x^{-2},(x^{2})^{2},(x^{2})^{-2},...,y,y^{-1},y^{2},y^{-2},...,(x*y*x^{-1}),(x*y*x^{-1})^{-1},....\}
[/mm]
Alle Angaben ohne Gewähr, da ich ja selbst noch nicht besonder viel Ahnung von diesem Thema habe. Falls ich mich irre, hoffe ich, schnellstmöglich verbessert zu werden. :)
LG Ikarus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 31.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 31.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 29.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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