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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Di 17.11.2009 | | Autor: | da_kiwi |
| Aufgabe | | Sei [mm] n\ge1 [/mm] eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen Sie die Existenz zweier natürlicher Zahlen k und t [mm] k+n\le [/mm] t, so dass keine der Zahlen k,k+1,k+2,....,t eine Primzahl ist. |
Hallo,
Heute ist nicht so ganz mein Tag, von 4 Übungsaufgaben habe ich zu 2 Aufgaben keine Idee. Kann mir jmd. bitte einen Denkanstoß geben? :)
Grüße da_kiwi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo da_kiwi,
ok, hier ein Tipp, der Dich direkt mit der Nase auf die Lösung stupsen sollte:
sei [mm] r=11\in\IP
[/mm]
sei s=2*3*5*7*11=2310
Was weißt Du nun über die Zugehörigkeit von [mm] s+2\cdots{11} [/mm] zu [mm] \IP?
[/mm]
- also 2312, 2313, 2314, 2315, 2316, 2317, 2318, 2319, 2320, 2321.
So, wenn nun n vorliegt, dann wähle ein neues, passendes r... Es sollte Dich zu einem neuen s und damit auch zu k und t führen.
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Di 17.11.2009 | | Autor: | da_kiwi |
> Hallo da_kiwi,
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> ok, hier ein Tipp, der Dich direkt mit der Nase auf die
> Lösung stupsen sollte:
>
> sei [mm]r=11\in\IP[/mm]
> sei s=2*3*5*7*11=2310
Wieso wählst du hier r=11 und darauf folgend s=alle primzahlen bis 11 multipliziert? Wozu braucht man s,r überhaupt?
> Was weißt Du nun über die Zugehörigkeit von
> [mm]s+2\cdots{11}[/mm] zu [mm]\IP?[/mm]
Was meinst du damit?
>
> So, wenn nun n vorliegt, dann wähle ein neues, passendes
> r... Es sollte Dich zu einem neuen s und damit auch zu k
> und t führen.
Im Moment kann ich das einfach nicht nachvollziehen.
> Viel Erfolg!
> reverend
Grüße da_kiwi
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Hallo da_kiwi,
> > ok, hier ein Tipp, der Dich direkt mit der Nase auf die
> > Lösung stupsen sollte:
> >
> > sei [mm]r=11\in\IP[/mm]
> > sei s=2*3*5*7*11=2310
>
> Wieso wählst du hier r=11 und darauf folgend s=alle
> primzahlen bis 11 multipliziert? Wozu braucht man s,r
> überhaupt?
Och, r=11 ist nur ein Beispiel. Seine Konstruktion hast Du aber gut durchschaut.
> > Was weißt Du nun über die Zugehörigkeit von
> > [mm]s+2\cdots{11}[/mm] zu [mm]\IP?[/mm]
>
> Was meinst du damit?
Ich kann leicht zeigen, dass alle Zahlen s+a für [mm] 2\le a\le{r+1} [/mm] nicht prim sind. Solche primzahlfreien Gegenden suchst Du doch, oder?
Da Du die Konstruktion schon verstanden hast, sollte es Dir nicht schwerfallen, beliebig große Gebiete zu finden. Das verlangt Deine Aufgabe zwar gar nicht, aber sie ist auch gelöst, wenn Du zu jedem n ein k und ein t angeben kannst, die die Bedingung erfüllen.
> >
> > So, wenn nun n vorliegt, dann wähle ein neues, passendes
> > r... Es sollte Dich zu einem neuen s und damit auch zu k
> > und t führen.
>
> Im Moment kann ich das einfach nicht nachvollziehen.
Probiers noch mal. Wieso sind alle s+a für [mm] 2\le a\le{r+1} [/mm] nicht prim?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 17.11.2009 | | Autor: | da_kiwi |
> Och, r=11 ist nur ein Beispiel. Seine Konstruktion hast Du
> aber gut durchschaut.
Danke  . Auch wenn es wahrscheinlich Ironisch gemeint war.^^
Okay, nach mehrmaligen lesen, sind mir deine Erklärungen nun klar geworden.
> Probiers noch mal. Wieso sind alle s+a für [mm]2\le a\le{r+1}[/mm]
> nicht prim?
r= 5
s= 2*3*5 = 30
Wenn 30 durch 2 Teilbar ist, ist es auch 30+2.
Wenn 30 durch 3 Teilbar ist, ist es auch 30+3.
Wenn 30 durch 2 Teilbar ist, ist es auch 30+2+2.
Wenn 30 durch 5 Teilbar ist, ist es auch 30+5.
Wenn 30 durch 2*(3) Teilbar ist, ist es auch 30+2+2+2 (oder 30+3+3).
Das heißt wenn man min. eine Lücke n haben will, sollte [mm] r\ge [/mm] n sein.
> > > So, wenn nun n vorliegt, dann wähle ein neues, passendes
> > > r... Es sollte Dich zu einem neuen s und damit auch zu k
> > > und t führen.
n= 5
[mm] r\ge [/mm] n
r = 7
s = 210
k = 212
t = 216
Nun haben wir 5(n) Zahlen die keine Primzahlen sind (212-216).
Wie komm ich damit auf einen allgemeinen Beweis?
Grüße da_kiwi
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Hallo da_kiwi,
> > Och, r=11 ist nur ein Beispiel. Seine Konstruktion hast Du
> > aber gut durchschaut.
>
> Danke . Auch wenn es wahrscheinlich Ironisch gemeint
> war.^^
Nee, war ernst gemint.
> Okay, nach mehrmaligen lesen, sind mir deine Erklärungen
> nun klar geworden.
>
> > Probiers noch mal. Wieso sind alle s+a für [mm]2\le a\le{r+1}[/mm]
> > nicht prim?
>
> r= 5
> s= 2*3*5 = 30
>
> Wenn 30 durch 2 Teilbar ist, ist es auch 30+2.
> Wenn 30 durch 3 Teilbar ist, ist es auch 30+3.
> Wenn 30 durch 2 Teilbar ist, ist es auch 30+2+2.
> Wenn 30 durch 5 Teilbar ist, ist es auch 30+5.
> Wenn 30 durch 2*(3) Teilbar ist, ist es auch 30+2+2+2
> (oder 30+3+3).
>
> Das heißt wenn man min. eine Lücke n haben will, sollte
> [mm]r\ge[/mm] n sein.
Genau
> > > > So, wenn nun n vorliegt, dann wähle ein neues, passendes
> > > > r... Es sollte Dich zu einem neuen s und damit auch zu k
> > > > und t führen.
>
> n= 5
> [mm]r\ge[/mm] n
> r = 7
> s = 210
> k = 212
> t = 216
>
> Nun haben wir 5(n) Zahlen die keine Primzahlen sind
> (212-216).
217 und 218 sind hier auch sicher keine Primzahlen (dass 219 auch keine ist, ist dagegen nicht selbstverständlich!). r=5 hätte ja gereicht, dann hättest Du 32 bis 36 als sicher nicht prim bekommen. Interessanterweise sind ja auch die 5 Zahlen von 24 bis 28 nicht prim, aber das ist eine nicht allgemein nachzuweisende Lücke.
> Wie komm ich damit auf einen allgemeinen Beweis?
>
> Grüße da_kiwi
Tja, eigentlich musst Du ja nur zeigen, dass alle a, [mm] 2\le a\le{r+1} [/mm] entweder durch mindestens eine Primzahl [mm] \le{r} [/mm] teilbar oder aber selbst prim sind. Das kann doch nicht so schwer sein (Fundamentalsatz...).
Wenn das stimmt, dann folgt daraus, dass s+a nicht prim sein kann. (warum?)
Damit hast Du dann eine primzahlfreie Strecke der Länge r nachgewiesen.
lg
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:36 Di 17.11.2009 | | Autor: | da_kiwi |
Den Fundamentalsatz hatten wir vorletzte Woche iner Vorlesung. Leider war ich da krank (zum glück keine Schweinegrippe^^).
Könntest Du mir da unter die Arme greifen?
Grüße da_kiwi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Di 17.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hmmmm.
Hallo da_kiwi,
ich habe überhaupt keinen Grund, an Deiner Krankheitsaussage zu zweifeln. Wir rechnen hier aber nicht gern vor, weil das letztlich die Zahl der Anfragen zu sehr erhöht und das Forum dann den Nutzer zur Bequemlichkeit verführt.
Wenn Du Vorlesungen verpasst - was immer wieder vorkommen wird - musst Du nacharbeiten. Der Fundamentalsatz ist nicht kompliziert und besagt eigentlich doch genau das hier gesuchte: eine Zahl ist entweder prim oder hat eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren. Dazu musst Du nur noch die Frage beantworten, in welcher Größenrelation zur betrachteten Zahl diese Primfaktoren stehen: sind sie größer oder kleiner als die Zahl, oder können sie gleich groß sein?
Damit findest Du dann meine schon formulierte Aussage. Und die Folgerung stand auch schon da, Du musst sie Dir nur noch logisch erschließen.
Ich denke, dass Du das selbst tun musst und mit den gegebenen Hinweisen auch kannst. Schließlich musst Du Deinen Beweis ja auch selbst verstehen. Das mag noch ein bisschen Arbeit und "darauf Herumkauen" sein, aber nur dann hast Du einen Lernfortschritt und ein Erfolgserlebnis. Beides will Dir dieses Forum vermitteln, und ich mit ihm.
Allerdings musst Du das noch alles "mathematisch" aufschreiben, aber das ist dann erst der letzte Schritt. Die Denkleistung kommt zuerst. Und das Denken können - und wollen - wir Dir nicht abnehmen. Ich bin sicher, an dieser Stelle "wir" sagen zu dürfen, dafür habe ich schon genügend Diskussionen mitbekommen und mich auch an ihnen beteiligt.
Du hast alle Informationen; den Fundamentalsatz der Arithmetik (und der Zahlentheorie) findest Du allenthalben, z.B. in Deinem Skript.
Unternimm mal einen Versuch, die Argumentation vollständig darzustellen. Wenn sie dann stimmt, können wir ja immer noch über eine formalsprachliche Formulierung gemeinsam nachdenken. Aber auch da ist das Prinzip: Du unternimmst einen Anlauf, und wenn Du ihn fraglich (oder sogar gefühlt falsch) findest, dann stell ihn hier ein. Wir schauen dann gerne nach, wo es hakt.
Weiterhin viel Erfolg!
reverend
PS @all: Kennt jemand einen anderen Nachweis zu dieser Aufgabe als den vorgeschlagenen? Mir fällt partout keiner ein als dieser klassische.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mi 18.11.2009 | | Autor: | da_kiwi |
Hey,
ja da hast du Recht. Entschuldigung.
Okay, weiter im Text.
k= s+a mit [mm] 2\le [/mm] a [mm] \le [/mm] r+1 , daraus folgt =>k ist keine Primzahl für a=2. Also ist der Anfang "abgesichert". Das Ende auch, da gilt t=s+r+1 => t gerade, da s gerade ist und r+1 auch, und damit also auch t.
Das Problem ist jetzt nur noch zu zeigen, dass die Folgeglieder innerhalb der Lücke keine Primzahlen sind. Also die Anwendung des Fundamentalsatzes sieht so aus [mm] \produkt_{i=1}^{n}p_{i} [/mm] mit [mm] p\in [/mm] IP
So die erste Idee wäre nun vielleicht zuzeigen, dass jedes dieser Glieder mit mindestens 2 Primfaktoren aus s darstellbar wären.
Wie soll ich das jetzt allgemein beweisen?
Liebe Grüße, da_kiwi
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Hallo da_kiwi,
es reicht hier, wenn Du zeigst, dass kein a im genannten Bereich einen Primteiler haben kann, der größer als r ist.
Dann müsstest Du leicht zeigen können, warum alle k+a zerlegbar sind.
Grüße
reverend
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