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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Do 01.11.2007 | | Autor: | appo13 |
| Aufgabe | Friseur-Theorem: "Alle Menschen sind blond"Da es nur endlich viele Menschen gibt und zumindest einige blond sind, genügt es zu zeigen, dass in jeder Menge n aus N Menschen, in der ein Mensch blond is, alle blond sind. Der Beweis wird mittels vollständiger Indutkion geführt . Der I.A (n=1) ist offensichtlich richtig. Für den I.S. n->n+1 betrachte man eine Menge von n+1 Menschen (M1,...,Mn,Mn+1), wobei einer, oBdA M1, blond ist. Nach I.V. sind dann M1,M2,...,Mn blond und auch M1,M2,...Mn-1,Mn+1. Damit sind alle M1,...,Mn,Mn+1 blond. (q.e.d.)
Wo steckt der fehler? |
Meine Fragen: Natürlich zunächst: Wo steckt der Fehler? Allerdings ist mir auch nicht klar, was "oBdA" bedeutet, aber das wird warscheinlich eh nicht ausschlaggebend für die Lösung der Aufgabe sein.
Mein Überlegungen: Zunächst mal ist doch die Aussage, dass alle Menschen blodn sind, doch keine von den Natürlichen Zahlen N abhängige Menge. Was den Induktionsbeweis angeht, ist mir da aber einiges inklar. Wieso zum Beispiel kann ich nach I.V. darauf schließen, dass sowohl M1,...,Mn und M1,...,Mn-1,Mn+1 blond sind? Außerdem stellt man bei der vollständigen Induktion die Aussage für n aus N als war vorraus, was hier ja eindeutig nicht sein kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Do 01.11.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich glaube ![[]](/images/popup.gif) dieser Link könnte dir weiterhelfen...
Das Problem daran ist wohl, dass die Aussage zwar für eine Menge mit einem Element gilt, um den Induktionsschluss durchführen zu können, bräuchte man aber die Aussage für eine 2-elementige Menge - und das gilt nun mal nicht. Nur weil ein Mensch blond ist, braucht es ein zweiter in der Menge nicht zu sein.
OBdA heißt übrigens "Ohne Beschränkung der Allgemeinheit", das wird dir bei Beweisen öfters begegnen. In dem Fall ist es egal ob man jetzt [mm] M_1 [/mm] oder [mm] M_2 [/mm] oder [mm] M_{k} [/mm] als den blonden Menschen nimmt.
Viele Grüße,
Riley ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Fr 02.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo zusammen,
> Friseur-Theorem: "Alle Menschen sind blond"Da es nur
> endlich viele Menschen gibt und zumindest einige blond
> sind, genügt es zu zeigen, dass in jeder Menge n aus N
> Menschen, in der ein Mensch blond is, alle blond sind. Der
> Beweis wird mittels vollständiger Indutkion geführt . Der
> I.A (n=1) ist offensichtlich richtig. Für den I.S. n->n+1
> betrachte man eine Menge von n+1 Menschen (M1,...,Mn,Mn+1),
> wobei einer, oBdA M1, blond ist. Nach I.V. sind dann
> M1,M2,...,Mn blond und auch M1,M2,...Mn-1,Mn+1. Damit sind
> alle M1,...,Mn,Mn+1 blond. (q.e.d.)
Das Problem liegt im Schritt von n = 1 zu n = 2.
Es heißt im "Beweis":
"Nach I.V. sind dann [mm] $M_1, M_2, \ldots, M_n$ [/mm] blond und auch [mm] $\textcolor{red}{M_1, M_2, \ldots, M_{n-1}, M_{n+1}}$. [/mm] Damit sind alle [mm] $M_1, \ldots, M_n, M_{n+1}$ [/mm] blond. (q.e.d.)"
Für n = 1 ist aber
[mm] $\{M_1, M_2, \dots, M_{n-1}, M_{n+1}\} [/mm] = [mm] \{M_1, M_2, \dots, M_0, M_2\} [/mm] = [mm] \{M_2\}$ [/mm] und enthält daher das für den Schluss notwendige Element [mm] $M_1$ [/mm] nicht mehr.
Gruß
Will
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