Frobenius-Automorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 So 10.07.2016 | | Autor: | Wurstus |
Link zum Text: https://people.math.ethz.ch/~pink/ftp/FrobFin.pdf
Guten Tag,
ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Artikel "Frobenius conjugacy classes associated to q-linear polynomials over finite field" von Richard Pink, und da kamen schnell so ein paar Probleme beim Verstehen auf. Relativ am Anfang stellt der Autor dem Leser ein paar Aufgaben, die man lösen soll um sich in das behandelte Problem besser einfinden zu können. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand ein paar Sachen etwas anschaulicher erklären könnte und vllt ein paar Tipps zur Lösung der Aufgaben geben könnte. Ich habe es mal für besser gehalten die Aufgaben nicht selbst zu notieren sondern Verweise auf den Link, dort sind sie auf Seite 3, da ich wohl sonst die Aufgaben vermutlich genauso schön leserlich und verständlich aufgeschrieben bekommen hätte ^^
1)Unter anderem ist mir noch nicht so klar was ich mir unter der Matrix [mm] $\phi_f$ [/mm] vorstellen kann?
2)In Excercise 3 wird [mm] $Norm_{k\F_q}(a)=\alpha$ [/mm] genannt, darunter kann ich mir garnichts vorstellen und meine vorläufige Suche hat mir dazu auch noch nichts geliefert. In dieser Aufgabe werden auch [mm] $F_q^\times$ [/mm] angeführt, so wie ich es gelesen habe, ist damit die Menge aller Einheiten gemeint, aber wie kann man sich das in diesem Fall als Matrix vorstellen?
3)Gehe ich recht in der Annahme, dass hier mit "conjugate" das übliche konjugiert im Sinne von [mm] $gag^{-1}=b$ [/mm] gemeinst ist ?
Schon mal ein Danke an alle die sich damit auseinander setzen um mir zu helfen !
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Frobenius-Automorphismus-Artikel-von-Richard-Pink
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1./3. Man sollte wohl bemerken, dass [mm] $\phi_f$ [/mm] erst einmal nur eine lineare Abbildung ist. Nach Wahl einer Basis kann man diese bekanntlich durch eine Matrix darstellen. Die Gestalt dieser Matrix hängt von der Wahl einer Basis ab, nicht aber die Konjugationsklasse (Ähnlichkeitsklasse) dieser Matrix. Durch das ausarbeiten eines Beispiels, z.B. Aufgabe 2 wird dir klar werden, was hier passiert.
2. Die wichtigsten Eigenschaften der Norm findest du ![[]](/images/popup.gif) hier. [mm] $K^\times$ [/mm] gibt die Einheiten an, in einem Körper sind dies alle Elemente ungleich Null.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mo 11.07.2016 | | Autor: | Wurstus |
| Aufgabe | | For [mm] k=F_q [/mm] and f(X) = X+ [mm] X^q [/mm] + [mm] X^q^2, [/mm] show that [mm] V_f [/mm] is contained in an extension of k of degree 3 and that the associated matrix [mm] \phi_f [/mm] is conjugate to [mm] \pmat{0 & -1 \\ 1 & -1}. [/mm] |
Erstmal danke für die schnelle Antwort, sie hat mich in meinem Verständnis schon ein Stück weitergebracht ;)
Unter [mm] V_f [/mm] kann man sich ja alle Nullstellen von f(X) vorstellen, die es in einem algebraischen Abschluss von k gibt. Leider habe ich keinerlei Ansatz wie ich zeigen soll der dies in einer Erweiterung von k mit Grad 3 liegt. Könnte man mir da vllt einen Ansatz oder Tipp geben in welche Richtung man da denken muss um es zu zeigen?
MfG Wurstus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Di 12.07.2016 | | Autor: | hippias |
Sei [mm] $\alpha\in V_{f}$ [/mm] und betrachte das Polynom [mm] $h:=(X-\alpha)(X-\alpha^{q})(X-\alpha^{q^{2}})$. [/mm] Mache Dir klar, dass seine Koeffizienten in $k$ liegen.
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