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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mo 19.12.2011 | | Autor: | nacht |
| Aufgabe | VOR:
Sei p eine Primzahl, [mm] \IF_{p}\subseteq\IF_{p}(quer) [/mm] ein algebraischer Abschluss.
Sei [mm] G:= \subseteq Gal(\IF_{p}(quer)/\IF_{p}) [/mm] =: [mm] G\IF_{p}
[/mm]
Beh: G [mm] \not= G\IF_{p} [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
vorneweg: Im folgenden wird viel definiert, was leider nicht anders möglich ist, da die Aufgabe recht komplex ist. Ich hoffe es ist alles verständlich, wenn nein, dann bitte in den Kommentaren hinweisen. Dies ist meine erste Frage, also ist wahrscheinlich nicht alles perfekt gestellt.
Bis jetzt habe ich es geschafft mein Mathestudium ohne eine Onlinefrage hier zu schaffen, aber nun gibt es doch eine Zusatzaufgabe die ich nicht ganz packe. Ich habe vorher schon [mm] G\cong\IZ [/mm] und [mm] \IF_{p}(quer)^G=\IF_{p} [/mm] gezeigt.
Als Tipp stand dabei, dass man zuerst zeigen soll, dass:
Vor: Sei l eine Primzahl. [mm] K:=\bigcup_{i=1}^{n}\IF_{p^l^n} \subseteq \IF_{p}(quer)=:E
[/mm]
Beh: 1. [mm] Gal(E/K)\not= [/mm] {id}
2. [mm] \forall [/mm] 1 [mm] \not= \delta \in Gal(E/K)\subseteq G\IF_{p} [/mm] gilt [mm] \delta \not\in [/mm] G.
Den ersten Hinweis hab ich schon gezeigt, aber beim 2. happerts, da komm ich irgendwie überhaupt nicht drauf...
Für einen Hinweis oder einfach nur das Hineindenken wäre ich dankbar =).
Mfg,
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Sei p eine Primzahl, [mm]\IF_{p}\subseteq\IF_{p}(quer)[/mm] ein
> algebraischer Abschluss.
> Sei [mm]G:= \subseteq Gal(\IF_{p}(quer)/\IF_{p})[/mm]
> =: [mm]G\IF_{p}[/mm]
>
> Beh: G [mm]\not= G\IF_{p}[/mm]
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> vorneweg: Im folgenden wird viel definiert, was leider
> nicht anders möglich ist, da die Aufgabe recht komplex
> ist. Ich hoffe es ist alles verständlich, wenn nein, dann
> bitte in den Kommentaren hinweisen. Dies ist meine erste
> Frage, also ist wahrscheinlich nicht alles perfekt
> gestellt.
>
> Bis jetzt habe ich es geschafft mein Mathestudium ohne eine
> Onlinefrage hier zu schaffen, aber nun gibt es doch eine
> Zusatzaufgabe die ich nicht ganz packe. Ich habe vorher
> schon [mm]G\cong\IZ[/mm] und [mm]\IF_{p}(quer)^G=\IF_{p}[/mm] gezeigt.
>
> Als Tipp stand dabei, dass man zuerst zeigen soll, dass:
> Vor: Sei l eine Primzahl. [mm]K:=\bigcup_{i=1}^{n}\IF_{p^l^n} \subseteq \IF_{p}(quer)=:E[/mm]
Meinst du nicht [mm] $K:=\bigcup_{n \in \IN}\IF_{p^{l^n}}$.
[/mm]
Sonst macht die ganze Vereinigung nicht wirklich einen Sinn. Insbesondere kommt bei dir gar kein [mm] $i\:$ [/mm] vor.
> Beh: 1. [mm]Gal(E/K)\not=[/mm] {id}
> 2. [mm]\forall[/mm] 1 [mm]\not= \delta \in Gal(E/K)\subseteq G\IF_{p}[/mm]
> gilt [mm]\delta \not\in[/mm] G.
Unter der Voraussetzung, dass ich das mit dem [mm] $K\:$ [/mm] richtig korrigiert habe:
Angenommen [mm] $\delta \in [/mm] G [mm] \Rightarrow$ [/mm] dann liegt [mm] $\delta$ [/mm] im Erzeugnis vom Frobenius [mm] $\phi$, [/mm] d.h. es gibt $n [mm] \in \IN$, [/mm] sd. [mm] $\delta [/mm] = [mm] \phi^n$.
[/mm]
Nun ist aber $K$ der fix unter Anwendung von Elementen aus $Gal(E/K)$, d.h. $K$ ist fix unter [mm] $\phi^n$.
[/mm]
Damit wäre jedoch $K [mm] \subseteq \IF_^{p^n}$. [/mm] Das ist ein Widerspruch, da [mm] $[K:\IF_p] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $[\IF_{p^n}:\IF_p]=n$.
[/mm]
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Mo 19.12.2011 | | Autor: | nacht |
Vielen Dank für deine schnelle, ausführliche Verbesserung und Antwort. Wie gesagt, ich war mit dem Formeleditor noch nicht so vertraut ;).
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