Frobeniusnorm, induziert? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 So 25.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Die durch [mm] ||.||_1 [/mm] (Betragssummennorm) induzierte Norm auf [mm] \mathbb{K}^{m\times n} [/mm] ist [mm] sup_{||x||_1=1}||Ax||_1. [/mm] Diese entspricht der Spaltensummennorm [mm] max_{1\le j \le n} \sum_{i=1}^m |a_{i,j}|.
[/mm]
(gezeigt)
Meine Frage:Ist die Frobeniusnorm: [mm] ||A||_F [/mm] := [mm] (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2)^{\frac{1}{2}} [/mm] die durch die euklidische Norm [mm] ||.||_2 [/mm] induzierte Norm?
ALso ist: [mm] ||A||_F [/mm] = [mm] sup_{||x||_2=1} ||Ax||_2 [/mm] ? |
Ich konnte zeigen [mm] ||A||_F [/mm] ist einer obere Schranke für [mm] ||Ax||_2 \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{K}^n [/mm] mit [mm] ||x||_2=1:
[/mm]
[mm] ||Ax||_2 =(\sum_{i=1}^m|\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j|^2)^\frac{1}{2} \le (\sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^n |a_{ij} [/mm] * [mm] x_j|)^2)^\frac{1}{2} \underbrace{\le}_{\mbox{Cauchy-Schwarz-Ungl}} \sqrt{\sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2) * (\sum_{j=1}^n|x_j|^2)} [/mm] = [mm] ||x||_2 [/mm] * [mm] ||A||_F= [/mm] 1* [mm] ||A||_F
[/mm]
Aber ist [mm] ||A||_F [/mm] auch die kleinste obere Schranke für [mm] ||Ax||_2 [/mm] ?
Sonst hat man meist x speziell gewählt sodass man dies zeigt. Ist es mir nur nicht gelungen oder ist es falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 So 25.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die durch [mm]||.||_1[/mm] (Betragssummennorm) induzierte Norm auf
> [mm]\mathbb{K}^{m\times n}[/mm] ist [mm]sup_{||x||_1=1}||Ax||_1.[/mm] Diese
> entspricht der Spaltensummennorm [mm]max_{1\le j \le n} \sum_{i=1}^m |a_{i,j}|.[/mm]
>
> (gezeigt)
>
> Meine Frage:Ist die Frobeniusnorm: [mm]||A||_F[/mm] := [mm](\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2)^{\frac{1}{2}}[/mm]
> die durch die euklidische Norm [mm]||.||_2[/mm] induzierte Norm?
Nein ! Für die Einheitsmatrix E gilt: [mm] ||E||_F= \wurzel{n}. [/mm] Für jedes x mit [mm] ||x||_2=1 [/mm] haben wir jedoch [mm] ||Ex||_2=1.
[/mm]
Die Norm [mm] ||*||_2 [/mm] kannst Du austauschen gegen jede(!) Norm auf [mm] \IR^n [/mm] !
D.h. die Frobeniusnorm wird von keiner Vektornorm induziert.
FRED
> ALso ist: [mm]||A||_F[/mm] = [mm]sup_{||x||_2=1} ||Ax||_2[/mm] ?
> Ich konnte zeigen [mm]||A||_F[/mm] ist einer obere Schranke für
> [mm]||Ax||_2 \forall[/mm] x [mm]\in \mathbb{K}^n[/mm] mit [mm]||x||_2=1:[/mm]
> [mm]||Ax||_2 =(\sum_{i=1}^m|\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j|^2)^\frac{1}{2} \le (\sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^n |a_{ij}[/mm]
> * [mm]x_j|)^2)^\frac{1}{2} \underbrace{\le}_{\mbox{Cauchy-Schwarz-Ungl}} \sqrt{\sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2) * (\sum_{j=1}^n|x_j|^2)}[/mm]
> = [mm]||x||_2[/mm] * [mm]||A||_F=[/mm] 1* [mm]||A||_F[/mm]
>
> Aber ist [mm]||A||_F[/mm] auch die kleinste obere Schranke für
> [mm]||Ax||_2[/mm] ?
> Sonst hat man meist x speziell gewählt sodass man dies
> zeigt. Ist es mir nur nicht gelungen oder ist es falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 25.10.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für die Antwort!
Aber du beschränkst dich auf den quadratischen Spezialllfall (was ja für ein Gegenbeispiel reicht) denn sonst würde es ja nicht so passen?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:46 Mo 26.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort!
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> Aber du beschränkst dich auf den quadratischen
> Spezialllfall (was ja für ein Gegenbeispiel reicht)
Ja
> denn
> sonst würde es ja nicht so passen?
Das verstehe ich nicht. Nach meinem "Anstupser" solltest Du eigentlich in der Lage sein, auch im nichtquadratischen Fall ein Gegenbeispiel zu finden.
FRED
>
> LG,
> sissi
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mo 26.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Im nicht quadratischen Fall ist für n [mm] \ge [/mm] m: [mm] ||I_n||_F= \sqrt{m} [/mm] und für n<m: [mm] ||I_n||_F= \sqrt{n}
[/mm]
Mein Problem ist:
Aus x mit $ [mm] ||x||_2=1 [/mm] $ folgt nicht $ [mm] ||I_n x||_2=1 [/mm] $ im nicht quadratischen Fall für n > m. Denn [mm] I_n*x [/mm] enthält nur die ersten m Komponenten von x,dannach nur 0en.
Also kann man es in dem nicht quadratischen Fall nicht so allgemein hinschreiben sondern muss ein konkretes Gegenbeispiel z.B.: [mm] x=e_1 [/mm] und [mm] n\ge2 [/mm] angeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mo 26.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Im nicht quadratischen Fall ist für n [mm]\ge[/mm] m: [mm]||I_n||_F= \sqrt{m}[/mm]
> und für n<m: [mm]||I_n||_F= \sqrt{n}[/mm]
> Mein Problem ist:
> Aus x mit [mm]||x||_2=1[/mm] folgt nicht [mm]||I_n x||_2=1[/mm] im nicht
> quadratischen Fall für n > m. Denn [mm]I_n*x[/mm] enthält nur die
> ersten m Komponenten von x,dannach nur 0en.
> Also kann man es in dem nicht quadratischen Fall nicht so
> allgemein hinschreiben sondern muss ein konkretes
> Gegenbeispiel z.B.: [mm]x=e_1[/mm] und [mm]n\ge2[/mm] angeben.
Ja
FRED
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