Fuchs'sche Differentialgleichu < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
es gebt um die Fuchs'sche Differentialgleichung, also:
[mm] (x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)x=0[/mm]
Laut meiner Literatur[1] lässt sich diese mit einem Reihenansatz
[mm]y=(x-a)^K \sum_{n=1}^{\infty} c_n(x-a)^n [/mm]
losen. (Man setzt den Ansatz ein und erhält über Koeffizientenvergleich die Werte für K und eine lustige Rekursionsformel zur bestimmung der [mm] c_n)
[/mm]
Dabei müssen P(x) und Q(a) auch als Polynome um x=a dargestellt werden - also
[mm]P(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n(x-a)^n [/mm]
[mm]Q(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n(x-a)^n [/mm]
Wenn P und Q endliche Polynome sind, soll der Konvergenzradius der Lösung unendlich sein.
Bei meinem konkreten Problem sind beide Reihen endlich.
[mm] [/mm][mm] P(x)=\alpha_0=1[/mm] [mm] [/mm]
[mm] [/mm][mm] Q(x)=\beta_3(x-a)^3+beta_4(x-a)^4[/mm] [mm] [/mm]
nun bekomme ich leider wenn ich meine konkreten Werte einsetze, zwar alternierende (wie man das z.B. von Besselfunktionen kennt, die sich auch mit diesem Verallgemeinerten Ansatz lösen lassen.), allerdings steigt der Betrag der [mm] c_n [/mm] sehr stark (ca. 2 Zehnerpotenzen pro Glied), sodass ich extrem große und nicht plausibele Ergebnisse bekommen.
Nun Frage ich mich, ob ich in meiner Rechnung noch einen Fehler habe oder ob diese Lösung nur theoretisch funktioniert und numerisch nicht zu erfassen ist.
Danke schonmal im Vorraus, bei Bedarf gebe ich auch gerne weitere Einzelheiten.
[1]Jerzy Dreszer, Mathematik - Handbuch für Technik und Naturwissenschaft, Verlag Harri Deutsch (1975) S. 454f
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Maulwurf85,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
> es gebt um die Fuchs'sche Differentialgleichung, also:
>
> [mm](x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)x=0[/mm]
>
Das heisst doch wohl eher:
[mm](x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)\blue{y}=0[/mm]
> Laut meiner Literatur[1] lässt sich diese mit einem
> Reihenansatz
> [mm]y=(x-a)^K \sum_{n=1}^{\infty} c_n(x-a)^n [/mm]
> losen. (Man
> setzt den Ansatz ein und erhält über
> Koeffizientenvergleich die Werte für K und eine lustige
> Rekursionsformel zur bestimmung der [mm]c_n)[/mm]
> Dabei müssen P(x) und Q(a) auch als Polynome um x=a
> dargestellt werden - also
> [mm]P(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n(x-a)^n [/mm]
> [mm]Q(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n(x-a)^n [/mm]
> Wenn P und Q
> endliche Polynome sind, soll der Konvergenzradius der
> Lösung unendlich sein.
> Bei meinem konkreten Problem sind beide Reihen endlich.
> [mm][/mm][mm] P(x)=\alpha_0=1[/mm][mm][/mm]
> [mm][/mm][mm] Q(x)=\beta_3(x-a)^3+beta_4(x-a)^4[/mm][mm][/mm]
>
> nun bekomme ich leider wenn ich meine konkreten Werte
> einsetze, zwar alternierende (wie man das z.B. von
> Besselfunktionen kennt, die sich auch mit diesem
> Verallgemeinerten Ansatz lösen lassen.), allerdings steigt
> der Betrag der [mm]c_n[/mm] sehr stark (ca. 2 Zehnerpotenzen pro
> Glied), sodass ich extrem große und nicht plausibele
> Ergebnisse bekommen.
>
> Nun Frage ich mich, ob ich in meiner Rechnung noch einen
> Fehler habe oder ob diese Lösung nur theoretisch
> funktioniert und numerisch nicht zu erfassen ist.
>
Dazu müssen wir Deine Rechnung kennen.
> Danke schonmal im Vorraus, bei Bedarf gebe ich auch gerne
> weitere Einzelheiten.
>
>
> [1]Jerzy Dreszer, Mathematik - Handbuch für Technik und
> Naturwissenschaft, Verlag Harri Deutsch (1975) S. 454f
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Dankeschön
Also... der Anfang war nur ein Tippfehler naturlich lautet es
[1] $ (x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0 $
Ein weiterer Tippfehler - die Summen laufen natürlich alle ab 0
[2] $ [mm] y=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n [/mm] $
...
[3] $ [mm] y'=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K) c_n(x-a)^{n-1} [/mm] $
...
[4] $ [mm] y''=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K)(n+K-1) c_n(x-a)^{n-2} [/mm] $
2,3,4 in 1 einsetzen ein schonmal ein wenig zusammenfassen
[5] [mm] $(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}[ [/mm] (K+n)(K+n-1) [mm] c_n [/mm] (x [mm] -a)^n+ [/mm] P(x) (n+K) [mm] c_n [/mm] (x [mm] -a)^n [/mm] + Q(x) [mm] c_n [/mm] (x [mm] -A)^n] [/mm] =0 $
Für den Koeffizientenvergleich substituiere ich z=x-a - sollte auch mit der DGL kein Problem geben da dz/dx=1 - P und Q sind ja auch als Funktion von x-a gefordet, sodass ich auch da drin substituieren kann. - die Summenformeln setze ich gleich ein
[6] $ [mm] z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ [/mm] (K+n)(K+n-1) [mm] c_n z^n+ [/mm] (n+K) [mm] c_n z^n(\sum_{m=0}^{\infty} \alpha_m z^m) [/mm] + [mm] c_n z^n [/mm] ( [mm] \sum_{m=0}^{\infty} \beta_m z^m) [/mm] ] =0 $
noch ein wenig zusammenfassen
[7] $ [mm] z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ [/mm] (K+n)(K+n-1) [mm] c_n z^n+ c_n \sum_{m=0}^{\infty} [/mm] ( ((n+K) [mm] \alpha_m+\beta_m )z^{m+n} [/mm] ) ) ] =0 $
Und nun zum Koeffizientenvergleich...
[8] [mm] z^K: [/mm] $ [mm] c_0 [/mm] [ K(K-1) + K [mm] \alpha_0+\beta_0 [/mm] ] =0 $
liefert K
[9] [mm] z^{K+1}: [/mm] $ [mm] c_1 [/mm] [ K(K+1) + (K+1) [mm] \alpha_0+\beta_0 [/mm] ] [mm] +c_0(K \alpha_1+\beta_1=0 [/mm] $
[9] [mm] z^{K+2}: [/mm] $ [mm] c_2 [/mm] [(K+2)(K+1) + (K+2) [mm] \alpha_0+\beta_0 [/mm] ] [mm] +c_1((K+1) \alpha_1+\beta_1 +c_0(K \alpha_2+\beta_2=0 [/mm] $
und allgemein
[10] [mm] z^{K+n}: [/mm] $ [mm] c_n [/mm] [(K+n)(K+n-1) + (K+n) [mm] \alpha_0+\beta_0 [/mm] ] [mm] +\sum_{m=1}^{n} c_{n-m}[ [/mm] (K+n-m) [mm] \alpha_{m} +\beta_m]=0 [/mm] $
Ich habe wie gesagt nur [mm] \alpha_0,\beta_3 [/mm] und [mm] \beta_4.
[/mm]
Das ganze hab ich dann Matlab zum Fraß vorgewurfen.
[mm] \alpha_0 [/mm] = -1 [mm] \beta_3\approx 10^7 \beta_4\approx 10^6
[/mm]
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Hier mal die ersten Koeffizienten mit obrigen Werten:
[mm] $c_0=1
[/mm]
[mm] c_1=0
[/mm]
[mm] c_2=0
[/mm]
[mm] c_3=-6,67e+05
[/mm]
[mm] c_4=-4.17e+04
[/mm]
[mm] c_5=0
[/mm]
[mm] c_6=1.39e+11
[/mm]
[mm] c_7=1.72e+10
[/mm]
[mm] c_8=5.21e+08
[/mm]
[mm] c_9=-1,40e+16$
[/mm]
Wenn ich für die [mm] \beta [/mm] deutlich kleinere Werte annehme, erhalte ich auch fallende Koeffizienten, allerdings passt dann nicht mehr zum zugrunde liegenden physikalischen Problem.
Meine ursprüngliche DGL lautet:
$ [mm] y''+\bruch{1}{x-a}y'+c(x-a)(x-b)y=0 [/mm] $
diese lässt sich in die "Fuchs'sche Form" umformen:
$ [mm] (x-a)^2 y''+(x-a)y'+c[(a-b)(x-a)^3+(x-a)^4]y=0 [/mm] $
Ich vermute mal, dass meine Probleme daher kommen, dass mein [mm] \beta_0=0 [/mm] ist , hab aber keine Ahnung wie ich weiter damit umgehen könnte und wäre für Tipps sehr dankbar.
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Hallo Maulwurf85,
> Hier mal die ersten Koeffizienten mit obrigen Werten:
> [mm]$c_0=1[/mm]
> [mm]c_1=0[/mm]
> [mm]c_2=0[/mm]
> [mm]c_3=-6,67e+05[/mm]
> [mm]c_4=-4.17e+04[/mm]
> [mm]c_5=0[/mm]
> [mm]c_6=1.39e+11[/mm]
> [mm]c_7=1.72e+10[/mm]
> [mm]c_8=5.21e+08[/mm]
> [mm]c_9=-1,40e+16$[/mm]
>
K solltest Du doch auch irgendwie herausbekommen.
> Wenn ich für die [mm]\beta[/mm] deutlich kleinere Werte annehme,
> erhalte ich auch fallende Koeffizienten, allerdings passt
> dann nicht mehr zum zugrunde liegenden physikalischen
> Problem.
>
> Meine ursprüngliche DGL lautet:
>
> [mm]y''+\bruch{1}{x-a}y'+c(x-a)(x-b)y=0[/mm]
>
> diese lässt sich in die "Fuchs'sche Form" umformen:
>
> [mm](x-a)^2 y''+(x-a)y'+c[(a-b)(x-a)^3+(x-a)^4]y=0[/mm]
>
Diese sieht aber anders aus, als die DGL im Eröffnungspost.
> Ich vermute mal, dass meine Probleme daher kommen, dass
> mein [mm]\beta_0=0[/mm] ist , hab aber keine Ahnung wie ich weiter
> damit umgehen könnte und wäre für Tipps sehr dankbar.
>
Gruss
MathePower
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Hallo Maulwurf85,
> Dankeschön
> Also... der Anfang war nur ein Tippfehler naturlich
> lautet es
> [1] [mm](x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
> Ein weiterer Tippfehler - die Summen laufen natürlich
> alle ab 0
> [2] [mm]y=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n[/mm]
> ...
> [3] [mm]y'=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K) c_n(x-a)^{n-1}[/mm]
>
> ...
> [4] [mm]y''=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K)(n+K-1) c_n(x-a)^{n-2}[/mm]
>
> 2,3,4 in 1 einsetzen ein schonmal ein wenig zusammenfassen
>
> [5] [mm](x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n (x -a)^n+ P(x) (n+K) c_n (x -a)^n + Q(x) c_n (x -A)^n] =0[/mm]
>
> Für den Koeffizientenvergleich substituiere ich z=x-a -
> sollte auch mit der DGL kein Problem geben da dz/dx=1 - P
> und Q sind ja auch als Funktion von x-a gefordet, sodass
> ich auch da drin substituieren kann. - die Summenformeln
> setze ich gleich ein
>
> [6] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ (n+K) c_n z^n(\sum_{m=0}^{\infty} \alpha_m z^m) + c_n z^n ( \sum_{m=0}^{\infty} \beta_m z^m) ] =0[/mm]
>
> noch ein wenig zusammenfassen
>
> [7] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ c_n \sum_{m=0}^{\infty} ( ((n+K) \alpha_m+\beta_m )z^{m+n} ) ) ] =0[/mm]
>
> Und nun zum Koeffizientenvergleich...
>
> [8] [mm]z^K:[/mm] [mm]c_0 [ K(K-1) + K \alpha_0+\beta_0 ] =0[/mm]
>
> liefert K
>
Mit den gegeben P und Q liefert das
[mm]c_{0}*K*\left(K-1\right)=0[/mm]
Da [mm]c_{0} \not=0[/mm] kann nur K=0 oder K=1 sein.
Womit Du Deine Ansätze für y' und y'' überdenken musst.
> [9] [mm]z^{K+1}:[/mm] [mm]c_1 [ K(K+1) + (K+1) \alpha_0+\beta_0 ] +c_0(K \alpha_1+\beta_1=0[/mm]
>
> [9] [mm]z^{K+2}:[/mm] [mm]c_2 [(K+2)(K+1) + (K+2) \alpha_0+\beta_0 ] +c_1((K+1) \alpha_1+\beta_1 +c_0(K \alpha_2+\beta_2=0[/mm]
>
> und allgemein
>
> [10] [mm]z^{K+n}:[/mm] [mm]c_n [(K+n)(K+n-1) + (K+n) \alpha_0+\beta_0 ] +\sum_{m=1}^{n} c_{n-m}[ (K+n-m) \alpha_{m} +\beta_m]=0[/mm]
>
> Ich habe wie gesagt nur [mm]\alpha_0,\beta_3[/mm] und [mm]\beta_4.[/mm]
> Das ganze hab ich dann Matlab zum Fraß vorgewurfen.
> [mm]\alpha_0[/mm] = -1 [mm]\beta_3\approx 10^7 \beta_4\approx 10^6[/mm]
>
Gruss
MathePower
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Hallo Mathpower
> Hallo Maulwurf85,
>
> > Dankeschön
> > Also... der Anfang war nur ein Tippfehler naturlich
> > lautet es
> > [1] [mm](x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
> > Ein weiterer Tippfehler - die Summen laufen natürlich
> > alle ab 0
> > [2] [mm]y=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n[/mm]
> > ...
> > [3] [mm]y'=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K) c_n(x-a)^{n-1}[/mm]
>
> >
> > ...
> > [4] [mm]y''=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K)(n+K-1) c_n(x-a)^{n-2}[/mm]
>
> >
> > 2,3,4 in 1 einsetzen ein schonmal ein wenig zusammenfassen
> >
> > [5] [mm](x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n (x -a)^n+ P(x) (n+K) c_n (x -a)^n + Q(x) c_n (x -A)^n] =0[/mm]
>
> >
> > Für den Koeffizientenvergleich substituiere ich z=x-a -
> > sollte auch mit der DGL kein Problem geben da dz/dx=1 - P
> > und Q sind ja auch als Funktion von x-a gefordet, sodass
> > ich auch da drin substituieren kann. - die Summenformeln
> > setze ich gleich ein
> >
> > [6] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ (n+K) c_n z^n(\sum_{m=0}^{\infty} \alpha_m z^m) + c_n z^n ( \sum_{m=0}^{\infty} \beta_m z^m) ] =0[/mm]
>
> >
> > noch ein wenig zusammenfassen
> >
> > [7] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ c_n \sum_{m=0}^{\infty} ( ((n+K) \alpha_m+\beta_m )z^{m+n} ) ) ] =0[/mm]
>
> >
> > Und nun zum Koeffizientenvergleich...
> >
> > [8] [mm]z^K:[/mm] [mm]c_0 [ K(K-1) + K \alpha_0+\beta_0 ] =0[/mm]
> >
> > liefert K
> >
>
>
> Mit den gegeben P und Q liefert das
>
> [mm]c_{0}*K*\left(K-1\right)=0[/mm]
sollte das nicht
[mm]c_{0}[K*\left(K-1\right)+K \alpha_0]=0[/mm]
und damit
[mm] K^2=0 [/mm]
liefern?
>
> Da [mm]c_{0} \not=0[/mm] kann nur K=0 oder K=1 sein.
>
> Womit Du Deine Ansätze für y' und y'' überdenken musst.
>
gut, das hieße, dass die summen erst ab 1 bzw. 2 laufen.
Wenn ich mir das so aufschreibe und meinen Koeffizientenvergleich durchführe komme ich aber trotzdem auf [mm] c_1 [/mm] = 0, [mm] c_2=0 [/mm] und die gleiche Formel für [mm] c_3 [/mm] und schließlich auch für die Rekursionsformel.
Oder meinst du einen völlig anderen Ansatz?
viele Grüße
Maulwurf
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Hallo Maulwurf85,
> Hallo Mathpower
> > Hallo Maulwurf85,
> >
> > > Dankeschön
> > > Also... der Anfang war nur ein Tippfehler naturlich
> > > lautet es
> > > [1] [mm](x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
> > > Ein weiterer Tippfehler - die Summen laufen
> natürlich
> > > alle ab 0
> > > [2] [mm]y=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n[/mm]
> > >
> ...
> > > [3] [mm]y'=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K) c_n(x-a)^{n-1}[/mm]
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> >
> > >
> > > ...
> > > [4] [mm]y''=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K)(n+K-1) c_n(x-a)^{n-2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > 2,3,4 in 1 einsetzen ein schonmal ein wenig zusammenfassen
> > >
> > > [5] [mm](x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n (x -a)^n+ P(x) (n+K) c_n (x -a)^n + Q(x) c_n (x -A)^n] =0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für den Koeffizientenvergleich substituiere ich z=x-a -
> > > sollte auch mit der DGL kein Problem geben da dz/dx=1 - P
> > > und Q sind ja auch als Funktion von x-a gefordet, sodass
> > > ich auch da drin substituieren kann. - die Summenformeln
> > > setze ich gleich ein
> > >
> > > [6] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ (n+K) c_n z^n(\sum_{m=0}^{\infty} \alpha_m z^m) + c_n z^n ( \sum_{m=0}^{\infty} \beta_m z^m) ] =0[/mm]
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> > >
> > > noch ein wenig zusammenfassen
> > >
> > > [7] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ c_n \sum_{m=0}^{\infty} ( ((n+K) \alpha_m+\beta_m )z^{m+n} ) ) ] =0[/mm]
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> > > Und nun zum Koeffizientenvergleich...
> > >
> > > [8] [mm]z^K:[/mm] [mm]c_0 [ K(K-1) + K \alpha_0+\beta_0 ] =0[/mm]
> >
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> > > liefert K
> > >
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> > Mit den gegeben P und Q liefert das
> >
> > [mm]c_{0}*K*\left(K-1\right)=0[/mm]
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> sollte das nicht
> [mm]c_{0}[K*\left(K-1\right)+K \alpha_0]=0[/mm]
> und damit
> [mm]K^2=0[/mm]
> liefern?
>
>
Ich habe die speziellen Polynome P und Q in die DGL eingesetzt,
das liefert die Gleichung
[mm]c_{0}*K*\left(K-1\right)=0[/mm]
> >
> > Da [mm]c_{0} \not=0[/mm] kann nur K=0 oder K=1 sein.
> >
> > Womit Du Deine Ansätze für y' und y'' überdenken musst.
> >
> gut, das hieße, dass die summen erst ab 1 bzw. 2 laufen.
> Wenn ich mir das so aufschreibe und meinen
> Koeffizientenvergleich durchführe komme ich aber trotzdem
> auf [mm]c_1[/mm] = 0, [mm]c_2=0[/mm] und die gleiche Formel für [mm]c_3[/mm] und
> schließlich auch für die Rekursionsformel.
>
> Oder meinst du einen völlig anderen Ansatz?
Nein, der Ansatz ist schon richtig.
> viele Grüße
> Maulwurf
Gruss
MathePower
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Hallo Mathpower
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> Ich habe die speziellen Polynome P und Q in die DGL
> eingesetzt,
> das liefert die Gleichung
>
> [mm]c_{0}*K*\left(K-1\right)=0[/mm]
>
Also bei mir liefert das immernohc
[mm]+c_{0}*K^2=0[/mm]
[mm]c_{0}*K*\left(K-1\right)[/mm] von Term vor y'' und [mm]c_{0}*K[/mm] von Term vor y'
viele Grüße
Maulwurf
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Hallo Maulwurf85,
> Hallo Mathpower
> >
> > Ich habe die speziellen Polynome P und Q in die DGL
> > eingesetzt,
> > das liefert die Gleichung
> >
> > [mm]c_{0}*K*\left(K-1\right)=0[/mm]
> >
>
> Also bei mir liefert das immernohc
> [mm]+c_{0}*K^2=0[/mm]
> [mm]c_{0}*K*\left(K-1\right)[/mm] von Term vor y'' und [mm]c_{0}*K[/mm] von
> Term vor y'
[mm]c_{0}*K*\left(K-1\right)[/mm] bei y'' ist der Term vor [mm]x^{K-2}[/mm]
[mm]c_{0}*K[/mm] bei y' ist der Term vor [mm]x^{K-1}[/mm]
> viele Grüße
> Maulwurf
Gruss
MathePower
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Entschuldigung!
ich seh grade, dass ich einfach die DGL falsch angegeben habe. Bin lieder noch nicht so firm mit online-Formeleditoren. Die korrekte lautet:
[mm](x-a)^2y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
Die Berechnungen habe ich auch dafür gemacht, und dafür sollten sie stimmen.
> Dankeschön
> Also... der Anfang war nur ein Tippfehler naturlich
> lautet es
> [1] [mm](x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
> Ein weiterer Tippfehler - die Summen laufen natürlich
> alle ab 0
> [2] [mm]y=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n[/mm]
> ...
> [3] [mm]y'=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K) c_n(x-a)^{n-1}[/mm]
>
> ...
> [4] [mm]y''=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K)(n+K-1) c_n(x-a)^{n-2}[/mm]
>
> 2,3,4 in 1 einsetzen ein schonmal ein wenig zusammenfassen
>
> [5] [mm](x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n (x -a)^n+ P(x) (n+K) c_n (x -a)^n + Q(x) c_n (x -A)^n] =0[/mm]
>
> Für den Koeffizientenvergleich substituiere ich z=x-a -
> sollte auch mit der DGL kein Problem geben da dz/dx=1 - P
> und Q sind ja auch als Funktion von x-a gefordet, sodass
> ich auch da drin substituieren kann. - die Summenformeln
> setze ich gleich ein
>
> [6] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ (n+K) c_n z^n(\sum_{m=0}^{\infty} \alpha_m z^m) + c_n z^n ( \sum_{m=0}^{\infty} \beta_m z^m) ] =0[/mm]
>
> noch ein wenig zusammenfassen
>
> [7] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ c_n \sum_{m=0}^{\infty} ( ((n+K) \alpha_m+\beta_m )z^{m+n} ) ) ] =0[/mm]
>
> Und nun zum Koeffizientenvergleich...
>
> [8] [mm]z^K:[/mm] [mm]c_0 [ K(K-1) + K \alpha_0+\beta_0 ] =0[/mm]
>
> liefert K
>
> [9] [mm]z^{K+1}:[/mm] [mm]c_1 [ K(K+1) + (K+1) \alpha_0+\beta_0 ] +c_0(K \alpha_1+\beta_1=0[/mm]
>
> [9] [mm]z^{K+2}:[/mm] [mm]c_2 [(K+2)(K+1) + (K+2) \alpha_0+\beta_0 ] +c_1((K+1) \alpha_1+\beta_1 +c_0(K \alpha_2+\beta_2=0[/mm]
>
> und allgemein
>
> [10] [mm]z^{K+n}:[/mm] [mm]c_n [(K+n)(K+n-1) + (K+n) \alpha_0+\beta_0 ] +\sum_{m=1}^{n} c_{n-m}[ (K+n-m) \alpha_{m} +\beta_m]=0[/mm]
>
> Ich habe wie gesagt nur [mm]\alpha_0,\beta_3[/mm] und [mm]\beta_4.[/mm]
> Das ganze hab ich dann Matlab zum Fraß vorgewurfen.
> [mm]\alpha_0[/mm] = -1 [mm]\beta_3\approx 10^7 \beta_4\approx 10^6[/mm]
>
>
>
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Hallo Maulwurf85,
> Entschuldigung!
> ich seh grade, dass ich einfach die DGL falsch angegeben
> habe. Bin lieder noch nicht so firm mit
> online-Formeleditoren. Die korrekte lautet:
>
> [mm](x-a)^2y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
>
> Die Berechnungen habe ich auch dafür gemacht, und dafür
> sollten sie stimmen.
>
> > Dankeschön
> > Also... der Anfang war nur ein Tippfehler naturlich
> > lautet es
> > [1] [mm](x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
> > Ein weiterer Tippfehler - die Summen laufen natürlich
> > alle ab 0
> > [2] [mm]y=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n[/mm]
> > ...
> > [3] [mm]y'=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K) c_n(x-a)^{n-1}[/mm]
>
Für y' ergibt sich:
[mm]\[{\left( x-a\right) }^{K-1}\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n}\right) \,K+{\left( x-a\right) }^{K}\,\sum_{n=1}^{\infty }n\,{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n-1}\][/mm]
,wobei erster Summand nur für [mm]K \not=0[/mm] gilt.
> >
> > ...
> > [4] [mm]y''=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K)(n+K-1) c_n(x-a)^{n-2}[/mm]
>
Für y'' ergibt sich:
[mm]\[{\left( x-a\right) }^{K-2}\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n}\right) \,\left( K-1\right) \,K+2\,{\left( x-a\right) }^{K-1}\,\left( \sum_{n=1}^{\infty }n\,{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n-1}\right) \,K+{\left( x-a\right) }^{K}\,\sum_{n=2}^{\infty }\left( n-1\right) \,n\,{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n-2}\][/mm]
, wobei erster Summand für [mm]K \notin \left\{0,1\right\}[/mm]
und zweiter Summand für [mm]K \not= 0[/mm] gilt.
> >
> > 2,3,4 in 1 einsetzen ein schonmal ein wenig zusammenfassen
> >
> > [5] [mm](x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n (x -a)^n+ P(x) (n+K) c_n (x -a)^n + Q(x) c_n (x -A)^n] =0[/mm]
>
> >
> > Für den Koeffizientenvergleich substituiere ich z=x-a -
> > sollte auch mit der DGL kein Problem geben da dz/dx=1 - P
> > und Q sind ja auch als Funktion von x-a gefordet, sodass
> > ich auch da drin substituieren kann. - die Summenformeln
> > setze ich gleich ein
> >
> > [6] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ (n+K) c_n z^n(\sum_{m=0}^{\infty} \alpha_m z^m) + c_n z^n ( \sum_{m=0}^{\infty} \beta_m z^m) ] =0[/mm]
>
> >
> > noch ein wenig zusammenfassen
> >
> > [7] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ c_n \sum_{m=0}^{\infty} ( ((n+K) \alpha_m+\beta_m )z^{m+n} ) ) ] =0[/mm]
>
> >
> > Und nun zum Koeffizientenvergleich...
> >
> > [8] [mm]z^K:[/mm] [mm]c_0 [ K(K-1) + K \alpha_0+\beta_0 ] =0[/mm]
> >
> > liefert K
> >
> > [9] [mm]z^{K+1}:[/mm] [mm]c_1 [ K(K+1) + (K+1) \alpha_0+\beta_0 ] +c_0(K \alpha_1+\beta_1=0[/mm]
>
> >
> > [9] [mm]z^{K+2}:[/mm] [mm]c_2 [(K+2)(K+1) + (K+2) \alpha_0+\beta_0 ] +c_1((K+1) \alpha_1+\beta_1 +c_0(K \alpha_2+\beta_2=0[/mm]
>
> >
> > und allgemein
> >
> > [10] [mm]z^{K+n}:[/mm] [mm]c_n [(K+n)(K+n-1) + (K+n) \alpha_0+\beta_0 ] +\sum_{m=1}^{n} c_{n-m}[ (K+n-m) \alpha_{m} +\beta_m]=0[/mm]
>
> >
> > Ich habe wie gesagt nur [mm]\alpha_0,\beta_3[/mm] und [mm]\beta_4.[/mm]
> > Das ganze hab ich dann Matlab zum Fraß vorgewurfen.
> > [mm]\alpha_0[/mm] = -1 [mm]\beta_3\approx 10^7 \beta_4\approx 10^6[/mm]
>
> >
> >
> >
>
Gruss
MathePower
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> Hallo Maulwurf85,
>
> > Entschuldigung!
> > ich seh grade, dass ich einfach die DGL falsch
> angegeben
> > habe. Bin lieder noch nicht so firm mit
> > online-Formeleditoren. Die korrekte lautet:
> >
> > [mm](x-a)^2y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
> >
> > Die Berechnungen habe ich auch dafür gemacht, und dafür
> > sollten sie stimmen.
> >
> > > Dankeschön
> > > Also... der Anfang war nur ein Tippfehler naturlich
> > > lautet es
> > > [1] [mm](x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
> > > Ein weiterer Tippfehler - die Summen laufen
> natürlich
> > > alle ab 0
> > > [2] [mm]y=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n[/mm]
> > >
> ...
> > > [3] [mm]y'=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K) c_n(x-a)^{n-1}[/mm]
>
> >
>
>
> Für y' ergibt sich:
>
> [mm]\[{\left( x-a\right) }^{K-1}\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n}\right) \,K+{\left( x-a\right) }^{K}\,\sum_{n=1}^{\infty }n\,{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n-1}\][/mm]
>
> ,wobei erster Summand nur für [mm]K \not=0[/mm] gilt.
>
>
> > >
> > > ...
> > > [4] [mm]y''=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K)(n+K-1) c_n(x-a)^{n-2}[/mm]
>
> >
>
>
> Für y'' ergibt sich:
>
> [mm]\[{\left( x-a\right) }^{K-2}\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n}\right) \,\left( K-1\right) \,K+2\,{\left( x-a\right) }^{K-1}\,\left( \sum_{n=1}^{\infty }n\,{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n-1}\right) \,K+{\left( x-a\right) }^{K}\,\sum_{n=2}^{\infty }\left( n-1\right) \,n\,{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n-2}\][/mm]
>
> , wobei erster Summand für [mm]K \notin \left\{0,1\right\}[/mm]
>
> und zweiter Summand für [mm]K \not= 0[/mm] gilt.
>
Hallo Mathpower ich würd sagen:
[mm]y=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n= \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^{n+K}[/mm]
eine Produktregel ist hier also völlig überflüssig.
einmal ableiten bringt (n-K) als Faktor und im Exponenten (n+K-1), innere Ableitung ist 1. Zweites mal ableiten bringt Faktor (n+K-1) und (n-K+2) im Exponenten $ [mm] (x-a)^K$ [/mm] wieder aus der Summe rausziehen und du hast es in obriger Form stehen.
Edit: nun hab ich in der DGL vor y'' ein [mm] $(x-a)^2$ [/mm] und vor y' ein $x-a $ stehen. Somit müssten ja alle Summen ab der Potenz [mm] $(x-a)^K$ [/mm] starten und ich erhalte somit die Formel mit [mm] c_0 [/mm] wo sowohl [mm] \alpha_0 [/mm] als auch [mm] \beta_0 [/mm] drinstehen - würd ich behaupten.
Grüße
Maulwurf
[mm]y''=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K)(n+K-1) c_n(x-a)^{n-2}[/mm]
>
> > >
> > > 2,3,4 in 1 einsetzen ein schonmal ein wenig zusammenfassen
> > >
> > > [5] [mm](x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n (x -a)^n+ P(x) (n+K) c_n (x -a)^n + Q(x) c_n (x -A)^n] =0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für den Koeffizientenvergleich substituiere ich z=x-a -
> > > sollte auch mit der DGL kein Problem geben da dz/dx=1 - P
> > > und Q sind ja auch als Funktion von x-a gefordet, sodass
> > > ich auch da drin substituieren kann. - die Summenformeln
> > > setze ich gleich ein
> > >
> > > [6] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ (n+K) c_n z^n(\sum_{m=0}^{\infty} \alpha_m z^m) + c_n z^n ( \sum_{m=0}^{\infty} \beta_m z^m) ] =0[/mm]
>
> >
> > >
> > > noch ein wenig zusammenfassen
> > >
> > > [7] [mm]z^K \sum_{n=0}^{\infty}[ (K+n)(K+n-1) c_n z^n+ c_n \sum_{m=0}^{\infty} ( ((n+K) \alpha_m+\beta_m )z^{m+n} ) ) ] =0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und nun zum Koeffizientenvergleich...
> > >
> > > [8] [mm]z^K:[/mm] [mm]c_0 [ K(K-1) + K \alpha_0+\beta_0 ] =0[/mm]
> >
> >
> > > liefert K
> > >
> > > [9] [mm]z^{K+1}:[/mm] [mm]c_1 [ K(K+1) + (K+1) \alpha_0+\beta_0 ] +c_0(K \alpha_1+\beta_1=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > [9] [mm]z^{K+2}:[/mm] [mm]c_2 [(K+2)(K+1) + (K+2) \alpha_0+\beta_0 ] +c_1((K+1) \alpha_1+\beta_1 +c_0(K \alpha_2+\beta_2=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > und allgemein
> > >
> > > [10] [mm]z^{K+n}:[/mm] [mm]c_n [(K+n)(K+n-1) + (K+n) \alpha_0+\beta_0 ] +\sum_{m=1}^{n} c_{n-m}[ (K+n-m) \alpha_{m} +\beta_m]=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich habe wie gesagt nur [mm]\alpha_0,\beta_3[/mm] und [mm]\beta_4.[/mm]
> > > Das ganze hab ich dann Matlab zum Fraß
> vorgewurfen.
> > > [mm]\alpha_0[/mm] = -1 [mm]\beta_3\approx 10^7 \beta_4\approx 10^6[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > >
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Maulwurf85,
> > Hallo Maulwurf85,
> >
> > > Entschuldigung!
> > > ich seh grade, dass ich einfach die DGL falsch
> > angegeben
> > > habe. Bin lieder noch nicht so firm mit
> > > online-Formeleditoren. Die korrekte lautet:
> > >
> > > [mm](x-a)^2y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
> > >
> > > Die Berechnungen habe ich auch dafür gemacht, und dafür
> > > sollten sie stimmen.
> > >
> > > > Dankeschön
> > > > Also... der Anfang war nur ein Tippfehler
> naturlich
> > > > lautet es
> > > > [1] [mm](x-a)y''+(x-a)P(x)y'+Q(x)y=0[/mm]
> > > > Ein weiterer Tippfehler - die Summen laufen
> > natürlich
> > > > alle ab 0
> > > > [2] [mm]y=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n[/mm]
> >
> > >
> > ...
> > > > [3] [mm]y'=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K) c_n(x-a)^{n-1}[/mm]
>
> >
> > >
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> >
> > Für y' ergibt sich:
> >
> > [mm]\[{\left( x-a\right) }^{K-1}\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n}\right) \,K+{\left( x-a\right) }^{K}\,\sum_{n=1}^{\infty }n\,{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n-1}\][/mm]
>
> >
> > ,wobei erster Summand nur für [mm]K \not=0[/mm] gilt.
> >
> >
> > > >
> > > > ...
> > > > [4] [mm]y''=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty}(n+K)(n+K-1) c_n(x-a)^{n-2}[/mm]
>
> >
> > >
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> > Für y'' ergibt sich:
> >
> > [mm]\[{\left( x-a\right) }^{K-2}\,\left( \sum_{n=0}^{\infty }{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n}\right) \,\left( K-1\right) \,K+2\,{\left( x-a\right) }^{K-1}\,\left( \sum_{n=1}^{\infty }n\,{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n-1}\right) \,K+{\left( x-a\right) }^{K}\,\sum_{n=2}^{\infty }\left( n-1\right) \,n\,{c}_{n}\,{\left( x-a\right) }^{n-2}\][/mm]
>
> >
> > , wobei erster Summand für [mm]K \notin \left\{0,1\right\}[/mm]
>
> >
> > und zweiter Summand für [mm]K \not= 0[/mm] gilt.
> >
>
> Hallo Mathpower ich würd sagen:
>
> [mm]y=(x-a)^K \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n= \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^{n+K}[/mm]
>
> eine Produktregel ist hier also völlig überflüssig.
> einmal ableiten bringt (n-K) als Faktor und im Exponenten
> (n+K-1), innere Ableitung ist 1. Zweites mal ableiten
> bringt Faktor (n+K-1) und (n-K+2) im Exponenten [mm](x-a)^K[/mm]
> wieder aus der Summe rausziehen und du hast es in obriger
> Form stehen.
>
Die erste Ableitung von [mm]c_n(x-a)^{n+K}[/mm] kannst Du für n+K=0 nicht bilden.
> Edit: nun hab ich in der DGL vor y'' ein [mm](x-a)^2[/mm] und vor y'
> ein [mm]x-a[/mm] stehen. Somit müssten ja alle Summen ab der Potenz
> [mm](x-a)^K[/mm] starten und ich erhalte somit die Formel mit [mm]c_0[/mm] wo
> sowohl [mm]\alpha_0[/mm] als auch [mm]\beta_0[/mm] drinstehen - würd ich
> behaupten.
Das ist auch richtig.
> Grüße
> Maulwurf
Gruss
MathePower
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Hallo Mathpower
> >
> > eine Produktregel ist hier also völlig überflüssig.
> > einmal ableiten bringt (n-K) als Faktor und im Exponenten
> > (n+K-1), innere Ableitung ist 1. Zweites mal ableiten
> > bringt Faktor (n+K-1) und (n-K+2) im Exponenten [mm](x-a)^K[/mm]
> > wieder aus der Summe rausziehen und du hast es in obriger
> > Form stehen.
> >
>
>
> Die erste Ableitung von [mm]c_n(x-a)^{n+K}[/mm] kannst Du für
> n+K=0 nicht bilden.
>
Warum eigentlich nicht? Für n=0 und K=0 steht ja dann [mm] $c_0(n+K)=c_0*(0)=0$
[/mm]
also kann ich da doch auch beliebige Terme mit multiplizeren und einfach zu meiner Summe 0 adderen, wüsste nicht, was mich dran hindert, oder?
>
> > Edit: nun hab ich in der DGL vor y'' ein [mm](x-a)^2[/mm] und vor y'
> > ein [mm]x-a[/mm] stehen. Somit müssten ja alle Summen ab der Potenz
> > [mm](x-a)^K[/mm] starten und ich erhalte somit die Formel mit [mm]c_0[/mm] wo
> > sowohl [mm]\alpha_0[/mm] als auch [mm]\beta_0[/mm] drinstehen - würd ich
> > behaupten.
>
>
> Das ist auch richtig.
>
>
>
> Gruss
> MathePower
Davon abgesehen, auch wenn ich meine Reihe also mit K=0 ansetze und entsprechend [mm] c_0 [/mm] und [mm] c_1 [/mm] in y' bzw. y'' rauswerfe, komm ich trotzdem auch die geposteten Ergebnisse, die mir absolut nicht gefallen.
> Hier mal die ersten Koeffizienten mit obrigen Werten:
> [mm]$c_0=1[/mm]
> [mm]c_1=0[/mm]
> [mm]c_2=0[/mm]
> [mm]c_3=-6,67e+05[/mm]
> [mm]c_4=-4.17e+04[/mm]
> [mm]c_5=0[/mm]
> [mm]c_6=1.39e+11[/mm]
> [mm]c_7=1.72e+10[/mm]
> [mm]c_8=5.21e+08[/mm]
> [mm]c_9=-1,40e+16$[/mm]
>
> Wenn ich für die [mm]\beta[/mm] deutlich kleinere Werte annehme,
> erhalte ich auch fallende Koeffizienten, allerdings passt
> dann nicht mehr zum zugrunde liegenden physikalischen
> Problem.
>
> Meine ursprüngliche DGL lautet:
>
> [mm]y''+\bruch{1}{x-a}y'+c(x-a)(x-b)y=0[/mm]
>
> diese lässt sich in die "Fuchs'sche Form" umformen:
>
> [mm](x-a)^2 y''+(x-a)y'+c[(a-b)(x-a)^3+(x-a)^4]y=0[/mm]
>
> Ich vermute mal, dass meine Probleme daher kommen, dass
> mein [mm]\beta_0=0[/mm] ist , hab aber keine Ahnung wie ich weiter
> damit umgehen könnte und wäre für Tipps sehr dankbar.
>
Danke nochmal und viele Grüße
Maulwurf
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Hallo Maulwurf85,
> Hallo Mathpower
>
>
> > >
> > > eine Produktregel ist hier also völlig überflüssig.
> > > einmal ableiten bringt (n-K) als Faktor und im Exponenten
> > > (n+K-1), innere Ableitung ist 1. Zweites mal ableiten
> > > bringt Faktor (n+K-1) und (n-K+2) im Exponenten [mm](x-a)^K[/mm]
> > > wieder aus der Summe rausziehen und du hast es in obriger
> > > Form stehen.
> > >
> >
> >
> > Die erste Ableitung von [mm]c_n(x-a)^{n+K}[/mm] kannst Du für
> > n+K=0 nicht bilden.
> >
>
> Warum eigentlich nicht? Für n=0 und K=0 steht ja dann
> [mm]c_0(n+K)=c_0*(0)=0[/mm]
> also kann ich da doch auch beliebige Terme mit
> multiplizeren und einfach zu meiner Summe 0 adderen,
> wüsste nicht, was mich dran hindert, oder?
>
Der Exponent hindert Dich daran.
Für n+K=0 ist das erste Summenglied eine Konstante.
Somit ist deren Ableitung 0.
Durch die Potenzregel wird nun der Exponent um 1 erniedrigt.
Und das ist dann nicht mehr die Ableitung einer Konstanten.
> >
> > > Edit: nun hab ich in der DGL vor y'' ein [mm](x-a)^2[/mm] und vor y'
> > > ein [mm]x-a[/mm] stehen. Somit müssten ja alle Summen ab der Potenz
> > > [mm](x-a)^K[/mm] starten und ich erhalte somit die Formel mit [mm]c_0[/mm] wo
> > > sowohl [mm]\alpha_0[/mm] als auch [mm]\beta_0[/mm] drinstehen - würd ich
> > > behaupten.
> >
> >
> > Das ist auch richtig.
> >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Davon abgesehen, auch wenn ich meine Reihe also mit K=0
> ansetze und entsprechend [mm]c_0[/mm] und [mm]c_1[/mm] in y' bzw. y''
> rauswerfe, komm ich trotzdem auch die geposteten
> Ergebnisse, die mir absolut nicht gefallen.
>
>
Schau Dir mal die Definition einer DGL 2. Ordnung
vom Fuchssysten Typ an.
> > Hier mal die ersten Koeffizienten mit obrigen Werten:
> > [mm]$c_0=1[/mm]
> > [mm]c_1=0[/mm]
> > [mm]c_2=0[/mm]
> > [mm]c_3=-6,67e+05[/mm]
> > [mm]c_4=-4.17e+04[/mm]
> > [mm]c_5=0[/mm]
> > [mm]c_6=1.39e+11[/mm]
> > [mm]c_7=1.72e+10[/mm]
> > [mm]c_8=5.21e+08[/mm]
> > [mm]c_9=-1,40e+16$[/mm]
> >
> > Wenn ich für die [mm]\beta[/mm] deutlich kleinere Werte annehme,
> > erhalte ich auch fallende Koeffizienten, allerdings passt
> > dann nicht mehr zum zugrunde liegenden physikalischen
> > Problem.
> >
> > Meine ursprüngliche DGL lautet:
> >
> > [mm]y''+\bruch{1}{x-a}y'+c(x-a)(x-b)y=0[/mm]
> >
> > diese lässt sich in die "Fuchs'sche Form" umformen:
> >
> > [mm](x-a)^2 y''+(x-a)y'+c[(a-b)(x-a)^3+(x-a)^4]y=0[/mm]
> >
> > Ich vermute mal, dass meine Probleme daher kommen, dass
> > mein [mm]\beta_0=0[/mm] ist , hab aber keine Ahnung wie ich weiter
> > damit umgehen könnte und wäre für Tipps sehr dankbar.
> >
> Danke nochmal und viele Grüße
> Maulwurf
>
Gruss
MathePower
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> Hallo Maulwurf85,
>
> Schau Dir mal die Definition einer DGL 2. Ordnung
> vom Fuchssysten Typ an.
>
> MathePower
Habe ich ja - Hier:
Jerzy Dreszer, Mathematik - Handbuch für Technik und Naturwissenschaft, Verlag Harri Deutsch (1975) S. 454f
Dort heißt es nur, dass wenn P und Q endliche Polynome sind, der Konvergenzradius von y unendlich sei. Hast du noch ne andere Definition für mich?
Kann auch gern nen Scan der Seite hochladen, falls das kein Problem mit dem Copyright gibt.
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Hallo Maulwurf85,
> > Hallo Maulwurf85,
> >
> > Schau Dir mal die Definition einer DGL 2. Ordnung
> > vom Fuchssysten Typ an.
> >
> > MathePower
> Habe ich ja - Hier:
> Jerzy Dreszer, Mathematik - Handbuch für Technik und
> Naturwissenschaft, Verlag Harri Deutsch (1975) S. 454f
>
> Dort heißt es nur, dass wenn P und Q endliche Polynome
> sind, der Konvergenzradius von y unendlich sei. Hast du
> noch ne andere Definition für mich?
>
Die DGL
[mm]y''+\alpha\left(x\right)*y'+\beta\left(x\right)*y=0[/mm]
ist vom Fuchsschen Typ, wenn endlich viele Punkte schwach singulär,
alle übrigen Punkte aus [mm]\IC \cup \left\{\infty\right\}[/mm] sind.
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Satz von Fuchs.
> Kann auch gern nen Scan der Seite hochladen, falls das kein
> Problem mit dem Copyright gibt.
>
Gruss
MathePower
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> Hallo Maulwurf85,
>
>
> Die DGL
>
> [mm]y''+\alpha\left(x\right)*y'+\beta\left(x\right)*y=0[/mm]
>
> ist vom Fuchsschen Typ, wenn endlich viele Punkte schwach
> singulär,
Das ist meiner Meinung nach erfüllt.
> alle übrigen Punkte aus [mm]\IC \cup \left\{\infty\right\}[/mm]
> sind.
>
> Siehe auch
> Satz von Fuchs.
>
Wikipedia ist ja ne tolle Quelle. Soweit komm ich auch. Wonach ich hier die ganze Zeit bettele ist eine Info was mit meiner DGL nicht stimmen mag. Aber offenbar bist du nicht bereit, mir die zu geben.
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Hallo Maulwurf85,
> > Hallo Maulwurf85,
> >
> >
> > Die DGL
> >
> > [mm]y''+\alpha\left(x\right)*y'+\beta\left(x\right)*y=0[/mm]
> >
> > ist vom Fuchsschen Typ, wenn endlich viele Punkte schwach
> > singulär,
>
> Das ist meiner Meinung nach erfüllt.
> > alle übrigen Punkte aus [mm]\IC \cup \left\{\infty\right\}[/mm]
> > sind.
> >
> > Siehe auch
> >
> Satz von Fuchs.
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> Wikipedia ist ja ne tolle Quelle. Soweit komm ich auch.
> Wonach ich hier die ganze Zeit bettele ist eine Info was
> mit meiner DGL nicht stimmen mag. Aber offenbar bist du
> nicht bereit, mir die zu geben.
Gut, dann gebe ich Dir die Info.
Die genannte DGL ist vom Fuchsschen Typ mit m im Endlichen
gelegenen Singularitäten [mm]x_{1}, \ ... \ , x_{m}[/mm] genau dann, wenn
[mm]\alpha\left(x\right)=\summe_{k=1}^{m}\bruch{r_{k}}{x-x_{k}},[/mm]
[mm]\beta\left(x\right)=\summe_{k=1}^{m}\left(\bruch{s_{k}}{\left(x-x_{k}\right)^{2}}+\bruch{t_{k}}{x-x_{k}}\right)[/mm]
ist, wobei [mm]r_{k}, \ s_{k}, \ t_{k}[/mm] Konstanten mit [mm]\vmat{r_{k}}+\vmat{s_{k}}+\vmat{t_{k}} \not= 0[/mm] sind und
[mm]\summe_{k=1}^{m}t_{k}=0[/mm]
Der Punkt [mm]\infty[/mm] ist genau dann regulär, wenn
[mm]\summe_{k=1}^{m}r_{k}=2[/mm] und
[mm]\summe_{k=1}^{m}\left(s_{k}+x_{k}*t_{k}\right)=\summe_{k=1}^{m}\left(2*x_{k}*s_{k}+x_{k}^{2}*t_{k}\right)=0[/mm]
(Quelle: Wolfgang Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 4. Auflage, Springer-Verlag)
Gruss
MathePower
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