Fünfeck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Mo 18.02.2008 | | Autor: | TNA-619 |
| Aufgabe | | In welchem Verhältnis steht die Seitenlänge des großen Fünfecks zur Seitenlänge des kleineren Fünfecks? |
[Dateianhang nicht öffentlich]
(das eingeschriebne fünfeck wurde durch die diagonalen konstruiert)
ich hab noch keinen richtigen ansatz, aber ich glaube man muss durch phytagoras die längen der seiten bestimmen (aber ich weiß noch nicht wie lange die farbig markierten seiten sind...
die Innenwinkel betragen 108° und werden wahrscheinlioch durch die diagonalen dreigeteilt (also 3x36°) - hilft das weiter?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mo 18.02.2008 | | Autor: | abakus |
> In welchem Verhältnis steht die Seitenlänge des großen
> Fünfecks zur Seitenlänge des kleineren Fünfecks?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> (das eingeschriebne fünfeck wurde durch die diagonalen
> konstruiert)
>
> ich hab noch keinen richtigen ansatz, aber ich glaube man
> muss durch phytagoras die längen der seiten bestimmen (aber
> ich weiß noch nicht wie lange die farbig markierten seiten
> sind...
>
> die Innenwinkel betragen 108° und werden wahrscheinlioch
> durch die diagonalen dreigeteilt (also 3x36°) - hilft das
> weiter?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
habe noch nie ein Bild hochgeladen. Mal sehen, ob es klappt.
Nutzt es dir was, dass die beiden hervorgehobenen Dreiecke ähnlich sind?
Außerdem hat der Schnitt der Diagonalen irgendwas mit dem "Goldenen Schnitt" zu tun.
Viele Grüße
Abakus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Do 21.02.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Hallo,
> habe noch nie ein Bild hochgeladen. Mal sehen, ob es
> klappt.
> Nutzt es dir was, dass die beiden hervorgehobenen Dreiecke
> ähnlich sind?
> Außerdem hat der Schnitt der Diagonalen irgendwas mit dem
> "Goldenen Schnitt" zu tun.
> Viele Grüße
> Abakus
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
wie beweißt man die ähnlichkeit? auf den ersten blick haben die dreiecke haben doch nur den winkel rechts unten gleich?
[Dateianhang nicht öffentlich]
wenn die beiden dreiecke ähnlich sind, dann ist das kleinere auch gleichschenklig, dh die beiden teile der diagonale (x+y) entsprechen der seitenlänge des fünfecks
$x+y=a$
die diagonalen werden im goldenen schnitt geteilt, gibt:
$(a+y):a=a:y$
stimmt das soweit?
ich weiß immer noch nicht wie ich auf $x$ komm :/
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Do 21.02.2008 | | Autor: | maddhe |
Ich hätte nur ne idee, wie mans mit vektoren machen könnte... [Dateianhang nicht öffentlich]
da nimmt man vektor a und verktor b (lin. aunabh.) und baut die vektorkette aus b und dem grünen.. allerdings weiß ich nicht, ob ihr das mit vektoren lösen sollt^^
wenn ja, schick ich gern meinen ansatz
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 21.02.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Ich hätte nur ne idee, wie mans mit vektoren machen
> könnte...
> da nimmt man vektor a und verktor b (lin. aunabh.) und
> baut die vektorkette aus b und dem grünen.. allerdings weiß
> ich nicht, ob ihr das mit vektoren lösen sollt^^
> wenn ja, schick ich gern meinen ansatz
danke für die hilfe, aber vektoren kommen erst später...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Do 21.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo TNA-619,
dein Ansatz mit den Winkeln war schon gar nicht so verkehrt. Ich schau mal, ob das mit den Bildern funktioniert, hab das auch noch nie gemacht. Aber dann kann ich besser erklären, wo und wie's weiter geht. Also, hier meine Zeichnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt können wir mit Namen über die Dinge reden.
Ich mache es sicherlich sehr kompliziert, weil ich nicht weiß, was du schon weißt. Ich versuche, die einzelnen Schritte zu markieren, dann kannst du dir raussuchen, was du brauchst:
1.) Deine Winkel stimmen, hier das Argument: ------------------------
Also, wie du schon sagst, die (Innen-)Winkel von dem Fünfeck drumherum sind alle richtiger Weise 108° und die Diagonalen teilen diese Winkel tatsächlich in drei gleiche Teile. Das kannst du zum Beispiel so einsehen:
Das Dreieck ADE ist gleichschenklig, weil die beiden Seiten von dem Fünfeck natürlich gleich lang sind. Also sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Wegen der Innenwinkelsumme von Dreiecken muss also
[mm] $180°=108+2\gamma$
[/mm]
gelten, wobei [mm] $\gamma$ [/mm] mal der Winkel DAE (=Winkel EDA) ist. Und mit dieser Gleichung kannst du dann ausrechnen:
[mm] $2\gamma [/mm] = 72° [mm] \Rightarrow \gamma=36°$.
[/mm]
Nun ist aber auch [mm] $3\cdot [/mm] 36°=108°$, so dass aus Symmetriegründen und so weiter genau das rauskommt, was du schon angenommen hattest: Die Winkel zwischen den Diagonalen (z.B. [mm] $\beta$) [/mm] sind auch genau 36°.
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2.) Gleich Seiten: [mm]\overline{CH}=\overline{FH}[/mm] -------
Nun ein weiteres Argument: Das innere Fünfeck in der Mitte ist genauso ein regelmäßiges Fünfeck. Aus Symmetriegründen sind alle fünf Seiten von diesem Fünfeck gleich lang. Also sind da auch alle Winkel 108°. Die Argumentation von oben gilt natürlich auch in diesem Fünfeck, so dass da auch die Winkel von den Diagonalen genau dreigeteilt werden. Der Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] ist also auch genau 36°, genau wie [mm] $\beta$.
[/mm]
Deshalb ist das Dreieck FCH ein Dreieck, in dem zwei Winkel gleich sind, es ist also ein gleichschenkliges Dreieck, in dem die Strecken [mm] $\overline{CH}$ [/mm] und [mm] $\overline{FH}$ [/mm] genau gleich lang sind. So, das ist das erste wichtige Ergebnis:
[mm] $$\overline{CH}=\overline{FH}$$
[/mm]
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3.) Der goldene Schnitt: ------------------------
Nun weiter, und zwar geht's jetzt mit dem Strahlensatz. Denn die Strecken [mm] $\overline{IJ}$ [/mm] und [mm] $\overline{HF}$ [/mm] sind parallel (aus Gründen der Symmetrie).
Deshalb gilt:
[mm] $\frac{\overline{EI}}{\overline{IJ}} [/mm] = [mm] \frac{\overline{EH}}{\overline{HF}}$
[/mm]
Nun ist aber [mm] $\overline{EH}=\overline{EI}+\overline{IH}=\overline{EI}+\overline{IJ}$. [/mm] Außerdem haben wir eben festgestellt, dass [mm] $\overline{HF}=\overline{HC}=\overline{EI}$ [/mm] gilt. Dies setzen wir beides mal ein:
[mm]\frac{\overline{EI}}{\overline{IJ}} = \frac{\overline{EI}+\overline{IJ}}{\overline{EI}} = 1+\frac{\overline{IJ}}{\overline{EI}}[/mm]
Wenn wir jetzt [mm] $\varphi=\frac{\overline{EI}}{\overline{IJ}}$ [/mm] setzen, dann erhalten wir die Gleichung:
[mm] $\varphi=1+\frac{1}{\varphi}$. [/mm] Das kann man auflösen und kommt zu der quadratischen Gleichung [mm] $x^2-x-1=0$, [/mm] von der die einzige positive Lösung genau der goldene Schnitt ist: [mm] $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
[/mm]
Insgesamt steht also da:
[mm]\frac{\overline{EH}}{\overline{HF}} = \frac{\overline{EI}}{\overline{IJ}}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/mm]
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4.) Ähnliche Dreiecke wie oben: ---------------------
Die Dreiecke ABG und ABD sind tatsächlich ähnlich. Das kann man herausfinden über die Winkel: Das Dreieck ABD ist gleichschenklig und hat als Basiswinkel die zwei Winkel unten, die beide genau 72° = 36° + 36° groß sind.
Das gleiche gilt für das Dreieck ABG: Der Winkel ABG ist natürlich gleich, wie bei dem gro0en Dreieck. Aber auch der Winkel BGA ist genau 72° groß, weil er sich mit dem Winkel HGF daneben zu 180° ergänzt (Nebenwinkel) und der Winkel HGF ist als Innenwinkel von dem inneren Fünfeck genau 108° groß: 180°-108°=72°.
Das Dreieck ABG hat also die gleichen Basiswinkel, ist also auch gleichschenklig. Das heißt, es sind die beiden Schenkel gleich groß: [mm] $\overline{AB}=\overline{AG}$. [/mm] Und aus Symmetriegründen gilt das gleiche an jeder Ecke, z.B. gilt also auch:
[mm] $$\overline{AB}=\overline{ED}=\overline{EH}$$
[/mm]
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5.) Dein Problem: ------------------------------
Endlich nun zu deinem Problem. Dazu schauen wir uns nochmal das an, was uns der Strahlensatz in 3.) geliefert hat:
[mm]\frac{\overline{EH}}{\overline{HF}} = \frac{\overline{EI}}{\overline{IJ}}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/mm]
In 2.) Hatten wir festgestellt, dass [mm] $\overline{HF} [/mm] = [mm] \overline{EI}$ [/mm] gilt. Einsetzen:
[mm]\frac{\overline{EH}}{\overline{EI}} = \frac{\overline{EI}}{\overline{IJ}}[/mm]
Nun multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit einander:
[mm] $\frac{\overline{EH}}{\overline{EI}} \cdot \frac{\overline{EI}}{\overline{IJ}} [/mm] = [mm] \varphi\cdot\varphi$.
[/mm]
Dann kürzen wir, und erhalten:
[mm] $\frac{\overline{EH}}{\overline{IJ}} [/mm] = [mm] \varphi\cdot\varphi=\frac32+\frac12\sqrt5$. [/mm] (wenn ich mich nciht verrechnet habe.)
Mit dem Ergebnis aus 4.) erhalten wir das von dir gesuchte Verhältnis:
[mm] $$\frac{\overline{AB}}{\overline{IJ}}=\frac32+\frac12\sqrt5\approx [/mm] 2,6180$$
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Hui, da hab ich aber viel geschrieben. Etwas inspiriert durch den Wikipedia-Artikel über den Goldenen Schnitt, aber selbstständig weiter ausgeführt. Ich hoffe, es hilft dir. Sicherlich brauchst du nicht alles und hast vielleicht auch nicht alles verstanden. Aber du kannst dir ja raussuchen, was du brauchst und was dir hilft. Wenn du den goldenen Schnitt schon kennst und weißt, wo der in dem Pentagramm zu finden ist, dann brauchst du nur den Teil 5.) Das ist nicht mehr viel ...
Lieben Gruß und schreib, wenn du noch Fragen hast!
Manatu
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo, der Pythagoras darf hier nicht hin, es gibt keine rechten Winkel, die Innenwinkel des regelmäßigen 5-Eck betragen [mm] 108^{0},
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt kennst du folgende Winkel:
Winkel CAD = Winkel CBE [mm] 36^{0}
[/mm]
Winkel ADC = Winkel BEC [mm] 108^{0}
[/mm]
Winkel CDE = Winkel CED [mm] 72^{0}
[/mm]
somit sind alle Winkel bekannt, du kannst den sinussatz verwenden, [mm] \bruch{\overline{AC}}{\overline{DE}}=2,618...
[/mm]
Steffi
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Wenn man den erst einmal hat, geht's auch schnell (s. 5.) oben) Aber den goldenen Schnitt herzuleiten im Pentagramm ist halt etwas mehr aufwand, ohne Trigonometrie ...
