Für welche Werte ist das LGS lösbar? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
2a + b + c = 0
-2 [mm] \lambda [/mm] a + [mm] \lambda [/mm] b + 9c = 6
2a + 2b + [mm] \lambda [/mm] c = 1
a) Für welche Werte [mm] \lambda [/mm] ist das LGS eindeutig lösbar
b) gibt es unendlich viele Lsg.
c) keine Lsg.
Meine Idee ist eine Dreiecksmatrix zu bilden. Das Problem ist nur das ich damit Schwierigkeiten habe eine zu bilden wenn ich ausser den 3 unbek. auch noch ein [mm] \lambda [/mm] vorkommt.
Jeder Tip ist höchst willkommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 10.08.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Kai!
Schreib doch dein Gleichungssystem mal als Matrix und erinnere dich an
folgende Gesetzmäßigkeit:
Das LGS Ax = b ist eindeutig lösbar [mm] $\gdw [/mm] rang (A) = rang (A|b) = n$.
Auf deutsch: Das LGS ist eindeutig lösbar, wenn der Rang der Matrix A gleich dem Rang der Matrix A erweitert um b maximal ist, also das b ein linear abhängiger Vektor der anderen Spaltenvektoren ist!
Also in diesem Fall n = 3:
[mm] rang \begin{pmatrix}
2a & b & c & |\, 0 \\
-2 \lambda a & \lambda b & 9c & | \,6 \\
2a & 2b & \lambda c & | \,1 \\
\end{pmatrix} = 3[/mm]
Ist also [mm] $b^t [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 6 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm] linear unabhängig, so hat das LGS keine Lösung. Ist der rang der Matrix A nicht maximal, gibt es unendlich viele.
Vielleicht postest du mal einen Vorschlag dazu hier rein.  Wie man den Rang überprüft weißte ja inzwischen. *zwinker*
Gruß Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Di 10.08.2004 | | Autor: | kai |
Ja das versteh ich schon!
mein problem ist aber das [mm] \lambda [/mm] zu bestimmen so das der rang < n , rang = n oder [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 6 & 1} [/mm] unabhängig ist.
da hab ich keine idee wie ich an die sache rangehen könnte, ausser halt ne dreiecksmatrix zu bilden. aber das hab ich halt nicht hingekriegt.
[mm] \pmat{2 & 1 & 1 & | & 0 \\ -2 \lambda & \lambda & 9 & | & 6 \\ 0 & 1 & \lambda -1 & | & 1} [/mm] Weiter hab ich's nicht geschafft!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Di 10.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Kai
> Ja das versteh ich schon!
> mein problem ist aber das [mm]\lambda[/mm] zu bestimmen so das der
> rang < n , rang = n oder [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\pmat{0 & 6 & 1}[/mm]
> unabhängig ist.
> da hab ich keine idee wie ich an die sache rangehen
> könnte, ausser halt ne dreiecksmatrix zu bilden. aber das
> hab ich halt nicht hingekriegt.
>
> [mm]\pmat{2 & 1 & 1 & | & 0 \\ -2 \lambda & \lambda & 9 & | & 6 \\ 0 & 1 & \lambda -1 & | & 1}[/mm]
> Weiter hab ich's nicht geschafft!
>
Warum denn nicht? [mm] $\lambda$ [/mm] ist doch einfach eine beliebige Zahl, und das Gauss-Verfahren kann weiter angewendet werden. Es ist einfach peinlich genau darauf zu achten, dass dabei nie durch Null dividiert wird. Also nicht einfach durch [mm] $\lambda$ [/mm] dividieren, ohne eine Fallunterscheidung zu mache: [mm] $\lambda [/mm] = 0$ oder [mm] $\lambda \not [/mm] = 0$
Hier würde ich zum Beispiel so weiterfahren:
[mm] $\pmat{2&1&1&|&0\\-2\lambda&\lambda&9&|&6\\0&1&\lambda-1&|&1}$
[/mm]
Das stammt noch von dir.
Jetzt addiere ich zum Beispiel das [mm] $\lambda$-Fache [/mm] der 1. Zeile zur 2. Zeile:
[mm] $\pmat{2&1&1&|&0\\0&2\lambda&9+\lambda&|&6\\0&1&\lambda -1&|&1}$
[/mm]
Dann vertausche ich die 2. und die 3. Zeile:
[mm] $\pmat{2&1&1&|&0\\0&1&\lambda -1&|&1\\0&2\lambda&9+\lambda&|&6}$
[/mm]
... und addiere das [mm] $(-2)\lambda$-Fache [/mm] der jetzigen 2. Zeile zur 3. Zeile:
[mm] $\pmat{2&1&1&|&0\\0&1&\lambda -1&|&1\\0&0&9+3\lambda-2\lambda^{2}&|&6-2\lambda}$
[/mm]
Schliesslich multipliziere ich die 3. Zeile noch mit $-1$, damit das [mm] $\lambda^{2}$ [/mm] positiv wird. Die Lösungsmenge wird dadurch ja nicht verändert:
EDIT: Ein Mathematiker, der das genau liest, würde jetzt einwenden: das [mm] $\lambda^{2}$ [/mm] ist doch immer positiv, wenn es nicht $0$ ist (Positiv definit)! Aber ich lasse die Formulierung so stehen in der Annahme, dass du schon weisst, was ich meine! 
[mm] $\pmat{2&1&1&|&0\\0&1&\lambda -1&|&1\\0&0&2\lambda^{2}-3\lambda-9&|&2\lambda-6}$
[/mm]
das sieht doch schon recht schön aus und kann zur weiteren Analyse verwendet werden. Zum Beispiel weiss man ja, dass, falls in einer Zeile links vom Trennstrich nur Nullen stehen, rechts hingegen in dieser Zeile der Wert [mm] $\not [/mm] =0$ ist, dass dann das Gleichungssystem keine Lösung hat.
Das kann hier zum Beispiel nur in der 3. Zeile eintreffen. Du untersuchst also, für welche [mm] $\lambda$ [/mm] der Ausdruck [mm] $2\lambda^{2}-3\lambda-9$ [/mm] den Wert $0$ annimmt. Für jene Werte, bei denen dann der Ausdruck [mm] $2\lambda-6$ [/mm] nicht auch den Wert $0$ annimmt, hat das Gleichungssystem keine Lösungen.
So, ich hoffe, du kommst nun wieder einen Schritt weiter.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Mi 11.08.2004 | | Autor: | kai |
Hallo Paulus,
danke für deine Hilfe, das hat mir sehr geholfen. Manchmal hat man auch echt ein brett vorm Kopf.
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