Für welche x konvergiert Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:03 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Für welche $x\in \IR$ konvergiert die Reihe $\sum _{n\in \IN} \frac{x^{2n}}{1+x^{4n}}$ |
Hallo,
für $x=1$ divergiert diese Reihe sicher!
Für $x>1$ konvergiert sie wegen:
$\forall x > 1 , \forall \epsilon > 0 \exists N \in \IN :$
$0\le a_{n}:= \sum \frac{x^{2n}}{1+x^{4n}} \le \sum \frac{x^{2n}}{x^{4n}} = \sum \frac{1}{x^{2n}} \le \sum \frac{1}{n^{2}} < \epsilon \ \forall m\ge n \ge N$
wobei $\sum \frac{1}{n^{2}$ nach dem Integraltestsatz : $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} dn$ konvergiert und eine Majorante für die Majorante von $a_{n}$ ist.
Für $x < 1 $:
ist es eine Nullfolge sicher wegen $lim _{n\rightarrow \infty } |x|^{n} \rightarrow 0$ für $|x|<1$. Dann kann man abschätzen mit einer geometrischen Reihe!
$\forall x< 1, \epsilon > 0 \ \exists N \in \IN: $
$0\le a_{n} \le \sum \frac{x^{2n}}{1} \le \sum x^{n} = \frac{1}{1-x} $
also konvergent
Stimmt das sO?
Bin für jegliche Hilfestellung dankbar.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:52 So 07.08.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Jup, ist richtig. Den Teil für x>1 kannst du auch einfacher so machen:
[mm] \summe_{}^{}\frac{x^{2n}}{1+x^{4n}}\le\summe_{}^{}\frac{x^{2n}}{x^{4n}}=\summe_{}^{}\frac{1}{x^{2n}}=\summe_{}^{}(\frac{1}{x^2})^n. [/mm] Nun ist wegen x>1 auch [mm] x^2>1 [/mm] und damit [mm] \frac{1}{x^2}<1. [/mm] Dann hast du auch hier die geometrische Reihe als Majorante.
Dann musst du noch eine Bemerkung zu negativen x schreiben, was aber nicht schwierig sein sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Teufel,
da $2n$ und $4n$ gerade gilt [mm] $x^{2n}>0$ [/mm] und [mm] $x^{4n}>0$ [/mm] mit $x<0$.
> jup
> Alternative
Danke !!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 So 07.08.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Kein Problem. genau, also ob du nun x oder -x einsetzt ist egal, weil 2n und 4n immer gerade sind. Daher konvergiert also die Reihe für alle reellen Zahlen außer 1 und -1.
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