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| Aufgabe | | Sei X wegzshgd und sei x [mm] \in [/mm] X. Zeigen Sie, dass die natürliche Abbildung von [mm] \pi_{1}(X,x) [/mm] zur Menge aller Schleifen modulo Homotopie eine Bijektion ist. |
Hallöle!
Das das Ding surjektiv ist, ist klar, da nimmt man sich ne Schleife und noch nen Weg zu x und verkettet das ganze so, dass es passt. Was mir nicht klar ist, ist die Injektivität und irgendwie stellt sich das ganze als schwerer heraus als ich dachte. Gegeben zwei Schleifen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] an x, die homotop sind. Dann ist zu zeigen, dass sie auch homotop relativ 0,1 sind. Anschaulich sieht das ganze klar aus... Aber wie man das wirklich beweist???
Ich hatte die Idee, dass [mm] [0,1]^{2} [/mm] doch einfach zusammenhängend ist und dann wollte ich zeigen, dass auch das stetige Bild einer einfach zusammenhängenden Menge einfach zusammenhängend ist. Ist dann nämlich H eine Homotopie von [mm] \alpha [/mm] nach [mm] \beta, [/mm] dann liegen sie beide im Bild von H, womit sie in [mm] \pi_{1}(im(H),x) [/mm] äquivalent wären und damit auch in [mm] \pi_{1}(X,x). [/mm] Leider ist es aber nicht so, dass das stetige Bild einer einfach zshgdn Menge einfach zusammenhängend ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 21.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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