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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:53 Sa 20.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es sei [mm] A:\IR \to \IR^{n \times n} [/mm] stetig und periodisch, es gibt also ein [mm] p\in \IR, [/mm] sodass für jedes [mm] t\in \IR [/mm] die Gleichung A(t+p)=A(t) gilt. Weiter sei Y eine Fundamentalmatrix der Differentialgleichung y'=A(t)y.
Zeigen Sie:
(i) Für jedes [mm] k\in \IZ [/mm] ist die Abildung [mm] Y_k:t \to [/mm] Y(t+kp) ebenfalls eine Fundamentalmatrix.
(ii) Es gibt eine Matrix B [mm] \in \IR^{n \times n}, [/mm] sodass [mm] Y_k=YB^k [/mm] für jedes [mm] k\in \IZ.
[/mm]
(iii) Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert der Matrix B, so existiert eine Lösung y der gegebenen Differentialgleichung mit [mm] y(t+p)=\lambday(t) [/mm] für jedes t [mm] \in \IR. [/mm] |
Analysis III... überfordert mich maßlos.
Mit dieser Aufgabe kann ich nichts anfangen.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen kann!!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:59 Sa 20.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Kann man (i) so lösen?
[Ich habe wirklich keine Ahnung!] |
Zu (i):
[mm] Y_k(t)=Y(t+kp)=(y_1(t+kp),y_2(t+kp),...,y_n(t+kp))
[/mm]
Zu zeigen ist also, dass [mm] y_1(t+kp),y_2(t+kp),...,y_n(t+kp) [/mm] linear unabhängige Lösungen von y'=A(t)y sind, denn dann ist [mm] Y_k [/mm] eben eine Fundamentalmatrix.
Ich habe mir nun überlegt, dass doch eigentlich gelten müsste:
A(t)=A(t+kp), da A ja n.V. periodisch ist und [mm] k\in \IZ.
[/mm]
Folgt daraus [mm] \bruch{y'(t)}{y(t)}=\bruch{y'(t+kp)}{y(t+kp)}?
[/mm]
Daraus würde dann folgen: y(t)=y(t+kp) und damit wären ja die Einträge von Y und [mm] Y_k [/mm] identisch und [mm] Y_k [/mm] also auch Fundamentalmatrix.
[Ich entschuldige mich bei allen, denen diese Idee Magenschmerzen bereitet.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Sa 20.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe gerade bemerkt, dass diese Lösung wohl falsch ist.
Denn ansonsten wäre ja Aufgabe (ii) unnötig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Sa 20.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Keiner eine Idee?
Schade!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:55 Sa 20.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zu (i):
Handelt es sich bei der Abbildung [mm] Y_k: [/mm] t [mm] \to [/mm] Y(t+kp) nicht um einen Isomorphismus?
Und ist somit [mm] Y_k(t)=Y(t)+k*(Y(p))?
[/mm]
Und p kann man dann ja definieren als z.B.
[mm] p:=t_2-t_1, [/mm] wobei [mm] A(t_1)=A(t_2), t_1 \not= t_2 [/mm] (A ist ja periodisch).
Damit wäre dann [mm] Y_k(t)=Y(t)+k*(Y(t_2-t_1)) [/mm] |
Jedenfalls wäre doch [mm] Y_k [/mm] dann eine Fundamentalmatrix, denn man würde ja Y(t) und den Rest addieren und eine Fundamentalmatrix erhalten, da ja nach Voraussetzung Y eine Fundamentalmatrix ist??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:17 Sa 20.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es sei [mm] A:\IR \to \IR^{n \times n} [/mm] stetig und periodisch, es gibt also ein [mm] p\in \IR, [/mm] so dass für jedes [mm] t\in \IR [/mm] die Gleichung A(t+p)=A(t) gilt. Weiter sei Y eine Fundamentalmatrix der Differentialgleichung y'=A(t)y.
Zeigen Sie:
a) Für jedes k [mm] \in \IZ [/mm] ist die Abbildung [mm] Y_k:t\to [/mm] Y(t+kp) auch eine Fundamentalmatrix.
b) Es gibt eine Matrix B [mm] \in \IR^{n \times n}, [/mm] so dass [mm] Y_k=YB^k [/mm] für jedes k [mm] \in \IZ.
[/mm]
c) Ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert der Matrix B, so ex. eine Lösung y der gegebenen Differentialgleichung mit [mm] y(t+p)=\lambday(t) [/mm] für jedes t [mm] \in \IR. [/mm] |
Zu a)
Ich habe mir gedacht, dass die Abb. [mm] Y_k [/mm] doch ein Isomorphismus sein müsste: Abgebildet wird ja zwischen [mm] \IR, [/mm] einem Vektorraum,und einem Raum, der aus Matrizen besteht, dies müsste doch eigentlich ein Vektorraum sein. Jedenfalls bin ich die Axiome für einen Vektorraum durchgegangen und irgendwie machte das (für mich) Sinn.
Bei der Bijektivität bin ich nicht so sicher.
Aber für jedes k wird t ja genau einer Matrix zugeordnet.
Also wenn das stimmt, dann müsste dochj gelten:
[mm] Y_k(t)=Y(t)+k(Y(t_2-t)) [/mm] mit [mm] t_2-t:=p, [/mm] wobei [mm] A(t)=A(t_2), t\not= t_2 [/mm] (A ist ja periodisch und daher nehme ich die Definition für p).
Und dann
[mm] Y_k(t)=Y(t)+k(Y(t_2))-k(Y(t)).
[/mm]
Und da Y ja eine Fundamentalmatrix ist, müsste bei dieser Addition doch am Ende auch wieder eine Fundamentalmatrix herauskommen. ??
zu b)
Also behauptet ist ja:
[mm] Y_k(t)=Y(t+kp)=Y(t)B^k.
[/mm]
Für eine Lösung [mm] y_1(t+pk) [/mm] gilt dann:
[mm] y_1(t+pk)=y(b^kt)
[/mm]
[mm] \gdw b=(b_{ij})_{1\le i\le j \le n}=\wurzel{\bruch{t+kp}{t}}
[/mm]
Und ist [mm] B^k [/mm] dann nicht die (n [mm] \times [/mm] n)-Matrix, die auf der Diagonalen die Einträge [mm] \bruch{t+kp}{t} [/mm] hat und sonst nur Nullen als Einträge besitzt?
Zu c) habe ich noch gar keine Idee.
Hoffentlich hilft mir jemand das Bisherige zu verbessern und mir Ideen zu geben, wenn alles falsch ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Sa 20.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
[mm] Y_k(t)=(YB^k)(t)=Y(t+kp) [/mm] (Folgerungen aus a) und b))
[mm] \lambda [/mm] sei Eigenwert von B.
Ist dann nicht
[mm] (YB^k)(t)=\lambda [/mm] Y(t)?
Also: [mm] \lambda [/mm] Y(t)=Y(t+kp) und für k=1
[mm] \lambda [/mm] Y(t)=Y(t+p) ??
Ist damit gezeigt, dass die gesuchte Lösung ex.??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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