Fundamentalsatz der Algebra < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mi 31.05.2006 | | Autor: | benta |
| Aufgabe | | Man beweise unter Zuhilfenahme des Satzes von Rouché den Fundamentalsatz der Algebra. |
Mir ist nur der Beweis mit Hilfe der Sätze von Weierstrass und Liouville aus der Funktionentheorie bekannt.
Bitte um Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Man beweise unter Zuhilfenahme des Satzes von Rouché den
> Fundamentalsatz der Algebra.
>
> Mir ist nur der Beweis mit Hilfe der Sätze von Weierstrass
> und Liouville aus der Funktionentheorie bekannt.
Das ist auch die Standardmethode.
> Bitte um Hilfe.
Mach doch mal nen Anfang, indem du hier etwa die Aussage des Satzes von Rouche hinschreibst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Mi 31.05.2006 | | Autor: | benta |
Satz von Rouché: Seien f(z) und g(z) im Sterngebiet G holomorph. [mm] \gamma [/mm] berande ein Gebiet G' [mm] \subset [/mm] G. Auf [mm] \gamma [/mm] gelte die Abschätzung |g(z)| < |f(z)|. Dann besitzen f(z) und f(z) + g(z) in G' die gleiche Gesamtordnung von Nullstellen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man beweise unter Zuhilfenahme des Satzes von Rouché den
> Fundamentalsatz der Algebra.
Ich wuerde wie folgt vorgehen:
Fuer ein Polynom $p(z) = [mm] \sum_{k=0}^n a_k z^k$ [/mm] mit [mm] $a_n \neq [/mm] 0$ und $n > 0$ schau dir die Funktionen $f(z) := [mm] a_n z^n$ [/mm] und $g(z) := [mm] \sum_{k=0}^{n-1} a_k z^k$ [/mm] an. Es ist ja $p(z) = f(z) + g(z)$.
Du musst nun einen gross genugen Kreis um 0 waehlen, so dass auf dem Kreisrand $|f(z)| > |g(z)|$ ist (das geht weil [mm] $z^n$ [/mm] staerker waechst als [mm] $z^k$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] k < n$; ist im Prinzip das gleiche wie beim normalen Beweis per Liouville, wo man damit zeigt dass $1/p(z)$ fuer $z [mm] \to \infty$ [/mm] beschraenkt ist).
Und jetzt wende den Satz von Rouche an.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Mi 31.05.2006 | | Autor: | benta |
Vielen Dank, das hilft mir sehr weiter.
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