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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] {u_{1}, u_{2}} [/mm] ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung L[y]=0 ist und lösen Sie das Anfangswertproblem L[y]=b(x) und [mm] y(x_{0})=y_{0} [/mm] und [mm] y'(x_{0})=y_{1}.
[/mm]
[mm] L[y]=y''-7x^{-1}y'+15x^{-2}y [/mm] und [mm] u_{1}(x)=x^{5} [/mm] und [mm] u_{2}(x)=x^{3} [/mm] und [mm] b(x)=6x^{4} [/mm] für x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] und [mm] x_{0}=1 [/mm] und [mm] y_{0}=y_{1}=0 [/mm] |
Hallo:D
Ich hänge leider an dieser Aufgabe ...
bisher habe ich:
y(1)=0 y'(1)=0
[mm] u_{1}(x)=x^{5}
[/mm]
[mm] u_{1}'(x)=5x^{4}
[/mm]
[mm] u_{1}''(x)=20x^{3}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] 20x^{3}-7x^{-1}*5x^{4}+15x^{-2}*x^{5}=0
[/mm]
[mm] 20x^{3}-35x^{3}+15x^{3}=0
[/mm]
0=0
[mm] u_{2}(x)=x^{3}
[/mm]
[mm] u_{2}'(x)=3x^{2}
[/mm]
[mm] u_{2}''(x)=6x
[/mm]
daraus folgt:
[mm] 6x-7x^{-1}*3x^{2}+15x^{-2}*x^{3}=0
[/mm]
0=0
damit müsste ja bewiesen sein, dass [mm] {u_{1}, u_{2}} [/mm] ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung L[y]=0 ist oder?
dann habe ich gemacht:
[mm] w(x)=\pmat{ x^{5} & x^{3} \\ 5x^{4} & 3x^{2} }
[/mm]
jetzt müsste ich ja irgendwie [mm] w(x)^{-1} [/mm] machen oder ??? Ich hab allerdings keine Ahnung, wie ich dabei auf die Zahlen in der Klammer komme ....
LG
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Hallo Kruemel1008,
> Zeigen Sie, dass [mm]{u_{1}, u_{2}}[/mm] ein Fundamentalsystem der
> Differentialgleichung L[y]=0 ist und lösen Sie das
> Anfangswertproblem L[y]=b(x) und [mm]y(x_{0})=y_{0}[/mm] und
> [mm]y'(x_{0})=y_{1}.[/mm]
>
> [mm]L[y]=y''-7x^{-1}y'+15x^{-2}y[/mm] und [mm]u_{1}(x)=x^{5}[/mm] und
> [mm]u_{2}(x)=x^{3}[/mm] und [mm]b(x)=6x^{4}[/mm] für x [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm] und
> [mm]x_{0}=1[/mm] und [mm]y_{0}=y_{1}=0[/mm]
> Hallo:D
> Ich hänge leider an dieser Aufgabe ...
> bisher habe ich:
> y(1)=0 y'(1)=0
> [mm]u_{1}(x)=x^{5}[/mm]
> [mm]u_{1}'(x)=5x^{4}[/mm]
> [mm]u_{1}''(x)=20x^{3}[/mm]
> daraus folgt:
> [mm]20x^{3}-7x^{-1}*5x^{4}+15x^{-2}*x^{5}=0[/mm]
> [mm]20x^{3}-35x^{3}+15x^{3}=0[/mm]
> 0=0
>
> [mm]u_{2}(x)=x^{3}[/mm]
> [mm]u_{2}'(x)=3x^{2}[/mm]
> [mm]u_{2}''(x)=6x[/mm]
> daraus folgt:
> [mm]6x-7x^{-1}*3x^{2}+15x^{-2}*x^{3}=0[/mm]
> 0=0
>
> damit müsste ja bewiesen sein, dass [mm]{u_{1}, u_{2}}[/mm] ein
> Fundamentalsystem der Differentialgleichung L[y]=0 ist
> oder?
>
Ja.
> dann habe ich gemacht:
>
> [mm]w(x)=\pmat{ x^{5} & x^{3} \\ 5x^{4} & 3x^{2} }[/mm]
> jetzt
> müsste ich ja irgendwie [mm]w(x)^{-1}[/mm] machen oder ??? Ich hab
> allerdings keine Ahnung, wie ich dabei auf die Zahlen in
> der Klammer komme ....
>
[mm]w(x)=\pmat{ u_{1}\left(x\right) & u_{2}\left(x\right) \\ u_{1}'\left(x\right) & u_{2}'\left(x\right) }[/mm]
> LG
Gruss
MathePower
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Sorry, da habe ich mich mich unklar ausgedrückt ...
Woher die Zahlen in der Klammer kommen ist mir klar, ich weis jetzt nur nicht wie ich weitermachen soll ...
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Hallo Kruemel1008,
> Sorry, da habe ich mich mich unklar ausgedrückt ...
> Woher die Zahlen in der Klammer kommen ist mir klar, ich
> weis jetzt nur nicht wie ich weitermachen soll ...
Berechne einfach die Inverse von w(x).
Gruss
MathePower
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Die Inverse habe ich jetzt, da hab ich raus:
[mm] w(x)^{-1}=\bruch{1}{x^{2}}*\pmat{ -\bruch{3}{2}x^{-3} & \bruch{1}{2}x^{-2} \\ \bruch{5}{2}x^{-1} & -\bruch{1}{2} }
[/mm]
daraus folgt:
[mm] w(1)^{-1}=\pmat{ -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{5}{2} & -\bruch{1}{2} }
[/mm]
Stimmt das? Und wie mache ich jetzt weiter ?
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Hallo Kruemel1008,
> Die Inverse habe ich jetzt, da hab ich raus:
> [mm]w(x)^{-1}=\bruch{1}{x^{2}}*\pmat{ -\bruch{3}{2}x^{-3} & \bruch{1}{2}x^{-2} \\ \bruch{5}{2}x^{-1} & -\bruch{1}{2} }[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> daraus folgt:
> [mm]w(1)^{-1}=\pmat{ -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{5}{2} & -\bruch{1}{2} }[/mm]
>
> Stimmt das? Und wie mache ich jetzt weiter ?
Zunächst benötigst Du doch die partikuläre Lösung.
Gruss
MathePower
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Wäre das dann:
[mm] det(w(x))=\bruch{3}{4}x^{2}-\bruch{5}{4}x^{2}=-\bruch{1}{2}x^{2} [/mm] ?
Damit habe ich versucht weiterzurechnen:
[mm] y(x)=(u_{1}(x), u_{2}(x))*(w(x_{0})^{-1}\vektor{y_{0} \\ y_{1}}+\integral_{x_{0}}^{x}{w(x)^{-1}\vektor{0 \\ b(x)} dx}
[/mm]
[mm] =(x^{5}, x^{3})*(\pmat{ -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{5}{2} & -\bruch{1}{2} }\vektor{0 \\ 0}+\integral_{1}^{x}{\pmat{ -\bruch{3}{2}x^{-3} & \bruch{1}{2}x^{-2} \\ \bruch{5}{2}x^{-1} & -\bruch{1}{2} }\vektor{0 \\ 6x^{4}} dx}
[/mm]
[mm] =(x^{5}, x^{3})*\vektor{0 \\ 0}+\integral_{1}^{x}{\vektor{3x^{2} \\ -3x^{4}} dx}
[/mm]
Ab hier komme ich aber wieder nicht weiter ...
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Hallo Kruemel1008,
> Wäre das dann:
>
> [mm]det(w(x))=\bruch{3}{4}x^{2}-\bruch{5}{4}x^{2}=-\bruch{1}{2}x^{2}[/mm]
> ?
>
Leider nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Damit habe ich versucht weiterzurechnen:
>
> [mm]y(x)=(u_{1}(x), u_{2}(x))*(w(x_{0})^{-1}\vektor{y_{0} \\ y_{1}}+\integral_{x_{0}}^{x}{w(x)^{-1}\vektor{0 \\ b(x)} dx}[/mm]
>
> [mm]=(x^{5}, x^{3})*(\pmat{ -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{5}{2} & -\bruch{1}{2} }\vektor{0 \\ 0}+\integral_{1}^{x}{\pmat{ -\bruch{3}{2}x^{-3} & \bruch{1}{2}x^{-2} \\ \bruch{5}{2}x^{-1} & -\bruch{1}{2} }\vektor{0 \\ 6x^{4}} dx}[/mm]
>
> [mm]=(x^{5}, x^{3})*\vektor{0 \\ 0}+\integral_{1}^{x}{\vektor{3x^{2} \\ -3x^{4}} dx}[/mm]
>
> Ab hier komme ich aber wieder nicht weiter ...
>
Gruss
MathePower
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