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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 So 19.08.2007 | | Autor: | MrFroggy |
| Aufgabe | Bestimmen Sie zu der Differentialgleichung
[mm]y'' + 4y' + 4y = 0[/mm]
ein Fundamentalsystem und geben Sie deren allgemeine Lösung an. |
Hi,
ich weiß, wie ich die allgemeine Lösung zu der DGL herausfinde. Aber mir fehlt leider der Ansatz für das Fundamentalsystem. Was muss ich dafür machen? Ich glaub, wenn ich die allgemeine Lösung habe, fehlt eigentlich nicht mehr viel? Würde mich sehr über Hilfe freuen.
Hier mein Weg zur allgemeinen Lösung:
Ansatz:
[mm]
y=e^{\lambda x}
\Rightarrow y'=\lambda * e^{\lambda x},
y''=\lambda^2 * e^{\lambda x}
\Rightarrow e^{\lambda x} * (\lambda^2 + 4\lambda + 4) = 0
\Rightarrow \lambda = -2.
[/mm]
Jetzt variiere ich die Konstanten, weil [mm]\lambda_1 = \lambda_2[/mm].
Ansatz:
[mm]y=C(x) * e^{\lambda x}
\Rightarrow y'=C'(x) e^{\lambda x} + C(x) * \lambda * e^{\lambda x}
\Rightarrow y''=C''(x) * e^{\lambda x} + 2* C'(x) \lambda e^{\lambda x} + C(x) * \lambda^2 * e^{\lambda x}
[/mm]
Wenn ich das einsetze, finde ich heraus, das [mm]C''=0.[/mm] Dann weiß ich ja, daß [mm]C(x) = C_1 x + C_2[/mm].
Wieder einsetzen gibt dann [mm]y = C_1 x e^{\lambda x} + C_2 e^{\lambda x}
bzw.
y = C_1 x e^{-2x} + C_2 e^{-2x}[/mm].
Ich glaube, jetzt fehlt nicht mehr viel, aber wie komme ich auf das FS?
Danke für eure Hilfe,
Hendrik
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Hallo
es fehlt wirklich nichts mehr. Du hast das Fundamentalsystem bereits bestimmt. Deine allgemeine Lösung ( die ich nicht nachgerechnet habe, da sie gut aussieht)
y = [mm] C_1 [/mm] x [mm] e^{-2x} [/mm] + [mm] C_2 e^{-2x}
[/mm]
ist Linearkombination von 2 Funktionen:
[mm] y_1=x e^{-2x} [/mm] und
[mm] y_2=e^{-2x}
[/mm]
Das ist das Fundamentalsystem
Gruß korbinian
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