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Moin zusammen,...
ich habe eine Aufgabe bei der man ein (reeles) Fundamentalsystem bestimmen soll.
Es sieht folgendermaßen aus:
y´= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 3 \\ 2 &1 & 2 \\ -3 & 0 & 2 } [/mm] * y + [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ e^2t }
[/mm]
Die Eigenwerte und Eigenvektoren sind kein Thema, aber dann kommt folgendes und ich stehe schon immer mit komplexen Zahlen auf Kriegsfuß und weiß nicht wie ich es umrechnen soll.
Der Eigenvektor w1 lautet: [mm] \pmat [/mm] {1-3i [mm] \\2-2i \\ [/mm] -3-i }
so der Spaß mal e [mm] ^{\lambda * t} [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] = 2-3i
den Vektor kann ich aufteilen in (1 2 [mm] -3)^T [/mm] und in (-3 -2 [mm] -1)^T [/mm] *i
nur was mache ich mit dem e [mm] ^{\lambda * t}????
[/mm]
es soll rauskommen:
e^2t (1 2 [mm] -3)^T* [/mm] cos(3t) + (-3 -2 [mm] -1)^T*sin(3t)) [/mm] + i((-3 -2 [mm] -1)^T [/mm] *cos(3t) - (1 2 [mm] -3)^T*sin(3t))*e^2t
[/mm]
wie kommt man da drauf?????
Gruß aus Hamburg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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Hallo Schiffbauer-HH,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> y´= [mm]\pmat{ 2 & 0 & 3 \\ 2 &1 & 2 \\ -3 & 0 & 2 }[/mm] * y +
> [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ e^2t }[/mm]
>
> Die Eigenwerte und Eigenvektoren sind kein Thema, aber dann
> kommt folgendes und ich stehe schon immer mit komplexen
> Zahlen auf Kriegsfuß und weiß nicht wie ich es umrechnen
> soll.
>
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> Der Eigenvektor w1 lautet: [mm]\pmat {1-3i \\2-2i \\ -3-i }[/mm]
>
> so der Spaß mal e [mm]^{\lambda * t}[/mm] mit [mm]\lambda[/mm] = 2-3i
>
> den Vektor kann ich aufteilen in (1 2 [mm]-3)^T[/mm] und in (-3 -2
> [mm]-1)^T[/mm] *i
>
> nur was mache ich mit dem e [mm]^{\lambda * t}????[/mm]
wende hier die Eulersche Formel an und multipliziere aus.
Sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil stellen dann eine Lösung dar.
Multipliziere also [mm]w_{1}\;e^{\lambda\;t}[/mm] aus.
[mm]e^{it}\;=\;\cos\;t\;+\;\sin\;t[/mm]
>
> es soll rauskommen:
>
> e^2t (1 2 [mm]-3)^T*[/mm] cos(3t) + (-3 -2 [mm]-1)^T*sin(3t))[/mm] + i((-3 -2
> [mm]-1)^T[/mm] *cos(3t) - (1 2 [mm]-3)^T*sin(3t))*e^2t[/mm]
>
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> wie kommt man da drauf?????
Handelt es sich um einen komplexen Eigenwert, so stellen sowohl Real- als auch der Imaginärteil eine Lösung dar.
Gruß
MathePower
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Hi, danke für die Hilfe, aber eine Frage hätte ich noch zum Lösungsweg.
Ich setzte also für [mm] e^{\lambda*t} [/mm] = [mm] e^{(2-3i)t} [/mm] ein, dies kann ich aufsplitten in [mm] e^{2t} [/mm] und [mm] e^{-3it}, [/mm] oder?
und diese beiden Therme nehme ich dann mit meinem Vektor w1 mal.
nur woher kommt das 3t im cos und im sin?
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Hallo Schiffbauer-HH,
> Ich setzte also für [mm]e^{\lambda*t}[/mm] = [mm]e^{(2-3i)t}[/mm] ein, dies
> kann ich aufsplitten in [mm]e^{2t}[/mm] und [mm]e^{-3it},[/mm] oder?
>
> und diese beiden Therme nehme ich dann mit meinem Vektor w1
> mal.
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> nur woher kommt das 3t im cos und im sin?
>
Wende auf die komplexe Zahl 3i die Eulersche Formel an.
Gruß
MathePower
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Moin, an alle die es interessiert,... die letzte Frage hat sich erledigt, also nur noch Gedanken drüber machen, wenn es euch selber was nützt 
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