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| Aufgabe | Berechne das Fundamentalsystem der linearen Systeme X'=AX
a) [mm] A=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 }
[/mm]
b) [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & -3 \\ 1 & & 2 \\ 1 & -1 & 4 }
[/mm]
Berechne zuerst die Jordan Normalform und dann das Fundamentalsystem. |
[mm] a)A=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 }
[/mm]
[mm] det(A-\lambda*E)=\vmat{ -1-\lambda & 1 & 0 \\ -1 & -3-\lambda & 0 \\ 1 & -1 & 1-\lambda}
[/mm]
= [mm] -x^3-3x^2+4
[/mm]
[mm] \lambda_1=-2 [/mm] und [mm] C_1=\vektor{-3 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
[mm] \lambda_2=-2 [/mm] und [mm] C_2=\vektor{-3 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
[mm] \lambda_3=1 [/mm] und [mm] C_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] b)A=\pmat{ 1 & 2 & -3 \\ 1 & & 2 \\ 1 & -1 & 4 }
[/mm]
[mm] det(A-\lambda*E)=\vmat{ 1-\lambda & 2 & -3 \\ 1 & 1-\lambda & 2 \\ 1 & -1 & 4-\lambda }
[/mm]
[mm] =-x^3+6x^2-12x+8
[/mm]
[mm] \lambda_1=2 [/mm] und [mm] C_1=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_2=2 [/mm] und [mm] C_2=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_3=2 [/mm] und [mm] C_3=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Allerdings kriege ich es nicht wirklich hin die Jordan Normalform zu berechnen. Könnt ihr mir Tipps geben wie ich das machen kann?
MfG
Mathegirl
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Hallo
Wie sieht den normalerweise die Jordannormalform aus?
Also bei a) bekommst du 2 verschiedene Eigenwerte, also -2 und 1.
Die algebraische Vielfachheit(Vfh.) von [mm] \lambda [/mm] =-2 ist 2, von [mm] \lambda [/mm] = 1 1
Die geometrische Vfh. von beiden Eigenwerten ist 1, da die geometrische Vfh. die Dimension des Eigenraums ist und beide Eigenvektoren haben Dimension 1
Daraus folgt, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist, da alg. Vfh [mm] \not= [/mm] geo. Vfh. vom Eigenwert -2
Aber eine Jordannormalform kann man immer finden. Auf der Diagonalen stehen die Eigenwerte der Matrix, entsprechend ihrer Vielfachkeit im charakteristischen polynom.
Da die Matrix nicht diagonalisierbar ist, kann die Jordannormalform nur folgendes Gestallt haben:
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Also 2 Jordanblöcke.
Ich hoffe,dir sagen die Begriffe wie geometrische und algebraische Vfh. etwas. Wenn nicht, dann guck nochmal in ein Lineare Algebra 2-Skript.
Nun bestimm bei b) die Jordannormalform und überlege dir, was dir das im Endeffekt bringt.
Gruß
TheBozz-mismo
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Nee, das sagt mir leider überhaupt nichts und davon hab ich auch bisher noch in keiner VL etwas gehört.
also ist bei a)
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] die Jordan Normalform
zu b)
[mm] \pmat{ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 } [/mm] wäre dann hier die Jordan Normalform.
Denn ich habe ja nur einen Eigenwert mit [mm] \lambda=2
[/mm]
Die algebraische Vfh von [mm] \lambda=2 [/mm] ist 3 und die geometrsiche Vfh ist 1. Daher ist die Matrix auch nicht diagonalisierbar oder?
Um das Fundamentalsystem zu bestimmen benötige ich ja [mm] {y_1y_2y_3} [/mm]
Weiter weiß ich leider nicht.
Ich habe schon nach einem Musterbeispiel gesucht, aber ich habe noch nichts sinnvolles gefunden. Auch in der VL wurde darüber noch nicht gesagt. Daher tue ich mich mit der Aufgabe etwas schwer.
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Nee, das sagt mir leider überhaupt nichts und davon hab
> ich auch bisher noch in keiner VL etwas gehört.
>
> also ist bei a)
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] die Jordan
> Normalform
>
Ja.
> zu b)
> [mm]\pmat{ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm] wäre dann
> hier die Jordan Normalform.
>
> Denn ich habe ja nur einen Eigenwert mit [mm]\lambda=2[/mm]
> Die algebraische Vfh von [mm]\lambda=2[/mm] ist 3 und die
> geometrsiche Vfh ist 1. Daher ist die Matrix auch nicht
> diagonalisierbar oder?
>
Ja, das ist richtig.
> Um das Fundamentalsystem zu bestimmen benötige ich ja
> [mm]{y_1y_2y_3}[/mm]
> Weiter weiß ich leider nicht.
Da die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 1 und die algebraische
Vielfachheit 3 ist, kann die Jordan-Normalform doch nur aussehen:
[mm]\pmat{2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
> Ich habe schon nach einem Musterbeispiel gesucht, aber ich
> habe noch nichts sinnvolles gefunden. Auch in der VL wurde
> darüber noch nicht gesagt. Daher tue ich mich mit der
> Aufgabe etwas schwer.
>
Bist Du an einer Basis interessiert, die die Matrix A in die Jordan-Normalform
überführt, so muß hier als 2. Vektor ein solcher gewählt werden,
der im [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(A-2*E\right)^{2} \ \right)[/mm] aber nicht
im [mm]\operatorname{Kern}\left(A-2*E\right)[/mm] liegt.
Analog der 3. Vektor.
Dieser Vektor muss im [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(A-2*E\right)^{3} \ \right)[/mm] liegen aber nicht
im [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(A-2*E\right)^{2} \ \right)[/mm] und [mm]\operatorname{Kern}\left(A-2*E\right)^{2}[/mm].
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Ich habe dazu etwas bei wikipedia gelesen, wo das auch an einem Beispiel recht gut erklärt war.
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsystem_(Mathematik)
Aber du hast mich jetzt verwirrt...du sagtest meine folgenden Matrizen seien so in Jordanscher Normalform richtig
> > [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] > Ja.
> > [mm]\pmat{ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
> Da die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 1 und die
> algebraische
> Vielfachheit 3 ist, kann die Jordan-Normalform doch nur
> aussehen:
>
> [mm]\pmat{2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
Was stimmt denn jetzt nun?
Zu a)
Okay, ich brauche nun E(A,1)=... und E(A,2)=... und ich muss [mm] Kern(A-2I)^2=...bilden. [/mm] Dann brauche ich ein [mm] v_2 [/mm] wobei dieser Vektor nicht in Kern(A-2I) sein darf.
Ich weiß aber nicht wie ich ich diese 3 Vektoren bestimmen kann. Oder sind die 2 Vektoren schon die Vektoren zum Erwartungswert?? Und ich verstehe immernoch nicht wozu ich die Jordan Normalform gebildet habe.
Vielleicht kannst du mir das nochmal erklären.
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Ich habe dazu etwas bei wikipedia gelesen, wo das auch an
> einem Beispiel recht gut erklärt war.
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsystem_(Mathematik)
>
> Aber du hast mich jetzt verwirrt...du sagtest meine
> folgenden Matrizen seien so in Jordanscher Normalform
> richtig
>
>
>
> > > [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] > Ja.
>
>
> > > [mm]\pmat{ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> > Da die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 1 und die
> > algebraische
> > Vielfachheit 3 ist, kann die Jordan-Normalform doch nur
> > aussehen:
> >
> > [mm]\pmat{2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Was stimmt denn jetzt nun?
>
> Zu a)
> Okay, ich brauche nun E(A,1)=... und E(A,2)=... und ich
> muss [mm]Kern(A-2I)^2=...bilden.[/mm] Dann brauche ich ein [mm]v_2[/mm] wobei
> dieser Vektor nicht in Kern(A-2I) sein darf.
>
> Ich weiß aber nicht wie ich ich diese 3 Vektoren bestimmen
> kann. Oder sind die 2 Vektoren schon die Vektoren zum
> Erwartungswert?? Und ich verstehe immernoch nicht wozu ich
> die Jordan Normalform gebildet habe.
>
Um die Lösungen einfacher berechnen zu können.
> Vielleicht kannst du mir das nochmal erklären.
>
Die unter a) angegebene Jordan-Normalform ist richtig.
Die unter b) angegebene Jordan-Normalform ist falsch.
Diese muss lauten:
[mm]\pmat{2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Ich verstehe leider nicht wie ich auf diese Matrix komme bei b)
Und ich weiß auch nicht so recht wie ich jetzt weiter komme mit dem Kern. Ich habe mich zwar dazu belesen aber es scheitert noch am richtigen Verständnis und daran wie ich es hier anwenden kann.
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Ich verstehe leider nicht wie ich auf diese Matrix komme
> bei b)
>
Nun, die geometrische Vielfachheit des EWs 2 lässt nur diese
Form der Matrix zu.
> Und ich weiß auch nicht so recht wie ich jetzt weiter
> komme mit dem Kern. Ich habe mich zwar dazu belesen aber es
> scheitert noch am richtigen Verständnis und daran wie ich
> es hier anwenden kann.
>
Probier es doch erstmal.
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Ich finde nicht die richtigen Vektoren, das ist mein Problem. Das Prinzip ist mir ja klar!
[mm] E(A,1)=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] E(A,-2)=\vektor{-3 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
[mm] Kern(A+2I)={\vektor{-3 \\ 3 \\ 2},\vektor{0 \\ 0 \\ 0}}
[/mm]
[mm] v_2\vektor{1 \\ 1 \\ 0}\in Kern(A+2I)^2\ [/mm] Kern(A+2I)
[mm] v_1=(A+2I)v_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] y_1(x)=e^x\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, y_2(x)=e^{-2x}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, y_3(x)=e^{-2x}[\vektor{1x \\ 1x \\ 0}+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}] [/mm] ist dann das Fundamentalsystem.
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Ich finde nicht die richtigen Vektoren, das ist mein
> Problem. Das Prinzip ist mir ja klar!
>
> [mm]E(A,1)=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]E(A,-2)=\vektor{-3 \\ 3 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]Kern(A+2I)={\vektor{-3 \\ 3 \\ 2},\vektor{0 \\ 0 \\ 0}}[/mm]
>
> [mm]v_2\vektor{1 \\ 1 \\ 0}\in Kern(A+2I)^2\[/mm] Kern(A+2I)
>
Dieser Vektor stimmt nicht.
> [mm]v_1=(A+2I)v_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]y_1(x)=e^x\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, y_2(x)=e^{-2x}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, y_3(x)=e^{-2x}[\vektor{1x \\ 1x \\ 0}+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}][/mm]
> ist dann das Fundamentalsystem.
>
Bis jetzt hast Du:
[mm]y_1(x)=e^x\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
[mm]y_2(x)=e^{-2x}\vektor{-3 \\ 3 \\ 2}[/mm]
Da der EW -2 die geometrische Vielfachheit 1 hat,
ist eine 2. linear unabhängige Lösung von [mm]y_{2}\left(x\right)[/mm] gesucht.
Dazu macht man den Ansatz:
[mm]y_{3}\left(x\right)=\left(\vec{a}+x*\vec{b}\right)*e^{-2x}[/mm]
Durch Einsetzen in das homogene DGL-System ergibt sich:
[mm]\left(A+2I\right) \vec{a}=\vec{b}[/mm]
[mm]\left(A+2I\right)\vec{b}=\vec{0}[/mm]
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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ja, aber wie kriege ich jetzt das a und b raus?
das verstehe ich irgendwie nicht so richtig....
Ich werde mich morgen früh nochmal ganz in ruhe ransetzen...
Danke für die Tipps und vor allem Geduld!!
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> ja, aber wie kriege ich jetzt das a und b raus?
> das verstehe ich irgendwie nicht so richtig....
> Ich werde mich morgen früh nochmal ganz in ruhe
> ransetzen...
>
[mm]\vec{b}[/mm] ist ein EV zum EW -2.
[mm]\vec{a}[/mm] wird durch die Matrix [mm]A+2I[/mm]
auf den [mm]\vec{b}[/mm] abgebildet. Das entstehende
Gleichungssystem ist hier zu lösen.
> Danke für die Tipps und vor allem Geduld!!
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Und genau das kriege ich irgendwie nicht hin. Ich muss -2 für [mm] \lambda [/mm] einsetzen aber dann komme ich nicht weiter. Kannst du mir das vielleicht mal zeigen wie das geht? (eventuelle auch an einem anderen beispiel)
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 11.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hast 2 Gleichungen:
$ [mm] \left(A+2I\right) \vec{a}=\vec{b} [/mm] $
$ [mm] \left(A+2I\right)\vec{b}=\vec{0} [/mm] $
Löse zuerst die 2., dann die 1.
FRED
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[mm] \pmat{ -3 & 1 & 0 \\ -1 & -5 & 0 \\ 1 & -1 & 3 }\vektor{-3 \\ 3 \\ 2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{12 \\ -12 \\ 0}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
meinst du das so?
MfG
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]\pmat{ -3 & 1 & 0 \\ -1 & -5 & 0 \\ 1 & -1 & 3 }\vektor{-3 \\ 3 \\ 2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{12 \\ -12 \\ 0}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> meinst du das so?
>
Nein.
Zunächst löst Du
[mm]\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\cr -1 & -1 & 0\cr 1 & -1 & 3\end{pmatrix}\]*\vec{b}=\vec{0}[/mm]
Dann löst Du
[mm]\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\cr -1 & -1 & 0\cr 1 & -1 & 3\end{pmatrix}\]*\vec{a}=\vec{b}[/mm]
> MfG
> mathegirl
Gruss
MathePower
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Hmm..ich dachte was ich gezeigt habe wäre das was du egschrieben hast...ich weiß es wirklich nicht wie ich das berechnen kann.
MfG
Mathegirl
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Könnt ihr mir das vielleicht nochmal erklären wie ich das berechne?
Das wäre sehr nett. Weil ich verstehe es wirklich nicht!
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Könnt ihr mir das vielleicht nochmal erklären wie ich das
> berechne?
> Das wäre sehr nett. Weil ich verstehe es wirklich nicht!
>
Siehe hier.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Hallo Mathegirl,
> Hmm..ich dachte was ich gezeigt habe wäre das was du
> egschrieben hast...ich weiß es wirklich nicht wie ich das
> berechnen kann.
>
Berechnet hast Du
[mm] \[\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\cr -1 & -1 & 0\cr 1 & -1 & 3\end{pmatrix}\]\cdot{}\vec{b}=\vec{0} [/mm]
mit [mm]\vec{b}=\pmat{-3 \\ 3 \\ 2}[/mm]
Zu berechnen ist daher noch:
[mm] \[\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\cr -1 & -1 & 0\cr 1 & -1 & 3\end{pmatrix}\]\cdot{}\vec{b}=\pmat{-3 \\ 3 \\ 2}[/mm]
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 So 11.12.2011 | | Autor: | Mathegirl |
http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Matrizen/eigenwerte.pdf
Seite 7 von 9 so habe ich das jetzt gelöst, das schien mir einfacher. Ich habe einfach das Problem, dass ich es anhand von beispielen nachvollziehen muss.
Danke für die Tipps. Ich habe es mit deiner Lösuingsidee nochmal nachgerechnet und verstanden.
Vielleicht kannst du mir noch Tipps zu meinem Post mit dem inhomogenen AWP geben.
MfG
Mathegirl
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