Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Do 09.04.2009 | | Autor: | deny-m |
| Aufgabe | Für die Zweige des Kegelschnitts
[mm] 5x^2+6xy+5y^2=4
[/mm]
berechne man Definitionsbereich, Nullstellen, Monotoniebereiche, Extrema, Konvexitätsbereiche, Wendepunkte und skizziere die beschriebene Kurve. |
Also mein Ansatz ist die Funktion nach y umzustellen, dann kann man die Kurvendiskussion machen! Aber ich schaffe es einfach nicht nach y umzustellen!
Hat jemand einen für einen kleinen Hinweis?
Danke!
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Hallo,
einen "kleinen" Hinweis zur Umformung nach y: das ist nur eine einfache quadratische Gleichung... also nur in die "Normalform" umwandeln, z.B. in [mm] y^{2} + p*y + q = 0 [/mm] und die pq-Formel benutzen. Dann hast du zwei Funktionsgleichungen.
Gruß,
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Do 09.04.2009 | | Autor: | deny-m |
Danke dir.
Heißt dann vereinfacht diese Funktion so: [mm] f(x)=x^2-\bruch{4}{5} [/mm] ?
Und die Nullstelen wären dann [mm] x_{1,2}=\pm \wurzel{\bruch{4}{5}}?
[/mm]
Und dann muss ich ganz normal von dieser Parabell die Kurvendiskussion durchführen? Richtig?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Do 09.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke dir.
>
> Heißt dann vereinfacht diese Funktion so:
> [mm]f(x)=x^2-\bruch{4}{5}[/mm] ?
nein, Du kannst auch nicht 'von einer Funktion' sprechen. Es war doch der Kegelschnitt gegeben durch
[mm] $$\{(x,y) \in \IR^2: 5x^2+6xy+5y^2=4 \}\,,$$
[/mm]
alleine schon, wenn Du Dir einen Kegelschnitt des [mm] $\IR^2$ [/mm] vorstellst, wird dieser i.a. nicht durch eine einzige Funktion beschrieben (deswegen steht in der Aufgabenstellung ja auch 'Zweige des Kegelschnitts').
(Ein anderes Beispiel: Der Rand des Einheitskreises, also [mm] $\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2=1\}$ [/mm] läßt sich aus den Graphen der folgenden zwei Funktionen [mm] $f_1,\;f_2$ [/mm] zusammensetzen:
[mm] $$g_1: [/mm] [-1,1] [mm] \to \IR,\;x \mapsto g_1(x):=\sqrt{1-x^2}\,,$$
[/mm]
[mm] $$g_2: [/mm] [-1,1] [mm] \to \IR,\;x \mapsto g_2(x):=-\sqrt{1-x^2}\,.$$
[/mm]
Hier gilt
[mm] $$\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2=1\}=\{(x,g_1(x)): x \in [-1,1]\} \cup \{(x,g_2(x)): x \in [-1,1]\}=\text{graph}(g_1) \cup \text{graph}(g_2)\,.$$
[/mm]
Eine 'einzige' Funktion $g: [-1,1] [mm] \to \IR$, [/mm] deren Graph den Rand des Einheitskreises des [mm] $\IR^2$ [/mm] beschreibt, kann nicht existieren. Warum nicht?)
Wie Du zu Deiner Gleichung gelangst, ist mir unklar. Kontrollier' das nochmal.
Auf jeden Fall jetzt hier der Weg, wie Du hier mit quadratischer Ergänzung einen Sinn in der Aufgabe findest (im Endeffekt ist ja die pq-Formel auch nichts anderes als ein Resultat der quadratischen Ergänzung):
Es gilt
$$ [mm] 5x^2+6xy+5y^2=4 [/mm] $$
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$y^2+2*y*\frac{3}{5}x+x^2=\frac{4}{5}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$\underbrace{\Big(y+\frac{3}{5}x\Big)^2}_{=y^2+2*y*\frac{3}{5}x\red{+\frac{9}{25}x^2}}\;\underbrace{\red{-\frac{9}{25}x^2}+x^2}_{=\left(\frac{4}{5}x\right)^2}=\frac{4}{5}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$y_{1,2}=-\frac{3}{5}x\pm\sqrt{\frac{4}{5}-\Big(\frac{4}{5}x\Big)^2}\,.$$
[/mm]
Nun kannst Du
[mm] $$y_1=f_1(x):=-\frac{3}{5}x\;\blue{\textbf{+}}\;\sqrt{\frac{4}{5}-\Big(\frac{4}{5}x\Big)^2}$$
[/mm]
und
[mm] $$y_2=f_2(x):=-\frac{3}{5}x\;\blue{\textbf{-}}\;\sqrt{\frac{4}{5}-\Big(\frac{4}{5}x\Big)^2}$$
[/mm]
setzen. Und um diese 'Funktionen' geht es nun. (Eigentlich sind das so ja noch keine Funktionen, sondern nur Funktionsgleichungen (vgl. etwa ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Funktion). Es ist aber klar, wie der Rest der Aufgabe zu verstehen ist; also auch, was damit gemeint ist, dass Du für [mm] $f_1$ [/mm] bzw. [mm] $f_2$ [/mm] den Definitionsbereich angeben sollst... vll. ist das sogar mathematisch präzise zu verstehen, wenn ihr den Begriff 'Zweig eines Kegelschnittes' definiert habt. Ansonsten ist's halt ähnlich wie in der Schule:
Die Aufgabenstellung ist so mathematisch nicht exakt bzw. einwandfrei, man weiß aber, was gemeint ist. Analog zu Schulaufgaben, wo dann da steht:
'Bestimme den maximalen Definitionsbereich [mm] $\subset \IR$ [/mm] der Funktion $x [mm] \mapsto \sqrt{\ln(x)}\,.$' [/mm] Dort weiß man, dass hier [mm] $D_f=[1,\infty)$ [/mm] gesucht ist, allerdings ist $x [mm] \mapsto \sqrt{\ln(x)}$ [/mm] so erstmal überhaupt keine Funktion, denn zu einer Funktion gehören sowohl Definitionsbereich, eine Zuordnungsvorschrift (oder ein Funktionsterm oder eine Funktionsgleichung) sowie ein Zielbereich.)
Gruß,
Marcel
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