Funktion - Extrema untersuchen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuche die Funktion [mm]f(x) = 2x^3 + 3x^2 -12x + 3 [/mm] auf Extrema in [mm][-3, 4][/mm]. |
Guten Tag :)
Diese Aufgabe ist die Musteraufgabe für meine nächste Klausur, also sie wird genauso gestellt werden, deshalb versuche ich mich gut auf diesen Augabenyp vorzubereiten.
Was muss ich für diesen Aufgabentyp alles beherrschen?
Ich würde sagen die Ableitungsregeln und ich muss lokales Maximum/Minimum von globales Maximum/Minimum unterscheiden können.
?
Also brauche ich Satz von Role, Mittelwertsatz und Regel von de l'Hospital gar nicht, oder?
Ansatz:
Ich fange mal von ganz vorne an, f ist in [mm]x_0[/mm] differenzierbar, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}[/mm] existiert. Ist das so richtig?
Warum schreibt man nicht [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x_0) - f(x)}{x_0-x}[/mm] ?
Also ich verstehe nicht warum die Reihenfolge so ist.
Erstmal bis hierhin.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen :)
MfG Lisa
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> Untersuche die Funktion [mm]f(x) = 2x^3 + 3x^2 -12x + 3[/mm] auf
> Extrema in [mm][-3, 4][/mm].
>
Hallo,
> Was muss ich für diesen Aufgabentyp alles beherrschen?
Du mußt wissen, wie man die Funktion über dem Intervall (-3,4), also dem Inneren von [-3,4], auf Extremwerte untersucht,
> Ich würde sagen die Ableitungsregeln und ich muss lokales
> Maximum/Minimum von globales Maximum/Minimum unterscheiden
> können.
Und Du darfst nicht vergessen, daß Du die Randpunkte auch noch anschauen mußt.
> ?
>
> Also brauche ich Satz von Role, Mittelwertsatz und Regel
> von de l'Hospital gar nicht, oder?
Eher nicht, tät' ich meinen.
Merken wirst Du's beim Tun.
>
> Ansatz:
>
> Ich fange mal von ganz vorne an, f ist in [mm]x_0[/mm]
> differenzierbar, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> existiert. Ist das so richtig?
Ja, das stimmt.
Aber Du brauchst bei dieser Aufgabe nicht bei Adam und Eva zu beginnen.
Wenn Du ganz eifrig bist, schreibst Du, daß f ene ganzrationale Funktion ist und damit differenzierbar.
Dann kannst Du gleich die Ableitungsfunktion hinschreiben, f'(x)=..., und nun beginnst Du mit der Untersuchung auf Extremwerte. Große Freude machst Du, wenn Du an den paasenden Stellen die Begriffen "notwendiges" bzw. "hinreichendes Kriterium" fallen läßt.
>
> Warum schreibt man nicht [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x_0) - f(x)}{x_0-x}[/mm]
> ?
> Also ich verstehe nicht warum die Reihenfolge so ist.
Die Reihenfolge ist im Prinzip schnuppe. Es ist doch [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{-(f(x_0) - f(x)}{-(x_0-x)}=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x_0) - f(x)}{x_0-x}.
[/mm]
Lg Angela
>
>
> Erstmal bis hierhin.
> Ich hoffe Ihr könnt mir helfen :)
> MfG Lisa
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Hallo Angela und vielen lieben Dank, dass du mir wieder hilfst :)
>
> > Untersuche die Funktion [mm]f(x) = 2x^3 + 3x^2 -12x + 3[/mm] auf
> > Extrema in [mm][-3, 4][/mm].
> >
>
> Hallo,
>
> > Was muss ich für diesen Aufgabentyp alles beherrschen?
>
> Du mußt wissen, wie man die Funktion über dem Intervall
> (-3,4), also dem Inneren von [-3,4], auf Extremwerte
> untersucht,
>
> > Ich würde sagen die Ableitungsregeln und ich muss lokales
> > Maximum/Minimum von globales Maximum/Minimum unterscheiden
> > können.
>
> Und Du darfst nicht vergessen, daß Du die Randpunkte auch
> noch anschauen mußt.
Also -3 und 4. Wäre das Intervall [mm]]-3, 4][/mm] dann müsste ich den Randpunkt 4 betrachten, aber -3 nicht mehr.
> > Warum schreibt man nicht [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x_0) - f(x)}{x_0-x}[/mm]
> > ?
> > Also ich verstehe nicht warum die Reihenfolge so ist.
>
> Die Reihenfolge ist im Prinzip schnuppe. Es ist doch
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{-(f(x_0) - f(x)}{-(x_0-x)}=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x_0) - f(x)}{x_0-x}.[/mm]
Okay, also bilde ich einfach die erste Ableitung:
[mm]f'(x) = 6x^2 +6x -12[/mm]
Notwendiges Kriterium:
[mm] 6x^2 +6x -12 = 0 \gdw x^2 + x -2 = 0[/mm]
Wie kann ich nun am einfachsten die Lösungen für diese Gleichung bestimmen?
Ich kenne aus der Schule noch die pq-Formel:
[mm]x_{1/2} = -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} + 2} = -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{9}{4}}[/mm]
[mm]x_1 = -\bruch{1}{2} + 1.5 = 1
[/mm]
[mm]x_2 = -\bruch{1}{2} - 1.5 = -2[/mm]
Das wären jetzt für mich die interessanten Stellen, die als Extrempunkte in Frage kommen.
Und wenn ich jetzt noch einmal überlege ist mir doch nicht klar, warum ich nun auch noch die Randpunkte in Frage kommen könnten.
Warum gerade die Randpunkte? Was ist so besondern an ihnen, dass sie auch noch in Frage kommen könnten?
Nun muss ich noch prüfen, ob die 2.Ableitung ungleich Null ist.
Hinreichendes Kriterium:
[mm]f''(x) = 12x + 6[/mm]
[mm]f''(1) = 12 + 6 = 18[/mm] Die Funktion hat also an der Stelle 1 ein Minimum.
<span class="math">[mm]f(1) = -4[/mm] Damit besitzt die Funktion im Punkt (1,-4) ein Minimum.
</span>
[mm]f''(-2) = -18[/mm] Die Funkion hat an der Stelle -2 ein Maximum.
[mm]f(-2) = 23[/mm] Die Funktion besitzt im Punkt (-2,23) ein Maximum.
Nun (bzw. schon vorher) muss ich noch schreiben, ob es sich um ein globales Maximum/Minimum oder lokales Maximum/Minimum handelt.
Ich weiß, was der Unterschied ist, aber leider weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll. Ich würde ein Maximum global nennen, wenn es den größten y-Wert im gesamten Intervall annimmt und lokal, wenn es den größten y-Wert in einem Teil-Intervall des gesamten Intervalls besitzt.
Liebe Grüße,
Lisa
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Hallo,
> > > Untersuche die Funktion [mm]f(x) = 2x^3 + 3x^2 -12x + 3[/mm] auf
> > > Extrema in [mm][-3, 4][/mm].
> > > Was muss ich für diesen Aufgabentyp alles beherrschen?
> >
> > Du mußt wissen, wie man die Funktion über dem Intervall
> > (-3,4), also dem Inneren von [-3,4], auf Extremwerte
> > untersucht,
> >
> > > Ich würde sagen die Ableitungsregeln und ich muss lokales
> > > Maximum/Minimum von globales Maximum/Minimum unterscheiden
> > > können.
> >
> > Und Du darfst nicht vergessen, daß Du die Randpunkte auch
> > noch anschauen mußt.
> Also -3 und 4. Wäre das Intervall [mm]]-3, 4][/mm] dann müsste ich
> den Randpunkt 4 betrachten, aber -3 nicht mehr.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Okay, also bilde ich einfach die erste Ableitung:
>
> [mm]f'(x) = 6x^2 +6x -12[/mm]
> Notwendiges Kriterium:
> [mm]6x^2 +6x -12 = 0 \gdw x^2 + x -2 = 0[/mm]
>
> Wie kann ich nun am einfachsten die Lösungen für diese
> Gleichung bestimmen?
>
> Ich kenne aus der Schule noch die pq-Formel:
Genau damit macht man es.
> [mm]x_{1/2} = -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} + 2} = -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{9}{4}}[/mm]
>
> [mm]x_1 = -\bruch{1}{2} + 1.5 = 1[/mm]
>
> [mm]x_2 = -\bruch{1}{2} - 1.5 = -2[/mm]
> Das wären jetzt für mich die interessanten Stellen, die
> als Extrempunkte in Frage kommen.
Genau, als lokale Extremstellen.
> Und wenn ich jetzt noch einmal überlege ist mir doch
> nicht klar, warum ich nun auch noch die Randpunkte in Frage
> kommen könnten.
> Warum gerade die Randpunkte? Was ist so besondern an
> ihnen, dass sie auch noch in Frage kommen könnten?
Schau dir mal die Funktion $g(x)= [mm] x^2$ [/mm] auf dem Intervall [-1,1] an. Dann siehst du, dass diese Funktion ein Minimum bei x = 0 hat. Maximal wird sie aber am Rand bei x = -1 und x = 1.
Das heißt, dass bei x = 1 ein lokales Maximum vorliegt (alle Funktionswerte in einer kleinen Umgebung von x = 1 sind kleinergleich f(1) = 1).
Trotzdem kannst du dieses lokale Maximum nicht mit der notwendigen Bedingung $f'(x) = 0 $ bestimmen. Das liegt daran, dass die Funktion eigentlich auch außerhalb des Intervalls [-1,1] noch "weitergeht". Und die Funktion nur am Rand maximal ist, weil ich sie dort abschneide. So etwas "merkt" die notwendige Bedingung $f'(x) = 0$ nicht. Deswegen ist es so wichtig, auch die Randpunkte zu untersuchen.
> Nun muss ich noch prüfen, ob die 2.Ableitung ungleich Null
> ist.
> Hinreichendes Kriterium:
>
> [mm]f''(x) = 12x + 6[/mm]
> [mm]f''(1) = 12 + 6 = 18[/mm] Die Funktion hat also an der Stelle 1
> ein Minimum.
> [mm]f(1) = -4[/mm] Damit besitzt die Funktion im
> Punkt (1,-4) ein Minimum.
Ja.
> [mm]f''(-2) = -18[/mm] Die Funkion hat an der Stelle -2 ein
> Maximum.
> [mm]f(-2) = 23[/mm] Die Funktion besitzt im Punkt (-2,23) ein
> Maximum.
Ja.
> Nun (bzw. schon vorher) muss ich noch schreiben, ob es sich
> um ein globales Maximum/Minimum oder lokales
> Maximum/Minimum handelt.
Ja.
Es reicht, wenn du es jetzt schreibst (nicht schon vorher)
> Ich weiß, was der Unterschied ist, aber leider weiß ich
> nicht, wie ich das beweisen soll. Ich würde ein Maximum
> global nennen, wenn es den größten y-Wert im gesamten
> Intervall annimmt und lokal, wenn es den größten y-Wert
> in einem Teil-Intervall des gesamten Intervalls besitzt.
Genau.
Für das globale Maximum gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder es ist ein lokales Maximum im Inneren des untersuchten Bereichs oder es wird an einem Randpunkt angenommen.
Also schaust du dir jetzt an:
- Die zwei Funktionswerte am Rand f(-3), f(4)
- Und die Funktionswerte der lokalen Maximumstellen im Inneren (hast du oben schon bestimmt).
Die Stelle, wo der größte Funktionswert rauskommt, muss die Stelle sein, an welcher die Funktion ihr globales Maximum annimmt. (Strenggenommen gilt das nur, weil $f$ stetig ist).
Analog verfahre beim globalen Minimum.
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan :)
Vielen Dank, dass du mir auch hier hilfst :)
> > > > Untersuche die Funktion [mm]f(x) = 2x^3 + 3x^2 -12x + 3[/mm] auf
> > > > Extrema in [mm][-3, 4][/mm].
> > Notwendiges Kriterium:
> > [mm]6x^2 +6x -12 = 0 \gdw x^2 + x -2 = 0[/mm]
> > [mm]x_{1/2} = -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} + 2} = -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{9}{4}}[/mm]
>
> > [mm]x_1 = -\bruch{1}{2} + 1.5 = 1[/mm]
> >
> > [mm]x_2 = -\bruch{1}{2} - 1.5 = -2[/mm]
>
>
>
> > Das wären jetzt für mich die interessanten Stellen, die
> > als Extrempunkte in Frage kommen.
>
> Genau, als lokale Extremstellen.
Wieso nur als lokale Extremstellen? Wieso kann ich das jetzt schon sagen?
Es kann doch sein, dass bei -2 die Funktion den größten y-Wert annimmt?
(Wie nennt man y-Wert/x-Wert eigentlich auf Uni-Niveau?)
> > Und wenn ich jetzt noch einmal überlege ist mir doch
> > nicht klar, warum ich nun auch noch die Randpunkte in Frage
> > kommen könnten.
> > Warum gerade die Randpunkte? Was ist so besondern an
> > ihnen, dass sie auch noch in Frage kommen könnten?
>
>
> Schau dir mal die Funktion [mm]g(x)= x^2[/mm] auf dem Intervall
> [-1,1] an. Dann siehst du, dass diese Funktion ein Minimum
> bei x = 0 hat. Maximal wird sie aber am Rand bei x = -1 und
> x = 1.
>
> Das heißt, dass bei x = 1 ein lokales Maximum vorliegt
> (alle Funktionswerte in einer kleinen Umgebung von x = 1
> sind kleinergleich f(1) = 1).
>
> Trotzdem kannst du dieses lokale Maximum nicht mit der
> notwendigen Bedingung [mm]f'(x) = 0[/mm] bestimmen. Das liegt daran,
> dass die Funktion eigentlich auch außerhalb des Intervalls
> [-1,1] noch "weitergeht". Und die Funktion nur am Rand
> maximal ist, weil ich sie dort abschneide. So etwas "merkt"
> die notwendige Bedingung [mm]f'(x) = 0[/mm] nicht. Deswegen ist es
> so wichtig, auch die Randpunkte zu untersuchen.
Okay, das mit den Randpunkten habe ich nun verstanden, vielen Dank :)
Aber warum liegt nun kein globales Maxiumum bei x=1 und x=-1 vor?
An diesen Stellen nimmt die Funktion in dem gegebenen Intervall den größten y-Wert an. Ist es vielleicht so, dass ich bei globalen Extrempunkten über die Intervallgrenzen hinausschaue?
Also wäre hier zum Beispiel bei x=0 ein globales Minimum, denn auch über den Intervallgrenzen gibt es keinen kleineren y-Wert, der angenommen wird. Bei x=1 und x=-1 nimmt die Funktion zwar den größten y-Wert innerhalb des Intervalls an, aber hinter den Intervallgrenzen wird der Wert ja immer größer, also deshalb sind x=1 und x=-1 keine globalen Maxima, sondern nur lokale?
Das muss ich nun verstehen.
> > Nun (bzw. schon vorher) muss ich noch schreiben, ob es sich
> > um ein globales Maximum/Minimum oder lokales
> > Maximum/Minimum handelt.
>
> Ja.
> Es reicht, wenn du es jetzt schreibst (nicht schon
> vorher)
>
>
> > Ich weiß, was der Unterschied ist, aber leider weiß ich
> > nicht, wie ich das beweisen soll. Ich würde ein Maximum
> > global nennen, wenn es den größten y-Wert im gesamten
> > Intervall annimmt und lokal, wenn es den größten y-Wert
> > in einem Teil-Intervall des gesamten Intervalls besitzt.
>
> Genau.
>
> Für das globale Maximum gibt es nur zwei Möglichkeiten:
> Entweder es ist ein lokales Maximum im Inneren des
> untersuchten Bereichs oder es wird an einem Randpunkt
> angenommen.
>
> Also schaust du dir jetzt an:
>
> - Die zwei Funktionswerte am Rand f(-3), f(4)
> - Und die Funktionswerte der lokalen Maximumstellen im
> Inneren (hast du oben schon bestimmt).
>
> Die Stelle, wo der größte Funktionswert rauskommt, muss
> die Stelle sein, an welcher die Funktion ihr globales
> Maximum annimmt. (Strenggenommen gilt das nur, weil [mm]f[/mm]
> stetig ist).
f(-3) = 12 --> lokales Minimum (ohne den Graphen zu zeichnen, hätte ich es nicht gewusst bzw. eher lokales Maximum gedacht. Woher weiß ich bei Randpunkten, ob sie Maximum oder Minimum sind? Denn die 1.Ableitung und 2.Ableitung funktionieren hier ja nicht.)
f(-2) = 23 --> lokales Maximum
f(1) = -4 --> globales Minimum?
f(4) = 131 --> globales Maximum?
Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
> Hallo Stefan :)
> Vielen Dank, dass du mir auch hier hilfst :)
Gern 
> > > [mm]x_1 = -\bruch{1}{2} + 1.5 = 1[/mm]
> > >
> > > [mm]x_2 = -\bruch{1}{2} - 1.5 = -2[/mm]
> >
> >
> >
> > > Das wären jetzt für mich die interessanten Stellen, die
> > > als Extrempunkte in Frage kommen.
> >
> > Genau, als lokale Extremstellen.
>
> Wieso nur als lokale Extremstellen? Wieso kann ich das
> jetzt schon sagen?
Zu diesem Zeitpunkt kann man noch nicht sagen, ob es auch ein globales oder "nur" ein lokales Extremum ist. Ich schließe aber nicht aus, dass es ein globales Extremum ist, wenn ich schreibe: "Es sind Kandidaten für die lokalen Extremstellen".
(Ein globales Extremum ist auch ein lokales Extremum).
> Es kann doch sein, dass bei -2 die Funktion den größten
> y-Wert annimmt?
Durchaus.
> (Wie nennt man y-Wert/x-Wert eigentlich auf Uni-Niveau?)
Du kannst "Argument" für x-Wert und "Funktionswert" für y sagen. Das ist allgemeiner, weil ja die Funktion nicht immer eine Funktion der Variablen x sein muss.
Es gibt auch die Begriffe Abszisse (für x-Wert) und Ordinate (für y-Wert), aber das benutzen nur wenige.
> > Schau dir mal die Funktion [mm]g(x)= x^2[/mm] auf dem Intervall
> > [-1,1] an. Dann siehst du, dass diese Funktion ein Minimum
> > bei x = 0 hat. Maximal wird sie aber am Rand bei x = -1 und
> > x = 1.
> >
> > Das heißt, dass bei x = 1 ein lokales Maximum vorliegt
> > (alle Funktionswerte in einer kleinen Umgebung von x = 1
> > sind kleinergleich f(1) = 1).
> >
> > Trotzdem kannst du dieses lokale Maximum nicht mit der
> > notwendigen Bedingung [mm]f'(x) = 0[/mm] bestimmen. Das liegt daran,
> > dass die Funktion eigentlich auch außerhalb des Intervalls
> > [-1,1] noch "weitergeht". Und die Funktion nur am Rand
> > maximal ist, weil ich sie dort abschneide. So etwas "merkt"
> > die notwendige Bedingung [mm]f'(x) = 0[/mm] nicht. Deswegen ist es
> > so wichtig, auch die Randpunkte zu untersuchen.
>
> Okay, das mit den Randpunkten habe ich nun verstanden,
> vielen Dank :)
> Aber warum liegt nun kein globales Maxiumum bei x=1 und
> x=-1 vor?
An den Stellen x = 1 und x = -1 nimmt die Funktion $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] durchaus ihr globales Maximum an. Das heißt, dort liegt das globale Maximum vor.
Wie oben: Indem ich schreibe, dass es lokale Extremstellen sind, habe ich nicht ausgeschlossen, dass es auch globale sein könnten.
> An diesen Stellen nimmt die Funktion in dem gegebenen
> Intervall den größten y-Wert an. Ist es vielleicht so,
> dass ich bei globalen Extrempunkten über die
> Intervallgrenzen hinausschaue?
Nein. Du betrachtest die Funktion NUR auf ihrem Definitionsbereich.
> Also wäre hier zum Beispiel bei x=0 ein globales Minimum,
> denn auch über den Intervallgrenzen gibt es keinen
> kleineren y-Wert, der angenommen wird. Bei x=1 und x=-1
> nimmt die Funktion zwar den größten y-Wert innerhalb des
> Intervalls an
Genau, und damit nimmt die Funktion bei x = 1 und x = -1 ihr globales Maximum (auf dem Definitionsbereich) an.
> aber hinter den Intervallgrenzen wird der
> Wert ja immer größer, also deshalb sind x=1 und x=-1
> keine globalen Maxima, sondern nur lokale?
Nein, es sind globale.
> > Also schaust du dir jetzt an:
> >
> > - Die zwei Funktionswerte am Rand f(-3), f(4)
> > - Und die Funktionswerte der lokalen Maximumstellen im
> > Inneren (hast du oben schon bestimmt).
> >
> > Die Stelle, wo der größte Funktionswert rauskommt, muss
> > die Stelle sein, an welcher die Funktion ihr globales
> > Maximum annimmt. (Strenggenommen gilt das nur, weil [mm]f[/mm]
> > stetig ist).
> f(-3) = 12 --> lokales Minimum (ohne den Graphen zu
> zeichnen, hätte ich es nicht gewusst bzw. eher lokales
> Maximum gedacht. Woher weiß ich bei Randpunkten, ob sie
> Maximum oder Minimum sind? Denn die 1.Ableitung und
> 2.Ableitung funktionieren hier ja nicht.)
> f(-2) = 23 --> lokales Maximum
> f(1) = -4 --> globales Minimum?
> f(4) = 131 --> globales Maximum?
Alles richtig.
Welche Art von Extremum an den Rändern vorliegt, kannst du dir damit herleiten, was es für Extremstellen im Inneren des Definitionsbereichs gab. Maximum und Minimum müssen sich ja immer abwechseln. Links neben dem lokalen Maximum bei x = -2 musste also der Randpunkt ein lokales Minimum werden.
Viele Grüße,
Stefan
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Vielen Dank Stefan, ich habe alles verstanden. :)
Ich habe nur in Bezug auf die Klausur noch Fragen.
Ich kann da ja nicht einfach den Pfeil hinschreiben und dann lokales Maximum.
Also für das lokale Maximum mit dem Argument [mm] x_0 [/mm] gilt:
Es gibt ein Intervall [mm]I=]a,b[[/mm] mit [mm]x_0 \in I[/mm]und [mm]f(x_0) \geq f(x) \forall x \in [-3,4] \cap I[/mm]
Für das globale Maximum mit dem Argument [mm] x_0 [/mm] gilt:
[mm]f(x_0) \geq f(x) [/mm] mit [mm]\forall x \in [-3,4][/mm]
Muss ich nun die Ungleichung auch noch beweisen, also:
[mm]f(4) = 131 \geq 2x^3 + 3x^2 - 12x + 3[/mm]
Und nun umformen etc....
Muss man das machen?
Oder reicht es, wenn ich alle möglichen Extrempunkte bestimme und dann sage:
[mm]f(4) = 131 > f(-2) = 23[/mm]
Daher ist (-2,23) lokales Maximum und (4,131) globales Maximum der gegebenen Funktion.
Wie hättest du es gemacht bzw. wie würde man die volle Punktzahl erreichen?
Liebe Grüße,
Lisa
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Hallo Lisa,
> Vielen Dank Stefan, ich habe alles verstanden. :)
> Ich habe nur in Bezug auf die Klausur noch Fragen.
> Ich kann da ja nicht einfach den Pfeil hinschreiben und
> dann lokales Maximum.
> Also für das lokale Maximum mit dem Argument [mm]x_0[/mm] gilt:
> Es gibt ein Intervall [mm]I=]a,b[[/mm] mit [mm]x_0 \in I[/mm]und [mm]f(x_0) \geq f(x) \forall x \in [-3,4] \cap I[/mm]
Ja.
Ich bin mir aber sicher, dass ihr einen Satz hattet der Form:
f ist differenzierbar auf ]a,b[ und hat bei [mm] $x_0 \in [/mm] ]a,b[$ ein lokales Maximum [mm] $\Rightarrow$ $f'(x_0) [/mm] = 0$.
Das ist ja gerade der Sinn der notwendigen Bedingung: Eine lokale Maximumstelle im Inneren des Definitionsbereiches muss auf jeden Fall [mm] $f'(x_0) [/mm] = 0$ erfüllen.
In diesem Sinne genügt es für die lokalen Extremstellen mit 1. und 2. Ableitung zu argumentieren.
> Für das globale Maximum mit dem Argument [mm]x_0[/mm] gilt:
> [mm]f(x_0) \geq f(x)[/mm] mit [mm]\forall x \in [-3,4][/mm]
>
> Muss ich nun die Ungleichung auch noch beweisen, also:
>
> [mm]f(4) = 131 \geq 2x^3 + 3x^2 - 12x + 3[/mm]
>
> Und nun umformen etc....
> Muss man das machen?
Nein.
> Oder reicht es, wenn ich alle möglichen Extrempunkte
> bestimme und dann sage:
>
> [mm]f(4) = 131 > f(-2) = 23[/mm]
>
> Daher ist (-2,23) lokales Maximum und (4,131) globales
> Maximum der gegebenen Funktion.
>
> Wie hättest du es gemacht bzw. wie würde man die volle
> Punktzahl erreichen?
Woher soll ich das wissen ?
Ich hätte es folgendermaßen aufgeschrieben:
f(x) = ...
f'(x) = ...
f''(x) = ...
[mm] x_0 [/mm] lokale Extremstelle im Inneren --> [mm] f'(x_0) [/mm] = 0 --> Rechnen.... --> [mm] $x_0 [/mm] = -2$ oder [mm] $x_0 [/mm] = 1$
f''(-2) < 0 --> (striktes) lokales Maximum
f''(1) > 0 --> (striktes) lokales Minimum
Betrachte Rand: Wegen Stetigkeit von $f$ folgt auf ein lokales Minimum ein lokales Maximum und umgekehrt.
f(-3) = ... ist lokales Minimum
f(4) = ... ist lokales Maximum
Ein globales Maximum liegt entweder am Rand vor oder im Inneren. Liegt es im Inneren vor, muss es ein lokales Maximum sein --> kommt nur f(-2) in Frage. Aber f(-2) = 23 < 131 = f(4). Also liegt globales Maximum nicht im Inneren sondern an Rand, bei x = 4.
Analog globales Minimum: Im Inneren gibt es nur lokales Minimum bei x = 1, f(1) = -4. Am Rand ist $f(-3) > -4, f(4) > -4$. Daher ist das globale Minimum bei x = 1.
Also kein Hexenwerk !
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Sa 09.02.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Vielen lieben Dank Stefan :)))
Du hast mir sehr geholfen!
Nun versuche ich mich selber an anderen Aufgaben und melde mich, falls ich nicht weiter weiß :)
> Also kein Hexenwerk !
Da hast du Recht :)
Heute morgen sah es noch ganz anders aus :P
Liebste Grüße,
Lisa
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