Funktion 3.Grades < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Welche ganzrationale Funktion 3.Grades besitzt in w(0.5/-1) einen Wendepunkt und schneidet bei x=1 die x-Achse im Winkel von 45 grad? |
Hallo^^
Ich hab hier ne Aufgabe,die ich lösen will,aber komm da irgendwie nicht weiter.
Also ich hab mir jetzt erst mal überlegt,welche Infos ich der Augabe entnehmen kann:
-Wendepunkt is ja gegeben
-Nullstelle bei 1/0
-Steigung an dieser Stelle ist 1,also f'(x)=1
-Formel für die Gleichung: [mm] m(x-x_{0})+f(x_{0})
[/mm]
Man könnte jetzt einfach für m=1 und für [mm] x_{0}=1 [/mm] einsetzen,aber ich glaub so einfach geht das nicht.![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Hat jemand vieleicht einen kleinen Tipp,wie man an die Aufgabe ran gehen könnte ???
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Wenn es eine ganzrationale Funktion 3. Grade sein sollt, so musst du die Grundform:
f(x) = ax³ + bx² + cx +d
verwenden und da nun jeweils deine Bedingungen einsetzen.
Du hast ja:
f(0,5)
f(1)
f'(1)
f''(0,5)
Stelle die jeweiligen Gleichungen auf und löse das Gleichungssystem.
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 13.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok ich habs ma versucht.
Hab zu erst mal die 4 Gleichungen aufgestellt.
f(0.5)=0.125a+0.25b+0.5c+d
f(1)=a+b+c+d
f'(1)=3a+2b+c
f''(0.5)=0.75a+b+c
Dann hab ich von f(1) f(0.5) abgezogen und komme auf: 0.875a+0.75b+0.5c
Danach hab ich von f'(1) f''(0.5) abgezogen und komme auf: 2.25a+b.
Das d hab ich somit schonmal weg,aber das c kann man jetzt nicht wegkriegen
Kann mir da bitte jemand helfen????
danke^^
|
|
|
| |
|
Hallo Mandy_90,
> ok ich habs ma versucht.
> Hab zu erst mal die 4 Gleichungen aufgestellt.
> f(0.5)=0.125a+0.25b+0.5c+d
> f(1)=a+b+c+d
> f'(1)=3a+2b+c
> f''(0.5)=0.75a+b+c
Die letzte Gleichung stimmt nicht.
>
> Dann hab ich von f(1) f(0.5) abgezogen und komme auf:
> 0.875a+0.75b+0.5c
> Danach hab ich von f'(1) f''(0.5) abgezogen und komme auf:
> 2.25a+b.
> Das d hab ich somit schonmal weg,aber das c kann man jetzt
> nicht wegkriegen
> Kann mir da bitte jemand helfen????
> danke^^
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 13.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
für f''(0.5) kommt dann 3a+2b raus oder?
wenn man jetzt von f'(1) f''(0.5) abzieht bleibt nur noch c übrig.
Wenn ich nun 0.875a+0.75b+0.5c mit 2 multipliziere und dann vom Ergebnis das c abziehe,hab ich ne neue Gleichung : 1.75a+1.5b
Aber ich weiß net wie das jetzt weitergehn soll??
Is mein Rechenweg bis hierhin überhaupt richtig???
danke^^
|
|
|
| |
|
Hallo Mandy_90,
> für f''(0.5) kommt dann 3a+2b raus oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn man jetzt von f'(1) f''(0.5) abzieht bleibt nur noch
> c übrig.
> Wenn ich nun 0.875a+0.75b+0.5c mit 2 multipliziere und
> dann vom Ergebnis das c abziehe,hab ich ne neue Gleichung :
> 1.75a+1.5b
> Aber ich weiß net wie das jetzt weitergehn soll??
> Is mein Rechenweg bis hierhin überhaupt richtig???
Ja.
Nimm jetzt die Gleichung für [mm]f''(0.5)=3a+2b=0[/mm] dazu, dann hast Du ein lineares Gleichungssystem:
[mm]3a+2b=0[/mm]
[mm]1.75a+1.5b=1[mm]
Das kannst Du jetzt lösen.
Ach ja, bleibt noch die Unbekannte d, bekommst Du aus [mm]f(1)=a+b+c+d=0[/mm]
>
> danke^^
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 13.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,aber wie kommst du auf 1.75a+1.5b=1 woher weiß man dass das =1 ist??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 13.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Es ist doch der Steigungswinkel mit [mm] $\alpha [/mm] \ = \ 45°$ bekannt. Und es gilt:
$$f'(x) \ = \ m \ = \ [mm] \tan(\alpha)$$
[/mm]
Das heißt für Deine Aufgabe: $m \ = \ [mm] \tan(45°) [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 13.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
stimmt ja....
Ich hab dann erst mal 3a+2b nach b aufgelöst und hab b=-1.5a raus.Hab das dann in 1-75a+1.5b=1 eingesetzt und hab für a=-2 raus.
Dann hab ich a in 3a-2b=0 eingesetzt und hab b=3 raus.
Danach hab ich die Gleichung 1.75a+1.5b+c genommen,=0 gesetzt und da a und b eingesetzt und hab für c=-1 raus.
Zum Schluss hab ich nochmal in f(1)=a+b+c+d a,b und c eingesetzt und hab für d=0 raus.
Dann wäre die Funktionsgleichung: [mm] -2x^{3}+3x^{2}-1 [/mm] .
Ist das richtig so???
lg
|
|
|
| |
|
Hallo,
a=-2 und b=3 sind korrekt, jetzt hast du doch die Gleichung 1=3a+2b+c, die folgte aus f'(1)=1, berechne damit noch einmal c, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 13.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,für die Funktionsgleichung hab ich dann [mm] f(x)=-2x^{3}+3x^{2}+x-2
[/mm]
Ist das jetzt richtig??
lg
|
|
|
| |
|
Glückwunsch, alles korrekt, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 15.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Nochmal ne kurze Frage.Woher weißt du denn dass du f(0.5) nehmen musst ???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Di 15.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Du musst f(0,5)=-1 und f''(0,5)=0 nehmen, da in dem Punkt ein Wendepunkt vorliegt!
f(0,5)=-1, damit der Punkt überhaupt auf dem Graphen liegt.
Der Graph soll den Punkt beinhalten.
f''(0,5)=0, damit in diesem Punkt auch ein Wendepunkt vorliegt.
Oder hab ich deine Frage falsch verstanden? :o
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Di 15.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok habs verstanden,danke^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Di 15.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
achso doch noch ne Frage, f(0.5)=-1 braucht man in der Rechnung gar nicht oder???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 15.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Wieso sollte man es nicht brauchen?
Wenn du nur f''(0,5) nimmst, liegt zwar sicher bei 0,5 ein Wendepunkt vor; jedoch ist die y- Koordinate damit nicht festgelegt.
Du bräuchtest die Koordinate nur nicht, falls du ein Überbestimmtes GLeichungssystem hättest:
quasi mehr Gleichungen als Variablen.
Da du hier aber 4 Unbekannte und 4 Gleichungen hast, brauchst du alle.
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 15.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Irgendwie steh ich grad aufm Schlauch glaub ich,ich hab die Aufgabe nämlich ganz ohne diese Gleichung gerechnet.Kannst du mir vielleicht sagen,wo man die braucht???Ich hab sie zwar gebraucht,aber nicht =-1 gesetzt ???
|
|
|
| |
|
Hallo, du hast vier Variablen, somit benötigst du die vier Gleichungen, ich denke mal, an einer Stelle hast du etwas übnersehen:
(1) -1=0,125a+0,25b+0,5c+d folgt aus f(0,5)=-1
(2) 0=a+b+c+d folgt aus f(1)=0
(3) 0=3a+2b folgt aus f''(0,5)=0
(4) 1=3a+2b+c folgt aus f'(1)=1
aus (3) folgt b=-1,5a
in (4) einsetzen 1=3a+2*(-1,5)a+c folgt c=1
in (2) einsetzen 0=a-1,5a+1+d folgt d=0,5a-1
in (1) einsetzen
-1=0,125a+0,25*(-1,5)a+0,5*1+0,5a-1
-1=0,125a-0,375a+0,5+0,5a-1
-1=0,25a-0,5
-0,5=0,25a
a=-2
jetzt kannst du alle anderen Variablen berechnen
Steffi
|
|
|
|
